1、内部资料1第一章勾股定理 知识导学： 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。运用勾股定理进行有关的计算和证明，在有关直角三角形求边的计算中，只要分析出两个条件。（其中至少一边）就能解。要注意有时要利用边与边之间的关系，设未知数通过列方程来解几何题。在运用勾股定理进行证明时，要结合已知条件和所学过的各种图形的性质适当添加辅助线构成直角三角形，同时要加强分析。 典型例题： 例 1. 如图在 中， ， 的平分线 AD 交 BC 于 D，求证： 。 证明： 平分 在 中， 例 2. 作长为 的线段。 分
2、析： 故只须先作出长为 的线段。 作法： (1)作直角边长为 1（单位长）的等腰直角三角形 。 (2)以斜边 AB 为一直角边，作另一直角边长为 3 的 RtABD ,则线段 BD 的长为所求。 例 3. 如图， 中， 分别为 BC 的高和中线，求DE 的长。 内部资料2解：设 又 在 中， 在 中， 即 解得： 例 4. 如图：正方形 ABCD 中，E 是 DC 中点，F 是 EC 中点。 求证： 。 分析：要证 ，一般方法是在 中取一个角使之等于 ，再证明另一个角也等于 ， 另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角。 证明：取 BC 中点 G，连结 AG 并延长交 DC 延长线于
3、H。 ABG= HCG, BG=CG ,AGB= HGC 又 在 中，设 ，由勾股定理得： 又 内部资料3课后练习： 1. 如图， 中， ，D 为 BC 的中点。 求证： 。 2. 如图 中， ，求 AC 的长及的面积。 3. 如图 中， ，AD 为 的平分线交 BC 于D， ， ，求 AC 的长。 4. 如图， 中， ，求 BC 的长。 5. 如图 中， ，D 为 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 ，求证： 。 答案： 1.证明： 2. 解：作 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E 连结 BE，则 在 中， 内部资料43. 解：作 交 AB 于 E 平
4、分 在 和 中， 在 中， 又 4. 解：作 于 D 由 知 又 在 中， （负值舍去） 内部资料55. 证明：延长 FD 到 G 使 连结 AG、EG，则 EF=EG 趣话勾股定理 1955 年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。 勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理，它的出现称
5、得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作周髀算经中，第一章记述了西周开国时期（约公元前 1000 年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。周髀算经里还这
6、样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。 这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影
7、的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的。”由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的。但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法。因为是毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明。虽然，毕达哥拉斯有内部资料6不少杰出的证明，如利用反证法证明2 不是有理数，
8、但最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常的高兴，杀了一头牛作为牺牲献给天神。也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大了！ 勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的几何原本里。 汉朝的数学家赵君卿，在注释周髀算经时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？（提示：考虑黑边框正方形的面积计算） 勾股定理及其逆定理 一、知识要点 1.掌握直角三角形的性质。 如图，直角 ABC 的性质 （1）勾股定理:C=90，则有 c 2=a2+b2 另外还有
9、: （2）C=90，则有A+B=90,（3）C=90，则有 ca, cb。 （4）补充定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30 度，则这个角所对的直角边等于斜边的一半。 如图： C=90且A=30，则有 BC= AB (或者 AB=2BC) 2.掌握勾股定理的逆定理： 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理为直角三角形的判定定理。 即在 ABC 中，若 a2+b2=c2，则 ABC 为 Rt。其中 c 是三角形中最长的边。 3.注意事项: (1) 注意勾股定理只适用于直角三角形，一般的非直角三角形就不存在这种关系。 (2) 理解勾股定理的一些变式 c 2=a2+b2, a2=
