1、1“曲线与方程”的教学反思上海曹杨二中 桂思铭 （200062）一、对教学设计的再思考本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程” 。前一小节引入“曲线的方程”和“方程的曲线”概念,并通过概念的简单应用，使学生初步理解概念；后一小节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，通过求轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的概念.在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程” “圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动构建概念。我认为这样的设计对学生理解概念、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的
2、时间让学生进行归纳、思考、总结. 从实际的教学情况来看, 在概念的引入上是比较成功的,学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致,这是设计中值得肯定的一面.先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程.要完整地体现教材的编写意图,在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理.我们来看教材中的一个习题(37 页练习 3):如图,已知点 的坐标是 ,过点 的直线C(2)C与 轴交于点 ,过点 与直线 垂直的直线AxA与 轴交于点 .设点 是线段 的中点，求ByMB点 的轨迹方程.M这个问题的解答途径主要有两种:（1）用 和 有公共的斜边RtACBtO这一特性,得出点 到定点 及 的
3、距离相同,B得出所求的轨迹就是线段 的垂直平分线,因此可以利用例 2 的方法来求解;（2）引入一个参数,设直线 的斜率为 ,然后根据已有的知识将点 的坐标用 来kMk表示,最后消去参数.这两种方法学生都比较陌生,前一种解法的“平面几何味道”很浓,有一个转化的过程;后一种解法主要是用参数方程的思想,学生没有接触过,没有可以模仿的例题,独立解决有困难,需要教师的铺垫与归纳. 同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务.鉴于上述分析,应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点,但一个课时无法完成教学
4、任务，需要增加一个课时.2二、对教学设计的调整基于上面的思考，现将教学设计作一个调整，将本节内容改成两节课完成，两节课的内容安排如下：第一课 2.1.1 曲线与方程的全部内容加上 2.1.1 求曲线的方程例 2;第二课 例 3 结合作业分析,归纳几种主要的求轨迹方程的方法.下面是修改后的教学设计:(一)课前预习在上课前一天布置学生复习回顾下列内容，并思考：从中可以归结出哪些观点？片断 1 数学 2 第三章中直线与方程的章头语：通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。建立直线方程.然后通过方程,研究直线的有关性质.片断 2 第四章 圆与方程的章头语建立圆的方程.通过圆
5、的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系.片断 3 数学 2 中第 97 页的思考栏目（1）平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于 、 的二元一次方程来表示吗？xy（2）每一个关于 、 的二元一次方程都能表示一条直线吗？xy(二)概念导入1通过投影呈现上述片断，让学生回答从中可以得出哪些主要信息?(从上述片断中可以提炼出观点:解析几何主要是通过方程来研究几何问题;二元一次方程和直线间具有一一对应关系;片断 3 也提供了建立方程和曲线联系的途径;更一般的,可以先建立曲线的方程，通过方程来研究曲线的几何性质.)2.指出今天我们要学习的内容,板书标题 “曲线与方程” 。3.为了帮助学生给曲线的方程下
6、定义,进一步提供以下问题:(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程：(i) (ii)(2)作下列方程所表示的图形：(i) ; (ii) .1(02)yx21yx(通过具体问题体会“纯粹性”和“完备性” 。教学中可根据学生的回答情况，通过追问的方式，在上述两点上帮助学生深入理解。)4.结合对前面问题的观察分析,请学生给曲线的方程下个定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 (看作点的集合或某种条件的点的轨迹)上的点C3与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系:(,)0fxy(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.5.证明与两条坐标轴的距离的积是常数
7、的点的轨迹方程是 .(0)kxyk(1)先用信息技术展示“与两条坐标轴的距离的积是常数 的点的轨迹” ，再引(0)k导学生分析，明确解题任务要证明轨迹方程为 ，就是要证明两个命题：轨迹xy上的点的坐标满足方程 ，并且方程 的解为坐标的点都在轨迹上;xykk(2)教师展示证明过程,帮助学生规范证明的书写,体会解题过程.(三)求曲线的方程1.对什么是求曲线的方程作简单讲解(结合前面的问题来讲解,明确求曲线的方程是要做什么工作，要注意哪些问题)。2.通过投影显示例 2 的内容,请学生阅读例 2,学习解题的方法(这里将直线看作点的轨迹), 并对照例 2 的解题步骤,写出求曲线方程的一般步骤.(四)巩固
8、练习1.完成教科书第 37 页上的练习 1.2,请学生谈谈这两个题主要帮助自己加深了对哪些问题的认识?2.阅读 37 页上的练习 3,教师用几何软件作轨迹图形(线段 的垂直平分线)然后帮OC助学生形成解题的方法.(设计说明：前面已分析了学生解这个问题的困难所在,先用软件作图的目的在于启发学生的思维,帮助学生形成解题策略,有了轨迹可以启发学生用平面几何的知识将问题进行转化,同时也可以对解题中为什么要引入参数,如何引入参数作一些必要的说明,让学生掌握解题的方法。)目标检测还是延用原来的内容. 家庭作业 习题 2.1 的 A 组习题,再补充一个习题：已知在长为 线段 上有一个动点 ,以 、 为边在
9、的同一侧作等边三角2aBPABA形 、 ,建立适当的坐标系,求线段 的中点 的轨迹方程.APMNMNQ(这个习题的目的是要求学生体会解析法的思想,体会运用参数求轨迹方程的方法。)三、对教学设计中“问题串”的思考本课题在前期研究中确定，教学设计以问题串的形式进行，这种做法的实际意义在于：便于课题组成员之间相互借鉴,同时能促进设计者更好地思考、把握好教学的细节，在课后也便于总结回顾和修改.经过较长时间的对“问题串”设计的思考，我认为“问题串”可以有“串联”和“并联”两种模式：4串联模式 并联模式“串联模式”通常是将一个大的问题肢解成若干小问题，通过小问题引领学生步步深入而得出结论,其优势是针对性强
10、,学生容易操作,缺点是不够开放,有时会产生“只见树木不见森林”的局面;而“并联模式 ”优势在于学生的独立思考空间较大，更有利于从整体上把握问题，但针对性不如前一种强.这两种模式各有特点,我们应根据实际的教学内容来合理的加以运用.在本节课教学设计中，我希望学生能通过问题的引导自己得出结论，这就需要给学生提供适当的素材来帮助学习活动，进行概括总结。在开始阶段，我要求学生回顾过去学过的相关内容，目的是为本课的学习提供一个比较开放的背景，使学生的思考活动有一个合适的出发点，知道要研究的问题是什么，可以通过怎样的方法去研究，从而使学生明确思考的方向。在这个大背景下，再结合具体问题，进一步深入概念的本质。因此，我设计的“问题串”相对比较开放。在教学实施中，我还根据学生的实际情形，对“问题”作了一些调整和补充，从实施过程看，这种调整是必要的，教学效果是好的.
