1、XXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 1 页 共 11 页最大模原理与应用作者：XXX 指导老师：XXX摘 要 最大模原理是研究解析函数的有力工具.通过对最大模原理相关知识进行学习和研究,本文主要从三方面来探讨其相关理论:第一部分,给出了最大模原理的各种不同的叙述形式并加以证明；第二部分,给出了最大模原理的推广,重点研究了它在具有保域性一类函数及在调和函数中的推广；第三部分，给出了最大模原理的 应用.关键词 最大模原理 最小模原理 引理 定理 三圆定理SchwarzWeirstaHdamr1 引言最大模原理在复变函数理论中是一条经典性定理,它深刻反映了解析函数的性质.前人对最大
2、模原理的内容、证明及应用都从不同方面给出了缜密的研究和推广,而该文鉴于前人研究的基础之上,对此原理的相关理论及其应用作了一个系统的小结,然后在此基础上进一步重点研究了最大模原理在具有保域性一类函数及在调和函数中的推广；其次进一步研究使用最大模原理证明一些有名的定理和引理。2 最大模原理的各种不同的叙述形式2.1 最大模原理（形式1）若函数 在区域 内解析，则 在 内任意点都不能达到最大 ()fzD()fzD值，除非在 内 恒等于常数。 证明：假设 的模在 内一点 达到最大值 ，()fza0()fa假定在 的某个邻域内 ，其中 .a 101()kkkzz0ka取充分小的数 ，使 ，且使 ，zD2
3、1()()kk设 为 的一个值，令 ，有0argk iae0000()rgr()argargk kkkkkzzaa ，因此， 101()()()kkkfzzzaXXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 2 页 共 11 页101()()kkkazazk02k1ka所以， ，矛盾，即 在 内任意点都不能达到最大值。0()()fzfa()fzD2.2 最大模原理（形式2）设函数 在区域 内解析，在 内有一点 ， 使得对于 内的所有点 ， 有 ()fzDaZ，则 为常数()fzaf证明：设 ： ， ， ： ， .KzRizRe02由柯西积分公式， ，201()1() ()2ifzfdfa
4、dia因为对于 内的所有点 ，有 ，DZff所以， ，所以对于任意 ， ，20()()()ifafRe ()ifafRe由于 得任意性， 将任意圆 映为圆周 ，即 在 上市一个常数，R)zKD()zfzK由解析函数的唯一性定理 .()ffa2.3 最大模原理（形式3）设 为复平面的有界开集， 在 内解析，在 上连续，则D()fzD.max()a()zzff证明：因为 为复平面的有界开集，所以存在一点 ，对 上所有的点 都有aDz，如果 是一个常数，则结论显然成立.如果 不是一个常数，则结论()fzf()fz ()fz显然成立，由最大模原理（形式2）可知结论成立.2.4 最大模原理（形式4）设
5、在区域 内解析如果存在一个常数 ，使得对于 （ 在扩充复平面中的()fzDMDXXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 3 页 共 11 页边界）上的所有的点 ，有 ，则对于 内所有的点 ，都有 .alimsup()zafMDZ()fzM证明：设 ，令 .因为 是连续的，所以 是开0:GDz()fzG集.由于 上的所有的点 ，有 ，所以存在 ： ，使得对于Dlis()zafKaR内的所有点 ，都有 ，于是 ，因此， 是有界的， 是紧集.但 ，KZ()fG:()zfM所以对 上的点 有 .故， 为空集或 为常数.但如果 是常数则GzM()fz()fz由假设可得 为空集.3 最大模原理
6、的推广 3.1 最大模原理在关于多个函数的模中的推广我们已经知道，若恒不为常数的函数 在区域 内解析，且连续到其区域边界，则()fzD仅在其区域边界上达到最大值()fz那么，若恒不为常数的函数 与 都在区域 内解析，且都连续到其区域边界，1()fz2f则 是否也仅在其区域边界达到最大值呢?12()fzf解：作函数 , 则对 ，令12()()FzffzzD)(fk),则 （当 时,令 ） 1k0z1k现再作一函数 ,根据解析函数的性质，函数 仍满足在区域12()()()Gffz()Gz内解析，且连续到其区域边界，应用最大模原理，在其边界某点 可取得最大值,即D 0z有 )()0zG但因为 )(z