10、c2-b2，b 2=c2-a2 c 2=(a+b)2-2ab, 2ab=(a+b+c)(a+b-c) (3) 在理解的基础上熟悉下列勾股数。 满足不定方程 x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以 x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： (3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17) 如果(a,b,c)是勾股数，当 t0 时，以 at,bt,ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 二、例题精讲: 例 1、已知如图，在 ABC 中，ACB=90，AB=5cm,
11、 BC=3cm, CDAB 于 D，求 CD 的长。内部资料7分析：本题考查勾股定理的应用，解题思路为先用勾股定理求 AC，再运用三角形的面积公式得到SABC =BCAC= ABCD，于是不难求 CD。 解：因为 ABC 是直角三角形，AB=5，BC=3，由勾股定理有AC 2=AB2-BC2=25-9=16，故 AC=4。 又 SABC = BCAC= ABCD CD= ， CD 的长是 2.4cm。 解题规律： （1）勾股定理的一个重要应用就是已知直角三角形的两边可以求出第三条边。因此，熟记一些平方数为勾股定理的运用提供便利。 （2）本题的解题关键是先用勾股定理求 AC，再用“面积法”求 C
12、D。 例 2、试判断：三边长分别为 2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1 (n0)的三角形是否是直角三角形。 分析：条件中给出的是三边的长，要判断三角形是否为直角三角形,应考察三边的关系是否满足a2+b2=c2,但是要找出最大的边。 解： (2n 2+2n+1)-(2n2+2n)=10, (2n 2+2n+1)-(2n+1)=2n20(n0), 2n 2+2n+1 为三角形中最大边。 又 (2n 2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n 2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n 2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2 根据勾
13、股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形。 解题规律： 如何判定一个三角形是否是直角三角形。 首先判定出最大边（如 c）； 验证：c 2与 a2+b2是否具有相等关系： 若 a2+b2=c2，则 ABC 是以C 为直角的直角三角形。 若 a2+b2c 2， 则 ABC 不是直角三角形。 例 3、如果 ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。 分析：要判断 ABC 的形状，需要找到 a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解：由 a2+b2+c2+50=6a
14、+8b+10c，得 a 2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3) 2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3) 20, (b-4) 20, (c-5) 20。 a=3，b=4，c=5。 3 2+42=52, a 2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得 ABC 是直角三角形。 内部资料8评注：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 例 4、已知：如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F处，已知 AB=8cm, BC=10cm，求 EC 的长。 分析:容易知道三角形 AEFAED
15、，则 AF=AD=BC=10，易求得 BF、CF，在 RtEFC 中，满足EF2=CE2+CF2。 解：设 CE=x, 则 DE=8-x, 由条件知：AEFAED，AF=AD=10， EF=DE=8-x, 在 ABF 中，BF 2=AF2-AB2=102-82=62, BF=6, FC=4, 在 RtEFC 中：EF 2=CE2+CF2， (8-x) 2=x2+42, 即 64-16x+x 2=16+x2, 16x=48, x=3, 答：EC 的长为 3cm。 解题规律：1.题目中有多个直角三角形，可以多次使用勾股定理；2.利用解方程的思想来解决几何问题是今后我们常用到的数学方法。 例 5.如
