1、1模块综合测评(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1若函数 f(x) sin 2xsin x，则 f( x)是( )12A仅有最小值的奇函数B仅有最大值的偶函数C既有最大值又有最小值的偶函数D非奇非偶函数2已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a 等于( )a i1 iA1 B1C D2 23若大前提：任何实数的平方都大于 0，小前提： aR，结论： a20，那么这个演绎推理出错在( )A大前提 B小前提C推理形式 D没有出错4 f(x) ax3 x1 有极值的充要条件是( )A a0 B a0C a0 D a05已知 x， y0， x y1， M ，
2、 N ，则 M 与 N 的大小x5x y2 y5x2 y y5x y2 x5x2 y关系是( )A M N B M NC M N D M N6过原点与曲线 y 相切的切线方程为( )x 1A y x B y2 x12C y x D y x137已知平面区域 ( x， y)|0 x，0 y1，现向该区域内任意掷点，则点落在曲线 ysin 2x 下方的区域的概率是( )A B12 1C D2 428复数 3等于( )(i1i)A8 B8C8i D8i9定义一种运算“*”：对于自然数 n 满足以下运算性质：()1*11,()( n1)*1 n*11,则 n*1 等于( )A n B n1C n1 D
3、 n210在区间(1,1)内不是减函数的函数是( )A ye x xB ysin xC y x36 x29 x2D y x22 x111已知 f(a) (2ax2 a2x)dx，则 f(a)的最大值是( )0A B23 29C D43 4912定义复数的一种运算 (等式右边为普通运算)，若复数1212*zz a bi，且实数 a， b 满足 a b3，则 z* 的最小值为( )zA B92 322C D32 94二、填空题(每小题 4 分，共 16 分)13用反证法证明“形如 4k3( kN *)的数不能化为两个整数的平方和”时，开始假设结论的反面成立应写成_14质点运动的速度 v(18 t3
4、 t2) m/s，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是_ m.15若函数 f(x) 在区间( m,2m1)上是单调递增函数，则实数 m 的取值范围是4xx2 1_16由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：(1)“mn nm”类比得到“ ab ba”；(2)“(m n)t mt nt”类比得到“( a b)c ac bc”；3(3)“t0， mt ntm n”类比得到“ c0， ac bca c”；(4)“|mn| m|n|”类比得到“ |ab| |a|b|”以上类比得到的正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)三、解答题(共 74 分)17(12 分)设 f(x)Error
5、!试求 f(x)dx.2118(12 分)计算下列各题：(1) ( i)5 4 7；1i 2 2 ( 11 i) (1 i1 i)(2) 12 8.(32 12i) (2 2i1 3i)19(12 分)在计算 1223 n(n1)时，某同学采用如下方法：先改写第 k项： k(k1) k(k1)( k2)( k1) k(k1)，由此得 12 (123012),13 1323 (234123)， n(n1) n(n1)( n2)( n1) n(n1)上面13 13各等式两边分别相加，得 1223 n(n1) n(n1)( n2)13类比上述方法，求 123234 n(n1)( n2)的值20(12
6、 分)在数列 an中， a1 ，且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2n1 倍13(nN *)(1)写出此数列的前 5 项；(2)归纳猜想 an的通项公式，并加以证明21(12 分)已知函数 f(x)ln| x|(x0)，函数 g(x) af( x)(x0)1f (x)(1)当 x0 时，求函数 y g(x)的表达式；(2)若 a0，函数 y g(x)在(0，)上的最小值是 2，求 a 的值；(3)在(2)的条件下，求直线 y x 与函数 y g(x)的图象所围成图形的面积23 7622(14 分)已知函数 y f(x) x2ln x，12(1)求函数 y f(x)在区间1，e上的最大、
7、最小值；(2)求证：在区间(1，)上，函数 y f(x)的图象在函数 g(x) x3的图象的下方234参考答案一、1解析： f( x) cos 2x(2x)cos xcos 2xcos x2cos 2xcos 12x1.令 tcos x，所以1 t1.令 h(t)2 t2 t12 1(t212t)2 1(t14)2 1162 2 ，(t14) 98从上面的分析可知， f( x)为偶函数，且在1 t1 内， h(t)一定有最大值和最小值答案：C2解析：由 i 是纯虚数，则 0 且 0，故a i1 i (a i)(1 i)(1 i)(1 i) a 12 a 12 a 12 a 12a1.答案：A3
