1、17.5 空间直角坐标系1解析几何的基本思想方法就是用代数方法解决几何问题，几何的最基本元素点和曲线分别用坐标和方程表示，将点和曲线的几何性质都用坐标和方程的代数性质来表示和处理(习惯上我们称之为解析法)2一般地，在空间取定一个点作为原点 O，过原点 O 作三条两两垂直的直线作为坐标轴，分别叫作 x 轴、 y 轴、 z 轴，在这三条轴上分别取定正方向，并选取一个长度单位作为三条坐标轴上共同使用的长度单位这就建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系与平面直角坐标系有哪些相同之处？提示：(1)平面直角坐标系和空间直角坐标系的建立都要确定三要素，即原点、坐标轴的方向和单位长度(2)无论是在哪一种坐标系
2、下，确定一个点的坐标，都需要确定该点在坐标轴上的投影(3)在两种坐标系下，坐标轴上的点以及平行于坐标轴上的点的坐标都满足一些特殊关系，如有些坐标为 0 等3落在坐标轴和坐标平面上的点的特点以正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A 为坐标原点，以射线 AB， AD， AA1分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，且正方体棱长为 a，则点 C， B1， C1的坐标分别为_提示：( a， a,0)，( a,0， a)，( a， a， a)4空间两点间的距离空间中的两点 P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2)之间的距离| P1P2|.(x1 x2)2 (
3、y1 y2)2 (z1 z2)2(1)已知空间中点 A(4,3,1)， B(7,1,2)， C(5， y,3)，则| AB|_；若| AC|，则 y_.6提示：| AB| .(4 7)2 (3 1)2 (1 2)2 14|AC| ，(4 5)2 (3 y)2 (1 3)2 5 (y 3)2 6( y3) 21，即 y4 或 2.(2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么联系？提示：空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式形式类似，只是根号内增加了一项( z1 z2)2，同时，平面内两点间的距离公式可视为空间两点距离公式的特殊情况，在空间两点间距离公式中令 z1 z20，即得平
4、面内两点间的距离公式一、代数方法解决几何问题(坐标法)2【例 1】 ABD 和 BCE 是边 AB、 BC 在直线 AC 上且位于直线 AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：| AE| CD|. 建 系 用 坐 标 表 示 A、 E、 C、 D 用 两 点 间 距 离 公 式 计 算 结 论解：如图，以 B 点为坐标原点，取 AC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系设 ABD 和 BCE 的边长分别为 a， c，则 A( a,0)， E ， C(c,0)，(c2， 32c)D ，(a2， 32a)于是| AE| c2 ( a)2 (32c 0)2 ，a2 ac c24 34c2 a2 ac
5、 c2|CD| ( a2) c2 (32a 0)2 ，a24 ac c2 34a2 a2 ac c2所以| AE| CD|.对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值类题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的运算，从而将复杂问题简单化在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点11 已知 Rt ABC， B 为直角，| AB| a，| BC| b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C 的坐标，并求证斜边 AC 的中点 M 到三个顶点的距离相等解：取边 BA 所在的直线为 x 轴，边 BC 所在
6、的直线为 y 轴，建立直角坐标系，如图，则三个顶点的坐标分别为 A(a,0)， B(0,0)， C(0， b)由中点坐标公式得斜边 AC 的中点 M 的坐标为 .(a2， b2)| MA| ，(a a2)2 (0 b2)2 12a2 b2|MB| ，(0 a2)2 (0 b2)2 12a2 b2|MC| ，(0 a2)2 (b b2)2 12a2 b2| MA| MB| |MC|.,3二、求空间任意点的坐标【例 2】如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱长为 1， E， F 分别是 BB1， D1B1的中点求 E、 F 的坐标先找出所求点在面 xDy 上的射影点，然后再确定该点的
