1、1/126第一章 集合与简易逻辑第 1 课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想【基础练
2、习】1.集合 (,)02,xyyxZ用列举法表示,1()(12.设集合 ,Axk， 2,BxkZ，则 AB3.已知集合 0,2M， ,NaM，则集合 N_4.设全集 13579I，集合 159A， 5,7IC，则实数 a 的值为_8 或 2_【范例解析】例.已知 R为实数集，集合 230Ax.若 RBCA，01BCAx或 ，求集合 B.分析：先化简集合 A，由 RBC可以得出 与 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1） 12Ax， 1RCAx或 2.又 RBCA，RC，可得 B.而 01Rx或 23x，x或 .B借助数轴可得 Ax或 x03x.【反馈演练】1设集合 2,1
3、， 3,B， 4,2C，则 CBAU=_2设 P， Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q= ,520,|Pba若6,，则 P+Q 中元素的个数是_8_个3设集合 260x， 23xa.（1）若 ，求实数 a 的取值范围；（2）若 PQ，求实数 a 的取值范围；（3）若 03x，求实数 a 的值.解：（1）由题意知： 2x， PQ， P.当 Q时，得 a，解得 3当 时，得 ，解得 10a综上， (1,0)(3,)a（2）当 Q时，得 23a，解得 ；0,22/126当 Q时，得 23,a或 ，解得 352a或 综上， (,5,)a（3）由 03Px，则 0a第 2 课 命题及逻辑联结词【考
4、点导读】1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系2. 了解逻辑联结词“或” ， “且” ， “非”的含义；能用“或” ， “且” ， “非”表述相关的数学内容3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定【基础练习】1.下列语句中： 230x；你是高三的学生吗？ 315； 36x其中，不是命题的有_ 2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若 q则 p ，否命题可表示为 pq若 则 ，逆否命题可表示为 p若 则 ；原命题与逆
5、否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题【范例解析】例 1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1） 平行四边形的对边相等；（2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设 ,abcdR，若 ,abcd，则 acbd.分析：先将原命题改为“若 p 则 q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）
6、原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设 ,abcdR，若 ,abcd，则 acbd；真命题；逆命题：设 ，若 ，则 ,；假命题；否命题：设 ,c，若 或 c，则 c；假命题；逆否命题：设 abdR，若 abd，则 ab或 d；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式，找出其条件 p 和结论 q，再根据四种命题
7、的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题 p 的否定即 时，要注意对 p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或” ， “或”的否定为“且” ， “都是”的否定为“不都是”等.例 2.写出由下列各组命题构成的“ p 或 q”， “p 且 q”， “非 p”形式的命题，并判断真假.（1） p：2 是 4 的约数， q：2 是 6 的约数；（2） p：矩形的对角线相等， q：矩形的对角线互相平分；（3） p：方程 210x的两实根的符号相同， q：方程 210x的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：3/126（1） p 或 q：2
8、 是 4 的约数或 2 是 6 的约数，真命题；p 且 q：2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数，真命题；非 p：2 不是 4 的约数，假命题.（2） p 或 q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p 且 q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非 p：矩形的对角线不相等，假命题.（3） p 或 q：方程 210x的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p 且 q：方程 的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非 p：方程 2x的两实根的符号不同，真命题.点评：判断含有逻辑联结词“或” ， “且” ， “非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题 p，