7、F与 )()(00zF,所以 )()()( 00zGz,XXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 4 页 共 11 页即 )(0zF因此， 也仅在其区域边界达到最大值12()fzf同理，可得到下面结论：若恒不为常数的函数 、 都在区域 内解析，而且都连续到其区域边1()fz2f()nfzD界，则 是连续到其区域边界的函数，且仅在其区域边界上达到12()nfzf最大值3.2 最大模原理在扩充边界的推广说明：复平面用 表示,如果 ,令 表示 在扩充复平面中的边界,并且称之ZDZD为扩充边界.显然,如果 是有界的,则 ；如果 是无界的,则 .D有了这些准备之后,我们便可给出最大模原理在扩
8、充边界的推广:定理：设 为 内的域, 在 内是解析的,假如存在一个常数 ,使得对于 上Z()fz M所有的点 ,有 ,则对于 内所有的点 ,都有 .alimsupzaMDz()fz在证明之前给出下面的定义:定义：如果 , 或 ,则当 趋于 时, 的上极限:fDRaza()fz定义为lisup()zaf ),(:)(suplim)(supli0 rBDzfzfraz .(如果 ,则 为 的度量下的圆).(,)BrZ证明：设 是任意实数,取 ,假如证明了 是空集,则0:()HzfMH定理便得证.因为 是连续的,所以 是开集.由于对 上的点 a都有 ,所以存()fz Dlim()zaf在一个圆 ,使
9、得对于 内所有点 z都有 .于是 ,因为Bar(,)DBar()fD这条件当 无界且 时也成立,所以 必是有界的 .于是, 是闭域.因此应用最大模原HH理的推论2,并由于 ,所以对 上的点有 .因此,:()HzfM()fzM或者 ,或者 是一个常数.但如果 是常数,由假设也可推出 .证毕. ()f ()fzXXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 5 页 共 11 页注：此题说明若 在区域 内是常数，则题中等号成立.()fzD3.3 最大模原理在具有保域性的一类函数上的推广约定：在扩充复平面上,任何以伸向无穷远处的简单曲线为边界的区域都不包含点 ,并视两方都伸向无穷远处的简单曲线为
10、经过点 的简单曲线.定理1：设函数 在扩充 平面的区域 内单值连续, 为复平面上的区域,()fzZD()GfD则 在 内任意点都不能达到最大值.()fzD证明：(反证法）假设 在区域 内一点 达到了最大值.即 ，有()fz0zz令 ,则 .由于 为复平面上的区域,所以 ,又由于区0)fzf0wG0w域都是开的，所以必有 的某个邻域 ,于是在 内可找到一点 ,使得0,()Bw0,()B1,则存在 ,使 ,而且 ,与假设矛盾.故 在 内101zD1)fz1(fzf()fzD任意点都取不到最大值.证毕.定理2：设 为扩充 平面上的边界非空的区域,函数 在区域 内单值连续,Z()fz为复平面上的区域,
11、若存在正常数 ,对 0, 的每一个边界点都有一个邻()GfMD域,使在这个邻域内的 的每一个点Z处都有 ,则在 内 . D()fz()fzM证明之前给出下面定理：波尔查诺魏尔斯特拉斯定理：每个有界无穷点集,至少有一个聚点.证明：设 ,则 ,有 .根据上确界的定义,必有 内的点列sup()zDfAz()fzAD,使得nz. lim()nnfz由波尔查诺魏尔斯特拉斯定理, 在闭域 上至少有一个聚点 ,并易知 必存在收D0znz敛于 的子列,不妨设 .0z0linz下证 ,事实上,若 ,因 在点 连续,由上式得 .即 在 内D()fz00()fzA()fzD一点 处达到了最大值,与定理1矛盾.所以
12、必在 的边界上.0z又由于 ,存在 的某个邻域 ,使 上任意点 z处有 ,0z0()Bz0,()zD()fMXXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 6 页 共 11 页因为 收敛于 ,对上述 ,存在自然数 ,当 时, ,从nz0zNn0,()nzBD而,由此及式即得 .由于 是任意的,所以 ,故在()fMAM0AM内 .证毕. Dz定理3：设 为扩充 平面上以简单曲线 为边界的区域,函数 在闭域ZC()fz上单值连续, 为复平面上的区域,若存在正常数 ,使在 上,C()GfD C,则在()fzM区域 内 .D()f证明：设 为 上任意一点,由题设知 从 内连续到点 ,所以 ,必存
13、在0zC()fz0z,使在 上有 ,从而 有,()B0()fz,()BD Mzfzffzf )(000.由定理2知,在区域 D内 .证毕.()zM3.4 最大模原理在调和函数中的推广定理（调和函数中的极值原理）：设 在区域 内是调和函数,且不恒等于常数,则()uzD在内 任意点处不能达到最大值.()uzD证明：只证明最大值的情形,因为调和函数 的最小值点便是函数- 的最大值点,()z()uz且- 也是一个调和函数.()z用反证法,假设 在区域 内的某一点 处取得了最大值,即 有 .在()uzD0zzD0()z单连通区域 （若 为多连通区域,则须引一组割线,使 化为单连通区域 ,并使 ,下t t