16、图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF= AB。请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。 分析：题目中给出的是一些线段之间的关系,如何利用线段关系来考察直线垂直呢?连接 DF,我们发现考察 FE 与 DE 是否垂直,实际上就是考察三角形 DEF 是否为直角三角形。 答：DEEF。 设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF 2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE 2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接 DF（如图） DF 2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF 2=EF2+DE2, FEDE。
17、解题思路: （1）要正确区别与运用勾股定理和它的逆定理； （2）用计算的方法来说明三角形是直角三角形也是常用的方法；（3）还可以设 AB=a,有兴趣的同学试试看；（4）在以后的学习中还可以看到此题有更多和更好的证明方法。 例 6、（上海市中考题）如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN=30，点 A 处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：（1）要判断拖拉机的噪音是
18、否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解：作 ABMN，垂足为 B。 在 RtABP 中，ABP=90，APB=30， 内部资料9AP=160， AB= AP=80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向
19、行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么 AC=100(m)，由勾股定理得：BC 2=1002-802=3600, BC=60。 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),CD=120(m)。 拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/s t=120m5m/s=24s。 答略。 小结:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过做辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 例 7.CD 是 ABC 的高，试判断：“CA 2-CB2=AB(DA-DB)”是否成立？ 分析： (1)作出三角形的高以后,可以出现两个直角三角形
20、； (2)由于三角形的高有不同情况，高可能在三角形内部,可能在三角形外部,因而要考虑分类讨论； (3)根据问题需要，可考虑应用勾股定理进行试探。 答：（1）当 CD 在 ABC 形内时（如图）： CA 2-CB2=AD2-DB2=(AD+DB)(AD-DB)=AB(AD-DB) （2）当 CD 在 ABC 形外时（如图）： CA 2-CB2=AD2-DB2=(AD+DB)(AD-DB)=AB(AD+DB) 所以，当高在三角形内部时成立，在三角形外时不成立。 解题思路: （1）有直角时，出现线段平方的关系常常会涉及到勾股定理； （2）当可能性不唯一时，要分类讨论。 练习: 1.填空题目: （1）
21、直角三角形的周长为 12cm，斜边的长为 5cm，则其面积为_； 答：6。 详解：设两直角边分别为 a 和 b，则有：a+b=7, 将 a+b=7 两边平方得： a 2+2ab+b2=49 而 a2+b2=52=25, 2ab=24, ab=6。 （2）如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的 2 倍，斜边长是 5cm，那么这个直角三角形的面积为_。 答：5 详解：设一条直角边为 a，另一条直角边为 2a，则 S = a2a=a2, 而 a2+(2a)2=25, a 2=5，S =a2=5。 (3)若三角形的三边为 n+1, n+2,n+3，当 n=_时，这个三角形是直角三角形。 内部资
22、料12答：2。 内部资料13详解：n+3 是最大边，当(n+1) 2+(n+2)2=(n+3)2时，即 n=2 时，这个三角形是直角三角形。 内部资料14(4)如图，ADCD，AB=13，BC=12，CD=4，AD=3，若CAB=55，则B=_。 答：35。 解：在直角三角形 ADC 中，求得 AC=5,由此可证得：ABC 为 Rt。则有B=90-CAB=35 (5)如果梯子的底端离建筑物 9m，那么 15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是_。 答：12m。点拨：设到达的高度为 x，则有 x2=152-92=144。 x=12。 2.选择题: (1)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=
23、6cm, BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）。 A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm 答：B。 详解：AB 2=62+82=100,所以 AB=10。 依题意有：ACDAED。 设 CD=x, 则 DE=x, BD=8-x, BE=10-6=4。 在 RtDEB 中：x 2+42=(8-x)2, x=3cm。 （2）如果线段 a,b,c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ） A、124 B、135 C、347 D、51213 答：D。 设三边分别为 5m, 12m, 13m。三边满足勾股数。 （3）下