7、 z 坐标，从而确定该点的坐标本题也可利用中点坐标公式求解解法一： E 点在 xDy 面上的射影为 B， B(1,1,0)， z 坐标为 ，所以 E .F 点在12 (1， 1， 12)xDy 面上的射影为 BD 的中点 G， z 坐标为 1，所以 F .(12， 12， 1)解法二： B1(1,1,1)， D1(0,0,1)， B(1,1,0)， E 为 B1B 的中点， F 为 B1D1的中点，故 E 的坐标为 ，(1 12 ， 1 12 ， 1 02 ) (1， 1， 12)F 的坐标为 .(1 02 ， 1 02 ， 1 12 ) (12， 12， 1)求空间中一点 M 的坐标的常用方
8、法为：(1)过点 M 作 MM1平面 xOy 于 M1，过 M1点分别作 M1A x 轴于 A， M1B y 轴于 B，从而确定 M1的横、纵坐标，也就是点 M 的 x 坐标、 y 坐标；(2)过点 M 作 MM2平面 xOz 于 M2(或 MM3平面 yOz 于 M3)，可得点 M 的 z 坐标，或作点 M 在 z 轴上的投影 M，确定点 M 的 z 坐标；(3)最后写出点 M 的坐标( x， y， z)；(4)在求点的坐标的过程中，要注意 x 坐标、 y 坐标及 z 坐标的符号21 在空间直角坐标系中，已知点 P(1， ， )，过 P 作平面 yOz 的垂线 PQ，则垂足2 3Q 的坐标为
9、( )A(0， ，0) B(0， ， )2 2 3C(1,0， ) D(1， ，0)3 2解析：根据空间直角坐标系的概念知， yOz 平面上点 Q 的 x 坐标为 0， y 坐标、 z 坐标与点 P 的 y 坐标 、 z 坐标 分别相等， Q(0， ， )2 3 2 3答案：B22 如图，在空间直角坐标系中， OABC D A B C是边长为 1 的正方体，写出下面三个点的坐标： A_； B_； C_.解析： A 在 x 轴上，且 OA1， A 坐标为(1,0,0)C在 yOz 平面内，且 OC1， OD1，4 C的坐标为(0,1,1)而 B在 xOz、 xOy、 yOz 平面上的投影分别是
10、A， B， C， B的坐标为(1,1,1)答案：(1,0,0) (1,1,1) (0,1,1),三、空间点的对称问题【例 3】求点 A(1,2，1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴的对称点的坐标解决本题的关键是明白关于各坐标轴、各坐标平面对称的两点，其点的坐标分量的关系，可借助于图形解：如下图，过 A 作 AM xOy 交平面于 M，并延长到 C，使| AM|=|CM|，则 A 与 C 关于坐标平面 xOy 对称且 C(1,2,1)过 A 作 AN x 轴于 N 并延长到点 B，使| AN|=|NB|，则 A 与 B 关于 x 轴对称且B(1，2,1) A(1,2，1)关于坐标平面 xOy 的
11、对称点为 C(1,2,1)，关于 x 轴的对称点为B(1，2,1)解题过程中一定要注意分清关于谁对称，然后利用“关于谁谁不变，其余的则相反”的方法求解31 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)关于 x 轴的对称点的坐标是( )A(2,1，4) B(2，1，4)C(2，1,4) D(2,1，4)解析：在空间直角坐标系中，关于 x 轴对称的点的 x 坐标不变， y 坐标、 z 坐标分别变为其相反数答案： B32 求点 M(a， b， c)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标解：(1)关于 xOy 平面的对称点坐标为( a， b， c)，关于 xOz 平面的对称点坐标为(a， b， c)，关
12、于 yOz 平面的对称点坐标为( a， b， c)(2)关于 x 轴的对称点的坐标为( a， b， c)，关于 y 轴的对称点坐标为( a， b， c)，关于 z 轴的对称点坐标为( a， b， c)(3)关于原点的对称点坐标为( a， b， c),四、空间中两点间距离公式的应用【例 4】在空间直角坐标系中，点 A(2,3,0)关于平面 xOy 的对称点为 A，点 B(5,1,0)关于平面 yOz 的对称点为 B，求 A、 B两点间的距离本题首先要确定点 A、 B的坐标，然后再利用空间两点间距离公式求 A、B两点间的距离解：点 A(2,3,0)关于平面 xOy 的对称点为 A， A(2,3,0
13、)点 B(5,1,0)关于平面 yOz 的对称点为 B， B(5,1,0)，| A B| 2 ( 5)2 (3 1)2 (0 0)2 ，72 22 53 A、 B两点间的距离为 .53空间两点间距离公式的应用关键在于确定两点的坐标，确定两点坐标之后应用公式时，要特别注意公式中点的坐标的顺序，不能写颠倒，否则可能出现计算错误41 点 A(2，3,5)关于 xOy 平面的对称点为 A，则| AA|等于( )5A4 B6 C10 D 38解析：点 A(2，3,5)关于 xOy 平面的对称点 A的坐标为(2，3，5)，| AA| 10.(2 2)2 3 ( 3)2 5 ( 5)2答案： C42 已知点 A(1,1,1)， B(3,3,3)，点 P 在 y 轴上且| PA| PB|，则 P 点坐标为_解析：设 P(0， y,0)，由题意可得 ，12 (y 1)2 12 32 (y 3)2 32解得 y6，因此 P 点坐标为(0,6,0)答案：(0,6,0)