14、面就以 代 ）内作与 共轭的调和函数 ,并记 ,则函数 在t ()z()vz()()fzuivz()fxe内单值解析,且其模为 D.()()fxuxe所以 也在点 0z处取得了最大值 ，这与解析函数最大模原理相矛盾.证毕.()fxe()uxXXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 7 页 共 11 页注：(1).同样可得到调和函数的极值原理的推论：推论1：设 为区域 内非常数的调和函数,并且连续到其区域边界,则其最大值与最()uzD小值只能在其区域边界上达到.推论2：设 为区域 内的调和函数,若 在区域 内取到了最大值,则 在()z()uzD()uz内必为常函数.D(2).调和函数
15、极值原理与解析函数的最大模原理区别为：调和函数的极值原理是关于实函数的值的大小；而解析函数的最大模原理是关于解析函数的模的大小.二者联系为： 在区域 内解析 在区域 内 是(,)(,)(,)fxyuivxy(,)vxy的共轭调和函数.从而就致使调和函数极值原理与解析函数的最大模原理有着密切的(,)uxy联系,从上面的证明过程可看出,二者在取值大小上具有一致性.4 最大模原理的应用4.1 证明最小模原理最小模原理：若区域 内不恒为常数的解析函数 ，在 内的非零点 有D()fzD0z，则 不可能是 在 内的最小值.0()fz0()fz()fz证明：因 在 内解析且不恒为常数，若有零点，则这些零点必
16、是孤立的.因此，由， ，必存在某个含 的领域 ，使 .0()fz0D0z0:Kz0()fz作 ，因 在 内解析且无零点，则 在 内解析，又因 在1()fz()f ()()fz内不恒为常数，从而它在 内不恒为常数，则 在 内不恒为常数，故由最大模原理Kz知， 在 处不能达到极大值，因此 不可能是 在 内的最小值()z0 0()f()fD4.2 证明 Schwarz 引理Schwarz 引理：如果函数 在单位圆 内解析，并且满足条件 ，()fz1z(0)f()1fz，则在单位圆 内恒有 ，且有 .如果上式等号成立，或在1z()fz(0)f圆 内一点 处前一式等号成立，则（当且仅当） ，其中 为z0
17、 iaze(1)za一常数.XXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 8 页 共 11 页证明：设 ，令 .21()fzcz(1)z12()fzcz(0)定义 ，则 在 内解析.考虑 在单位圆 内任一点 处1(0)z的值，如果 满足条件 ，根据最大模原理，有r0zr，0 ()1()max()azrzrfr让 即得 .于是 且当 时，有1r01(0)()fP0z，00()()fz即 .0f如果这些关系式中，有一个取等号则在单位圆 内的某一点 ，模数 达到最1z0z()z大值，这只有 （ 为实数）是才可能，此即 .()iaze()iafeSchwarz 引理表明：若在单位圆内解析的函数
18、 ， ， ，那么 的z()1fzz像到原点的距离比 到原点的距离近（如下图）.如果有一点使得这两者相等，那么 就z ()f是一个旋转映照.4.3 Weierstrass 定理Weierstrass 定理：设 是一有界闭区域，其边界 由有限分段光滑的简单闭曲线组成.DC若无穷级数 的每一项均在区域 内解析，在 上连续，且级数在边界 上一致收1()nfZDCXXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 9 页 共 11 页敛，则级数在 上一致收敛，并且和函数 在 内解析.D()fZD证明：级数在 上一致收敛 ，存在 ，当 时， ， 有C0NmPZC1()mpnf又因 在 内解析，在 上连续
19、，由最大模原理，有()nfZD1()mpnfZ在 一致成立，即级数在 上一致收敛.4.4 证明 Hadamard 三圆定理Hadamard 三圆定理：设函数 在环 内解析， ，则当()fz0zR()max()zrMf时，有 等号仅当1230rR 3221 13 1lnlnll()lrrM时成立，这里 是常数.31ln()l()()MrrfzCC证明：设 ， 为一待定实数，取定 在 上为解析的一支，由Fzf z13r最大模原理，有 ，因此，在 上13()max(),()rr2312222,()iQiQfreeMr即 ， （*）31222()ax(),()rrM因 ， ，以及 和 随 的增大分别减