24、列叙述中，正确的是（ ）。 A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方。 B、如果一个三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C、ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a,b,c，若 a2+b2=c2，则A=90 D、ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a,b,c，若 c2-a2=b2，那么B=90 答：B。分析：A 错，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。 （4）直角三角形有一条直角边的长为 11，另外两边的长也是自然数，那么它的周长是（ ）。 A、132 B、121 C、120 D、以上答案都不对 答：A。 详解：设另两边为 x,y (xy)，则
25、有 x2-y2=112=121，由平方差公式得(x+y)(x-y)=121， x+yx-y。 x+y=121 且 x-y=1, 周长为 121+11=132。 3.如图，从电线杆离地面 6m 处向地拉一条长 10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？ 依题意：AC=6，AB=10，如图，在 RtACB 中，BC=8(m)。故这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 8m。 4.在一根长为 24 个单位的绳子上，分别标出 A、B、C、D 四个点，它们将绳子分成长为 6 个单位、8个单位和 10 个单位的三条线段。一手将绳子的两个端点握在一起（A 点和 D 点），两名同伴分别握住
26、B点和 C 点，一起将绳子拉直，会得到一个什么形状的三角形？为什么？ 答：得到一个直角三角形，因为 62+82=102。所以，所得三角形为 Rt。 5.已知：如图，在 ABC 中，A=90，DE 为 BC 的垂直平分线。求证：BE 2=AC2+AE2。 答：连 CE，则 BE=CE， 内部资料15 A=90， AE 2+AC2=EC2，（勾股定理） AE 2+AC2=BE2，即 BE 2=AC2+AE2。 第一章检测题 一、选择题 1、若把直角三角形的三边都增加同样的长度，则新三角形是（ ）。A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 2、下列各组数分别是三角形三条边的长，能
27、构成直角三角形的边的是（ ）。 A、5，13，13 B、1， C、1， ，3 D、1.5，2.5，3.5 3、正方形 ACEF 的边 AC 是正方形 ABCD 的对角线，则正方形 ABCD 与正方形 ACEF 的面积比是（ ）。A、 2 B、 1 C、12 D、41 4、已知三角形两边分别是 5 和 12，若这两边的夹角是 30，则其面积是（ ）。A、30 B、15 C、45 D、60 5、已知等边三角形的面积为 cm2，那么它的高是（ ）。A、 cm B、 cm C、 cm D、 cm 二、填空题 6、如图 1，CE、CD 分别是 RtABC 斜边上的高和中线，那么图中所有的直角三角形分别是
28、_，图中所有的等腰三角形是_，其中相等的线段是_=_=_。 7、如图 2，在 ABC 中，ADBC，DEAB，EFAC 交 AD 于 G，那么图中所有直角三角形分别是_，DAC 是 Rt_与 Rt_的公共角，C=_=_；若BAD=42，CAD=15，则GDE=_度，DGE=_度，DEG=_度。 8、在 ABC 中，A 的对边为 a，B 的对边为 b，C 的对边为 c，C=90。 若 a=5，b=12，c=_。 若 b=5，c=7，则 a=_。 若 c=30，ab=34，则 a=_，b=_。 若 a=m，A=30，则 b=_，c=_。 若 b=m，A=30，则 a=_，c =_。 若 a=b，c
29、=m，则 a=_，S ABC =_。 若 a=b=m，则 c=_，S ABC =_。 9、在 RtABC 中，C=90，a=6，b=8，则 c=_，斜边上的高等于_。 10、正方形的面积为 acm2，则以这个正方形的对角线为边的正三角形的面积是_。 内部资料1611、在 ABC 中，BC=n 2-1，AC=2n，AB=n 2+1，则A+B=_。12、直角三角形的两直角边长分别是 3cm 和 4cm，则斜边上的高是_cm。 13、已知等边三角形的边长为 6，则它的高是_，面积是_。 14、在 ABC 中，ACBC，以 AC 和 BC 为边向形外作等边三角形的面积为 3cm2和 4cm2，则以斜边
30、AB 为边向形外所作等边三角形的面积是_。 15、已知直角三角形的两条直角边是 6cm 和 8cm，则斜边上的中线长是_。 16、若直角三角形的两直角边满足 a+b= ，斜边 c=2，则 SABC =_。 三、解答题 17、在 ABC 中，C=90，AB=m 2+n2，BC=m 2-n2 (mn0)，求 AC。 18、直角三角形斜边上的中线比一直角边短 1cm。如果斜边长为 10cm，求两条直角边的长和面积。 19、如图 3，在 ABC 中，ABAC，AD 是中线，AE 是高。求证：AB 2-AC2=2BCDE。 20、如图 4，水池中离岸边 D 点 1.5m 的 C 处，直立长着一根芦苇，出