9、q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例 3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1） p：所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除；（2） p：每一个非负数的平方都是正数；（3） p：存在一个三角形，它的内角和大于 180；（4） p：有的四边形没有外接圆；（5） p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“ ,()xMp”的否定是“ ,()xMp”，特称命题“,()x”的否定是“ ,()” .解：（1） p：存在末位数字是 0 或 5 的整数，但它不能被 5 整除，假命题；（2） ：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3） ：任意一个三角形，它的内角和都不大于 180
10、，真命题；（4） ：所有四边形都有外接圆，假命题；（5） p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语 等于 大于 小于 是 都是否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 【反馈演练】1命题“若 aM，则 b”的逆否命题是_.2已知命题 p： 1sin,xR，则 :p,sin1xR. 3若命题 m 的否命题 n，命题 n 的逆命题 p，则 p 是 m 的_逆否命题_. 4命题“若 ，则 2ba”的否命题为_5分别写出下列命题的逆命题，否命
11、题，逆否命题，并判断它们的真假（1）设 ,ab，若 0，则 或 0；（2）设 R，若 ,，则 解：（1）逆命题：设 ,，若 a或 b，则 a；真命题；否命题：设 b，若 0，则 且 0；真命题；逆否命题：设 ,，若 且 ，则 b；真命题；（2）逆命题：设 R，若 ，则 ,；假命题；否命题：设 ,a，若 或 b，则 a；假命题；逆否命题：设 b，若 0a，则 或 0；真命题第 3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合 PQ，则 是 的充分条件；若集合 ，则 是 的
12、必要条件；若 ，则bMa若 ，则ab21ab4/126若集合 PQ，则 是 的充要条件3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力【基础练习】1.若 pq，则 是 的充分条件若 qp，则 是 q的必要条件若 pq，则 是 的充要条件2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知 :2px， :q，那么 p是 q的_充分不必要_条件（2）已知 两直线平行， 内错角相等，那么 p是 q的_充要_条件 （3）已知 :四边形的四条边相等， :四边形是正方形，那么 p是 q的_必要不充分_条件3.若 xR，则 1的一个必要不充分条件是 0x【范例解析
13、】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1） 2,.xy是 4,.y的_条件；（2） (4)10是 x的_条件；（3） 是 tant的_条件；（4） 3xy是 x或 2y的_条件.分析：从集合观点“小范围 大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为 ,.y结合不等式性质易得 4,.xy，反之不成立，若 12x，0y，有 4,.x，但 2,.xy不成立，所以 2,.y是 4,.xy的充分不必要条件.（2）因为 (4)10x的解集为 1,4， 0x的解集为 (1,4，故()是 的必要不充分条件.（3）当 2时， tan,均不存在；当 tant时
14、，取 4，54，但 ，所以 是 tt的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“ 1x且 2y是 3xy的_条件” ，故3xy是 1x或 2y的充分不必要条件.点评：判断 p 是 q 的什么条件，实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q则 p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则 p 为 q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则 p 为 q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则 p 为 q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则 p 为 q 的既不充分也不必要条件.在判断时注意反例法的应用.在判断“若 p 则 q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命
15、题“若 q 则 p”的真假.【反馈演练】1设集合 30|xM， 20|xN，则“ Ma”是“ Na”的_必要不充分条件2已知 p：1 x2， q： x(x3)0，则 p 是 q 的 条件3已知条件 2:1ARa，条件 2:30BxR若q是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围解： :1Bx，若 q是 p的充分不必要条件，则 AB若 A，则 240a，即 2；若 ，则 22, 4,ax解得 52a综上所述， 5a充分不必要5/126第二章 函数 第 1 课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数
16、概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数【基础练习】1设有函数组： yx， 2； yx， 3； yx， ；(0),y， ； lg1， lg0其中表示同一个函数的有_ 2.设集合 2Mx， 02Ny，从 M到 N有四种对应如图所示：其中能表示为 M到 N的函数关系的有_ 3.写出下列函数定义域：(1) ()13fx的定义域为_； (2) 21()fx的定义域为_；(3) ()fx的定义域为_； (4) 0()fx的定义域为_4已知三个函数:(1) ()PyQx； (2) 2()nyPx*)N； (3) (