20、小和增大，12r3212()r32故（*）的右端当 满足 时为最小.13()Mr在等式的两边取对数可得 ，所以13lnl31ln()l()12()Mrrr两端取得对数即得 31ln()l()12 12ln()ln()MrrrXXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 10 页 共 11 页3121ln()l()ln)l()MrrrMr.3221 13 1lll()l()rrr等号仅当 ，即 时成立.()FzC为 常 数 31ln()l()()MrrfzCz（用虚线所示的两条相交曲线是 的情形）12()Mr注：如果 在 内解析， ，则 是 的单调增函数，除非 为一()fzRr()fz常
21、数；如果 在 内解析， ，则 是 的单减增函数，除非 为常数.本()f()r()f定理的假设是 在 内解析，故不能断言 与 哪个大.z01)M3(r三圆定理的几何意义：设 为定义在区间 上的实函数， ， 为 中的任()x,ab1x2,ab意两点，如果 在 上的图象落在联接点 与点 的线段下面，()y12,1()x(,)则称此函数为凸函数.这个定义的解析表达式为：对 内的任意三点 有,12x，因此三圆定理也可以表述为： 为 的凸函数.1212()()()xx ln()MrlXXXX 数学与计算科学学院 2011 届毕业论文第 11 页 共 11 页结束语在此论文中，首先我们总结最大莫原理的各种不
22、同叙述形式，并加以证明，然后归纳了最大莫原理的推广，其中在具有保域性一类函数和在调和函数中的推广作了重点研究，最后给出了最大莫原理在一些重要定理和引理中的应用.参考文献1 钟玉泉复变函数论M北京：高等教育出版社，19932 孙清华、孙昊.复变函数内容、方法与技巧M.武汉:华中科技大学出版社,20033 路可见 、钟可寿.复变函数M.武汉:武汉大学出版社,19934 庄折泰.复变函数M.北京：北京大学出版社,19845 余家荣.复变函数论M.北京：高等教育出版社，20006 莫叶复变函数论M，第 2 册济南：山东科学技术出版社，19837 M.A.拉夫连李耶 B.B 沙巴特.复变函数论方法M.北
23、京：高等教育出版社，20068 周正中.复变函数选论M.南宁市：广西教育出版社,19909 林蓉.最大模原理的不同形式及若干推论J.三明学院学报.2009，26(2)：121-12210李云霞.最大模原理的推广J.数学的实践与认识.2000,30(2)：153-15411 姚钲、李刚.最大模原理的几个应用J.江汉大学学报. 1996，13(3)：80-8212 赵邦杰、郭瑞海.关于最大模定理J.西南民族学院学报.2002,28(3):284-287Maximum modulus principle and applicationAuthor: XXX Supervisor: XXXAbstra
24、ct Maximum modulus principle is a powerful tool in studying the analytic function. Through learning and studying, the related theories of the maximum modulus principle are mainly discussed from three aspects. The first part gives out five different narrative form of maximum modulus principle and the
25、ir proof . The second part gives out the deductions of maximum modulus principle, in which the emphasis is the generalization in a class filed-preserving function and harmonic function. The third part gives out the application of maximum modulus principle. Key words maximum modulus principle Minimum model principle Schwarz lemma Weierstrass theorem Hadamard three circles theorem