31、水部分 BC 的长是 0.5m，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好在 D 点。求：水的深度 AC。 21、沙漠探险队的 A 组由驻地出发，以 12 公里/小时的速度向东南方向搜索前进，同时，B 组也由驻地出发，以 9 公里/小时的速度向东北方向搜索前进，求 2 个小时后，A、B 两组之间的距离。 第一章检测题答案： 一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 二、6. ABC、AEC、BEC、DEC； ADC、BDC； AD，DC，DB 7、ADB、ADC、DEB、DEA、AEF、AGF； ADC，AFG;AGF，EGD； 48，75，57 8、 13 18，24 ，2m 9、10，4.8 （
32、提示：利用直角三角形的两个面积公式，得到方程即 ab=ch，得到 ,其中 a,b,为直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高.） 10、 11、90（提示：满足 BC2AC 2=AB2，所以三角形 ABC 是以顶点 C 为直角的 RT。） 12、13、 内部资料1714、7cm 2 （提示：等边三角形的面积公式为 ，其中 a 为等边三角形的边长。这个公式记住直接用会很快。设 RT三边为 a，b，c，则。） 15、5cm 16、 。(提示：a+b= ，则(a+b) 2=6，a 2+b2+2ab=c2+2ab=6，所以 2ab=6-22=2，直角三角形的面积为)三、17、2mn18、6cm，8cm，2
33、4cm 2。 19、证明：AB 2-AC2 =(BE 2+AE2)-(EC2+AE2)=BE 2-EC2=(BE+EC)(BE-EC)=BC(BE-EC) BD=DC， BE=BC-EC=2DC-EC。 AB 2-AC2=BC(2DC-2EC)=2BCDE。 20、如图，依题意 AB=AD，ABCD，设 AC 长度为 x，由题意得 CD=1.5，AB=x+0.5=AD，所以：x 2+1.52=(x+0.5)2，解得 x=2。 答：水的深度为 2 米。 21、2 小时后，A 组走的路程为：122=24，B 组走的路为：92=18。 因两组前进的方向是直角，所以两组之间的距离是： =30（公里）。
34、 答：2 小时后，两组之间的距离是 30 公里。 第二章实数平方根和立方根 一、知识要点： 1、平方根的意义：如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根（或二次方根）。注意：这样的数常常有两个。 2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如 9 的平方根是3。 内部资料18(2)0 的平方根是 0 本身；(3)负数没有平方根。 3.平方根的表示方法: 正数 a 的平方根表示为“ ” 4.算术平方根:正数 a 的正的平方根也叫做 a 的算术平方根。记作 。0 的平方根 0,也叫做 0 的算术平方根。 5. 0（当 a0 原式= （2）bc, bd；原式=3a+2c+
35、d+2(b-c)+b-d =3a+2c+d+2b-2c+b-d =3a+3b=3a-3a=0 例 5. 求下列各式中的 x: (1)49x 2=169 解: x 2= x= x= 。 (2) 9(3x-2) 2=(-7)2 分析:先求出 3x-2 的值,再进一步求 x 的值。 解: (3x-2) 2= 3x-2= 3x-2= 接下来需分类讨论。 当 3x-2= 时,3x= +2, x= 。 当 3x-2=- 时, 3x=- +2, x=- 。 x= 或 x=- 。 (3) =11 解:两边平方得 x=121。 (4) 27(x-3) 3=-64 解:(x-3) 3=-x-3= x-3=- x=
36、 内部资料21(5) (5x+2) 3-125=0 解:(5x+2) 3=125 5x+2= 5x+2=5 x= (6) =2 解:x-1=2 3 x-1=8 x=9 例 6.若(x-y+5) 2与 互为相反数,求 x,y 的值。 解: (x-y+5) 2与 互为相反数。 (x-y+5) 2+ =0 (x-y+5) 20, 0, 解这个方程组得 x=- 且 y= 。 说明:在这里用到“几个非负数的和为零,只有这几个非负数分别是零,才符合要求“这一性质。 四.练习: 1.判断正误: (1) 的平方根是3。 （ ） (2) = 。 （ ） (3)16 的平方根是 4。 （ ） (4)任何数的算术平
37、方根都是正数。 （ ） (5) 是 3 的算术平方根。 （ ） (6)若 a2=b2,则 a=b。 （ ） (7)若 a=b,则 a2=b2。 （ ） (8)729 的立方根是9。 （ ） (9)-8 的立方根是-2。 （ ） (10) 的平方根是 。 （ ） 内部资料22(11)- 没有立方根。 （ ） (12)0 的平方根和立方根都是 0。 （ ） 2.填空: (1)(-3) 2的平方根是_,算术平方根是_。 (2)169 的算术平方根的平方根是_。 (3) 的负的平方根是_。 (4)- 是_的一个平方根,(- )2的算术平方根是_。 (5)当 m=_时, 有意义；当 m=_时, 值为 0