17、)logQxyP写出使各函数式有意义时， ()Px， Q的约束条件：(1)_； (2)_； (3)_5.写出下列函数值域：(1) 2()fx， 1,23x；值域是 2,61(2) ； 值域是 ,)(3) ()fx， (,x 值域是 (【范例解析】例 1.设有函数组：21()xf， ()1gx； ()1fxx，2()1gx； fx， ()1gx； ()21fx， ()21gt其中表示同一个函数的有分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同解：在中， ()f的定义域为 ， ()g的定义域为 R，故不是同一函数；在中，()fx的定义域为 1,， ()gx的定义域为 ,1,)，故不是
18、同一函数；是同一函数点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可例 2.求下列函数的定义域： 21yx； 12()log()xf；解：（1） 由题意得： 20,1x解得 且 或 x且 ，故定义域为 (,)(,)(2,) 由题意得： 12log，解得 ，故定义域为 (1,2)例 3.求下列函数的值域：122 xyOy122 xO122 xOy122 xOyR1x1,0)(,)(,)(,0)()0()0x且 且()0x()()1x6/126（1） 24yx， 0,
19、3)x；（2） 1()R；（3） 分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域（1） 解： 224()yxx， 0,3)x， 函数的值域为 2,；（2） 解法一：由 1， 21，则 10x，01，故函数值域为 0,)解法二：由2xy，则 21y， 20x， 1y， y，故函数值域为 ,)（3）解：令 1t(0)，则 2t， 22()tt，当 0t时， 2y，故函数值域为 ,)点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围【反馈演练】1函数 f(x) x21的定义域是_2函数 )34(log2的定义域为_3. 函数
20、 21)yxR的值域为_4. 函数 3的值域为_5函数 )4(log25.0xy的定义域为_6.记函数 f(x)= 132的定义域为 A，g(x)=lg (xa1)(2ax)(a0，得 (xa1)(x2a)2a，B=(2a，a+1) B A， 2a1 或 a+11，即 a 或 a2，而 a0，即 f在（0，1）内单调递减，由于 x是奇函数，所以 )(x在（1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力【反馈演练】1给出下列四个数： 2(ln)； l()； ln2； l.其中值最大的序号是_.2设函数 ()log()0,1)afxba的图像过点 (,
21、1)， 8,，则 ab等于_5_ _3函数 l(3)1(,)ay的图象恒过定点 A，则定点 的坐标是 (2,1)4函数 1,0)(log)(在xaxfa上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为 125函数 ,342f 的图象和函数 xg2lo的图象的交点个数有_3_个.6下列四个函数： lgyx； lyx； lgy； lgyx.其中，函数图像只能是如图所示的序号为_.7求函数 22()lolg4xf, 1,的最大值和最小值解： 2g()(log)x x22llogx令 2lt， 1,，则 1,t，即求函数 yt在 2上的最大值和最小值故函数 ()fx的最大值为 0，最小值为 948已知函数
22、 logaxb(,10)ab（1）求 ()fx的定义域；（2）判断 )fx的奇偶性；（3）讨论 ()fx的单调性，并证明解：（1）解：由 0b，故的定义域为 ()(,（2） ()log()axf fx，故 f为奇函数（3）证明：设 12，则 1212()()logaxbff ， 1221()0(xbbx第 6 题22/126当 1a时， 12()0fxf，故 )(xf在 ,)b上为减函数；同理 )(xf在 ,)b上也为减函数；当 0时， 12()ff，故 )(f在 ,)， (,)b上为增函数第 10 课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及
23、根的个数，了解函数零点与方程根的联系2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法【基础练习】1.函数 2()4fx在区间 4,1有_1 _个零点2.已知函数 的图像是连续的，且 x与 ()f有如下的对应值表：x1 2 3 4 5 6()f2.3 3.4 0 1.3 3.4 3.4则 x在区间 ,6上的零点至少有_3_个【范例解析】例 1. ()fx是定义在区间c，c上的奇函数，其图象如图所示：令 ()gxafb，则下列关于函数 ()g的结论：若 abc， 且 f（1）=0，证明 f（x）的图象与 x 轴有 2 个交点.证明： 2(1
24、)0,0,40,f acbac且 且 x的图象与 x 轴有两个交点.24/126第 11 课 函数模型及其应用【考点导读】1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力【基础练习】1 今有一组实验数据如下： t1.99 3.0 4.0 5.1 6.12v1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律， 2logvt 12logvt 21tv 2vt其中最接近的一个的序