8、A4解析： f( x)3 ax21，函数 f(x)有极值的充要条件是 012 a0，得 a0.答案：C5解析：由 x y1，得 x1 y， y1 x，于是 x y2 x(1 x)2 x2(1 x) x2 y.所以 M N.答案：C6解析：设切点为 P(x0， )，那么切线斜率 k .又因为切线x0 1 0|xy 12x0 1过点 O(0,0)及点 P，则 k .所以 ，解得 x02.所以 k .从而x0 1 0x0 0 12x0 1 x0 1x0 12切线方程为 y x.12答案：A7解析：面积 S sin2xdx dx ，区域 的001 cos 2x2 (12x 14sin 2x)0| 2面
9、积是 ，故所求概率是 . 2 12答案：A58解析：由 3(2i) 38i 38i.(i1i)答案：D9解析：由()知 2*11*112,3*12*113,故 n*1 n.答案：A10解析：因为 ye x1 在 x(1,1)时，e x10，所以 ye x x 是增函数，故选 A答案：A11解析： f(a) (2a3x3 12a2x2)10| a22a3 a22 12 2a312(a2 4a3)12(a 23)2 49 2 .12(a 23) 29答案：B12解析： z* .z|z| |z|2 a2 b2 a2 b22 a2 b2又因为 a b3，所以 .a2 b2 2(a b2 ) 322答案
10、：B二、13假设 4k3 m2 n2(k， m， n 是正整数)14解析：令 18t3 t20，所以 t0 或 t6，所以所求的路程 s (18t3 t2)60dt(9 t2 t3) 108.60|答案：10815解析： f( x) ，由 f( x)0，所以 x21.4(x2 1) 2x4x(x2 1)2 4x2 8x2 4(x2 1)2所以1 x1.因而Error!所以1 m0.答案：1 m016解析：由向量的运算法则知答案为(1)(2)答案：(1)(2)6三、17解： f(x)dx f(x)dx f(x)dx210120 x2dx (cos x1)d x010 x3 (sin x x)13
11、 0|20| 1 .13 2 43 218解：(1) ( i)5 4 71i 2 2 ( 11 i) (1 i1 i)i( ) 5(1i) 22(1i) 2i 72 1(1 i)216 (1i) i214 (16 1)i.(16214) 2(2) 12 8(32 12i) (2 2i1 3i)i 12 12 8(32i 12) (1 i12 32i) 12(12 32i)(1 i)24(12 32i)(12 32i)33 4(88 i)(12 32i)3 3188 i78 i.3 319解：123 (12340123)，14234 (23451234)，14n(n1)( n2) n(n1)(
12、n2)( n3)( n1) n(n1)( n2)14上述 n 个等式两边分别相加，得 123234 n(n1)( n2) n(n1)14(n2)( n3)20解：(1)由已知 a1 ， (2 n1) an，13 a1 a2 a3 ann7分别取 n2,3,4,5，得a2 a1 ，15 135 115a3 (a1 a2) ，114 157 135a4 (a1 a2 a3) ，127 179 163a5 (a1 a2 a3 a4) ，144 1911 199所以数列的前 5 项是： a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ；13 115 135 163 199(2)由(1)中的分析可以猜想
13、an .1(2n 1)(2n 1)下面用数学归纳法证明：当 n1 时，猜想显然成立假设当 n k 时猜想成立，即 ak .1(2k 1)(2k 1)那么由已知，得(2 k1) ak1 ，a1 a2 a3 ak ak 1k 1即 a1 a2 a3 ak(2 k23 k)ak1 ，所以(2 k2 k)ak(2 k23 k)ak1 ，即(2 k1) ak(2 k3) ak1 .又由归纳假设，得(2 k1) (2 k3) ak1 ，1(2k 1)(2k 1)所以 ak1 ，即当 n k1 时，公式也成立1(2k 1)(2k 3)由和知，对一切 nN *，都有an 成立1(2n 1)(2n 1)21解：
14、(1) f(x)ln| x|，当 x0 时， f(x)ln x；当 x0 时， f(x)ln( x)当 x0 时， f( x) ；1x当 x0 时， f( x) (1) .1 x 1x当 x0 时，函数 y g(x) x .ax8(2)由(1)知当 x0 时， g(x) x ，ax当 a0， x0 时， g(x)2 ，当且仅当 x 时取等号，a a函数 y g(x)在(0，)上的最小值是 2 ，a依题意得 2 2， a1.a(3)由Error!解得Error! Error!故直线 y x 与函数 y g(x)的图象所围成图形的面积为23 76S dx23(23x 76) (x 1x) ln .
15、724 4322解：(1)由已知 f( x) x ，当 x1，e时， f( x)0，1x所以函数 y f(x)在区间1，e上单调递增，所以函数 y f(x)在区间1，e上的最大、最小值分别为 f(e) 1， f(1) ，e22 12所以函数 y f(x)在区间1，e上的最大值为 1，最小值为 .e22 12(2)证明：设 y F(x) x2ln x x3，12 23则 F( x) x 2 x2 .1x (1 x)(1 x 2x2)x因为 x1，所以 F( x)0.所以函数 y F(x)在区间(1，)上单调递减又 F(1) 0，16所以在区间(1，)上， F(x)0，即 x2ln x x3，12 23所以在区间(1，)上函数 y f(x)的图象在函数 y g(x) x3图象的下方23