38、。 (6)当 a 为_时,式子 有意义。 (7) 是 4 的_,一个数的立方根是-4,这个数是_。 (8)当 x 为_时, 有意义。 (9)已知 x2=11,则 x=_。 (10)当 a0，则 = ，即求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数。 中考典例(湖南长沙)8 的立方根与 4 的算术平方根的和是( )A、0 B、4 C、4 D、0 或4 考点：算术平方根、立方根。 评析：根据立方根，算术平方根的意义，先分别求出8 的立方根为2，4 的算术平方根为 2，最后求和即2+2=0 故选 A。 真题专练1、(杭州市)下列各组数中，互为相反数的是( ) A、0 B、|
39、2|与 2 C、2 与 D、2 与 2、(河北省)在下列式子中，正确的是( )A、 = B、 =0.6 C、 D、 答案：1、C；2、A 课外拓展、平方根近似值的一种求法 内部资料26在不少场合，我们需要求出某个正数平方根的近似值，那么，通常采用什么方法呢？教科书中介绍了查表的方法，使用计算器的方法和笔算开平方法，这些都是十分实用的。下面我们介绍另一种实用的方法。假定我们要求 的近似值。因为 32=9，4 2=16，据此知道 比 3 大比 4 小，设 =3+b，b 是一个正的纯小数，两边平方得到 13=9+6b+b 2 因为 b2是一个比 b 还小得多的正纯小数，舍去 b2得到 13=9+6b
40、， 于是得到 的一个近似值为 3.67。 若我们要得到 更好的近似值，那么，可以以第一次得到的近似值为基础，设 = , c 是一个绝对值较小的正数或负数。两边平方得 , 舍去 c2，得到 ,。 于是就有 =3.670.06=3.61，即得到 的第二次近似值为 3.61。 观察上面的计算过程，就可发现，在式子 =3+b 和 = +c 中，或 是接近于 的一个有理数，b 或 c 用分数表示时，它的分子是被开方数 13 与接近于 的数的平方之差，分母是 2 倍的接近于 的数，即有= 3+ ，= 。 由此我们可以看到，这其中隐藏着的某种规律性的东西，用式子表示出来就是 a+ 。 这一规律早在我国魏晋间
41、杰出的数学家刘徽的九章算术注里（约公元 263 年前后）就已提及。不仅如此，书中还提到，在非平方数的场合， 有另一近似表达式a+ ， 内部资料27并指出平方根的值在两个近似值之间： a+ 0, - 0 - 0 |x 2+6x+10|= x2+6x+10 例 4.计算下列各式： (1) (2) (3) (4)0.2 -0.7 内部资料31解：(1) =-4+2-3-2=-7 (2) =- +1 =- =- (3) =0.8-0.14+1.1=1.76 (4)0.2 -0.7 =0.220-0.790=4-63=-59 例 5.已知(x-6) 2+ +|y+2z|=0，求(x-y) 3-z3的值。
42、 解：(x-6) 2+ +|y+2z|=0 且(x-6) 20, 0, |y+2z|0, 几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为 0。 解这个方程组得 (x-y) 3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 例 6.已知： =0，求实数 a, b 的值。 分析：已知等式左边分母 不能为 0，只能有 0，则要求 a+70，分子 +|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0 且 a2-49=0，由此得不等式组 从而求出 a, b 的值。 解：由题意得 由(2)得 a 2=49，a=7 由(3)得 a-7，a=-7 不合题意舍去。 只取 a=7 把 a=7 代入(1)得 b=3
43、a=21 内部资料32a=7, b=21 为所求。 例 7.有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少 cm。 解：设新正方形边长为 xcm， 根据题意得 x 2=112+138 x 2=225 x=15 边长为正，x=-15 不合题意舍去， 只取 x=15(cm) 答：新的正方形边长应取 15cm。 四、练习： (一)判断正误： (1)带根号的数都是无理数 ( ) (2)不带根号的数一定是有理数 ( ) (3)无限小数都是无理数 ( ) (4)无理数一定是无限不循环小数 ( ) (5)有理数与数轴上的
44、点一一对应 ( ) (6)最小的实数是零，最大的实数不存在 ( ) (7)无理数加无理数的和是无理数 ( ) (8)有理数加无理数的和是无理数 ( ) (9)有理数乘无理数的积是无理数 ( ) (10)无理数乘无理数的积是无理数 ( ) (二)填空：(1) |x-y+2|与 互为相反数，则 x=_, y=_。 (2) |x|= , 则 x=_。 (3) =2, 则 x=_；若 =3, 则 x=_。 (4) 若 0x1, 则 + =_。 (5) 如果分式 有意义，则 x 的取值范围是_。 (三)已知 =0，试求 x2-y2的值。 (四)已知：x 2+y2+4x-6y+13=0，求 x2+y 的平方根。 练习参考答案： (一)判断正误： (1)(反例： =2) (2) (反例：) (3) (4) (5) (6) (7)(反例： +(- )=0) (8) (9) (反例：0 =0) (10) (反例： =5)