25、号是_2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/ 辆，年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 87.5 可知，h(t)在区间0，300 上可以取得最大值 100，此时 t=50，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大 奎 屯王 新 敞新 疆 【反馈演练】1把长为 12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是_ _ 2cm 432某地高山上温度从山脚起每升高 100m 降低 0.7，已知山顶的温度是 14.1，
26、山脚的温度是 26，则此山的高度为_17_m 3某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L1=5.06x0.15 x 2 和L2=2 x，其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为_45.6_万元 4某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x，y( 单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少时用料最省?解：由题意得 xy+ 41x2=8，y= x48= (0x4 ).则框架用料长度为 l=2x+2y+2( 2)=( 3+ )x+ 164 24.当( 23+
27、)x= 16,即 x=84 时等号成立.此时，x=84 ， y，故当 x 为 84 m，y 为 2m 时，用料最省.第三章 三角函数和解三角形 第 1 课 三角函数的概念【考点导读】1 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算角的概念推广后，有正角、负角和零角；与 终边相同的角连同角 本身，可构成一个集合 ZkS,360；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为 1 弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式 rl及扇形的面积公式 S lr2（ 为弧长）解决问题.2 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴的正半轴，建立直角
28、坐标系，第 4 题xy26/126在角的终边上任取一点 (,)Pxy（不同于坐标原点） ，设 OPr（ 20xy） ，则的三个三角函数值定义为： sin,cos,tanxyrr从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为 R；正切函数的定义域为 |,2RkZ3 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值） ，二正弦（第二象限内只有正弦值为正） ，三切（第三象限只有正切值为正） ，四余弦（第四象限内只有余弦值为正） 另外，熟记 0、 6、 4、 3、 2的三角函数值，对快速、准确地
29、运算很有好处.4 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题【基础练习】1 85化成 2(02,)kkZ的形式是 2已知 为第三象限角，则 所在的象限是 3已知角 的终边过点 (5,1)P，则 cos= ， tan= 4 tan()sico8的符号为 5已知角 的终边上一点 (,)a（ 0） ，且 ta，求 si， co的值解：由三角函数定义知， 1，当 时， 2sin， 2；当 1a时， 2sin， 2cos【范例解析】例 1.（1）已知角 的终边经过一点 (4,3)(0
30、Pa，求 2sinco的值；（2）已知角 的终边在一条直线 yx上，求 si， ta的值分析：利用三角函数定义求解解：（1）由已知 4xa， 5r当 0a时， 5r， 3sin5， 4cos，则22sinco；当 0a时， r， 3sin5， 4cos5，则 22sic（2）设点 (,3)0Pa是角 的终边 3yx上一点，则 tan3；当 0a时，角 是第一象限角，则 sin2；当 时，角 是第三象限角，则 3i点评：要注意对参数进行分类讨论例 2.（1）若 sinco0，则 在第_象限（2）若角 是第二象限角，则 sin2， cos， in2， cos， tan2中能确定是正值的有_个解：（
31、1）由 sinco0，得 si， 同号，故 在第一，三象限（2）由角 是第二象限角，即 22kk，得 42kk，424kk，故仅有 tan为正值点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号例 3. 一扇形的周长为 0cm，当扇形的圆心角 等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值1362第二或第四象限 5135正27/126解：设扇形的半径为 x，则弧长为 (20)lx，故面积为21(20)(5)y，当 5x时，面积最大，此时 x， 1l， 2lx，所以当 弧度时，扇形面积最大 25 2cm点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数
32、【反馈演练】1若 sinco且 sinco0则 在第_象限 2已知 6，则点 (,ta)A在第_象限3已知角 是第二象限，且 ,5Pm为其终边上一点，若 2cos4m，则 m 的值为_4将时钟的分针拨快 30in，则时针转过的弧度为 5若 6，且 与 2终边相同，则 = 6已知 1 弧度的圆心角所对的弦长 2，则这个圆心角所对的弧长是_，这个圆心角所在的扇形的面积是_ 7 （1）已知扇形 AOB的周长是 6cm，该扇形中心角是 1 弧度，求该扇形面积（2）若扇形的面积为 8 2cm，当扇形的中心角 (0)为多少弧度时，该扇形周长最小简解：（1）该扇形面积 2 ；（2） 8rly，得 1682r
33、，当且仅当 2r时取等号此时， 42l，2lr第 2 课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用【基础练习】1. tan600=_2. 已知 是第四象限角， 5tan12，则 sin_3.已知 3cos2，且 ，则tan _ 4.sin15cos75+cos15sin105=_1_【范例解析】例 1.已知 8cos()17，求 sin(5)， tan(3)的值分析：利用诱导公式结合同角关系，求值解：由
34、s()，得 8cos017， 是第二，三象限角若 是第二象限角，则 5in(5)in， 15tan(3)tan8；若 是第三象限角，则 ss， 点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复例 2.已知 是三角形的内角，若 1sinco5，求 tan的值分析：先求出 sinco的值，联立方程组求解二三 31631sin2cos51328/126解：由 1sinco5两边平方，得 112sinco25，即 2420又 是三角形的内角， cs， 2由 29(sinco)5，又 inos0，得 7sinco5联立方程组1is7nco5，解得
35、4i53cos，得 4ta3点评：由于 2(si)1in，因此式子 sinco， sinco，sinco三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二【反馈演练】1已知 5si,则 44sincos的值为_2 “ inA”是“A=30”的必要而不充分条件3设 0x,且 1sin2icosxx，则 的取值范围是 54x4已知 sinco5，且 34 ，则 2的值是 5 （1）已知 13，且 02，求 cos()3sin()的值（2）已知 sin()64x，求 2sin()in()6xx的值解：（1）由 1co3，得 ta原式= si24ntn52（2） 1sin()64x， 2 25sin()sin(
36、)sin()sin()6366xxxx29co6已知 ta3，求 （I） sin2co的值； （II） 21is的值 解：（I） 4tan3；所以 6incos2= 6tan132=4()736（II）由 t，于是 212sincos222incostan153第 3 课 两角和与差及倍角公式（一）【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换” ， “名称变换” ， “升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式
37、的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同” 【基础练习】1. sin163i2sin53i1 _2. 化简 co6x_ 3. 若 f(sinx)3 cos2x，则 f(cosx)_ 4.化简： si1s2_ 【范例解析】5372 23cos2xcos()tan29/126例 .化简：（1）4212costan()i()xx；（2）(sicsc2(0)o（1）分析一：降次，切化弦解法一：原式=221(cs)in4o(cs()xx2(cos1)4in(4x2cosin()x1os2x分析二：变“复角”为“单角” 解法二：原式2
38、1(cos)tan2icos)xx 22cosin2(s)x1cosx（2）原式=2(incos)(sinc)22422cos(ics)cso20， 02， cs0， 原式= cos点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手如：切化弦， “复角”变“单角” ，降次等等【反馈演练】1化简22sincostan2若 sinta0x，化简 1cos2x_3若 0 4，sin cos = ，sin cos = b，则 a与 的大小关系是_4若 sicotan()2，则 的取值范围是_5已知 、 均为锐角，且 cossin()，则 tan= 1 .6化简：21tan()si()4解：
39、原式=2cosi()s()44 cos2in()()4cos217求证： 222sincocosxx证明：左边= s2222(sin1cos)sxx=右边8化简： 22sinisincos()解：原式= sin)22 2siisics22n(1)n(1i)iscos2sicosicosn2()2sin) 第 4 课 两角和与差及倍角公式（二）)3,4(2cosxab30/126【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值” ， “给值求值” ， “给值求角” 【基础练习】1写出下列各式的值： （1） 2sin5co1_； （2） 22cos
40、15in_；（3） _； （4） i_1_2已知 3(,)si,5则 tan()=_ 3求值：（1） 1tan_；（2） 5cos12_4求值： t023(ta0t)_1_5已知 a，则 cos_6若 cos2in4，则 sin_【范例解析】例 1.求值：（1） si0(tan13)；（2） in580co分析：切化弦，通分解：（1）原式= sin10i4(3)co= sin103cosi42s6)in40co1sin801（2） sin10cos3in102si413tan03co，又cos2c5原式=sin40in0i82(si5in40)o1cco2cos5点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换例 2.设 4cos()5， 12cos()3，且 (,)2， 3(,2)，求2， 分析： ()()， 2()()解：由 4cos5， ,，得 3sin5，同理，可得in()133cs2()()65，同理，得 6cos2点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如： ()()，()()等例 3.若 3cos45x， 1724x，求2sini1tax的值分析一： ()解法一： 1724x， 234x，又 3cos()45， sin()5， 4tan()3x374 542
