1、17.3.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)1直线 Ax By C0 与圆( x a)2( y b)2 r2位置关系及判断位置关系 相交 相切 外离公共点个数 2 个 1 个 0 个几何法：设圆心到直线的距离 d|Aa Bb C|A2 B2 d r d r d r判定方法 代数法：由 220()()xyabr，消元得到一元二次方程的判别式 0 0 0(1)已知直线 l： x y20，则 l 与圆 x2 y23 的位置关系是_； l 与圆x2 y22 x2 y0 的位置关系是_； l 与圆 x2 y26 x2 y40 的位置关系是_提示：相交 相切 相离(2)直线 l 与圆 C 相交，则圆的半
2、径 r，弦心距 d，弦长| AB|间的关系是_提示：因为弦中点与圆心的连线与弦垂直，所以由勾股定理得 r2 d2 2.(12|AB|)2弦长公式求圆的弦长常利用解直角三角形，先求半弦长，再求弦长公式为| AB|2 ，r2 d2如下图用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示：“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的：“几何法”更多地侧重于“形” ，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数” ，它倾向于“坐标”与“方程” 这两种方法是等价的一、判断(证明)直线与圆的位置关系【例 1】已知圆 x2 y28，定点 P(4,0)，
3、问过 P 点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切；(2)相交解法一：设过点 P 的直线的斜率为 k(由已知 k 存在)，则其方程为 y k(x4)由Error!消去 y，得 x2 k2(x4) 28，即(1 k2)x28 k2x16 k280，(8 k2)24(1 k2)(16k28)32(1 k2)(1)令 0，即 32(1 k2)0.当 k1 时，直线与圆相切(2)令 0，即 32(1 k2)0，1 k1，当1 k1 时，直线与圆相交2解法二：设圆心到直线的距离为 d，直线方程为 y k(x4)，则 d .|k0 0 4k|1 k2 4|k|1 k2(1)令 d r
4、，即 ， k21，4|k|1 k2 8 k1 时直线与圆相切(2)令 d r，即 ，4|k|1 k2 8 k21，即1 k1 时，直线与圆相交判断直线与圆的位置关系一般采用几何法，代数法虽然也可用，但一般计算量略大11 若直线 x y m 与圆 x2( y1) 2 m 相切，则 m 为( )A2 B23 3C 3 D2 或 22 3 3解析：利用圆心到直线的距离等于半径，即有 ，(1 m)22 m，解得 m2 .|1 m|2 m 3答案：D12 直线 4x3 y400 与圆 x2 y2100 的位置关系是( )A外离 B相切C相交 D相切或外离解析：圆心(0,0)到直线 4x3 y400 的距
5、离 d 8.又圆的半径4042 32r10， d r，直线与圆相交答案：C13 判断圆 x2 y24 x6 y120 与下列直线的位置关系：(1)x y5；(2)x y50；(3)4x3 y24.解：将圆方程配方得( x2) 2( y3) 25 2，可得它的圆心为(2，3)，半径 r5.(1)圆心到直线的距离 d3 5，2所以此直线与圆相交(2)圆心到直线的距离 d5 5，所以此直线与圆相离2(3)圆心到直线的距离 d5，所以此直线与圆相切 ,二、弦长问题【例 2】如图所示，求经过点 P(6，4)且被定圆 x2 y220 截得弦长为 6 的直线2的方程可设直线的点斜式方程，利用弦心距、半径、半
6、弦长构成直角三角形求解解：如图所示，作 OC AB 于 C，连结 OA，3则 ， ，62AB5O在 Rt OAC 中，203C显然直线的斜率存在，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y+4=k(x6)，即 kx y6 k4=0，圆心到直线的距离为 ， ，2+41即 17k2+24k+7=0， k=1 或 ，7所求直线的方程为 x+y2=0 或 7x+17y+26=0.在圆中与弦长有关的问题，在解决时通常利用几何法即利用半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形来确定所需未知系数，列方程(组)求解除此之外弦长问题还可以采用代数法即根据题意列出直线方程和圆的方程组成的二元二次方程组，然后转化为关于
7、x 或 y 的一元二次方程，结合韦达定理和弦长公式求得所需的未知系数21 已知圆 C：( x a)2( y2) 24( a0)及直线 l： x y30，当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 时，则 a 等于 ( )3A B2 C 1 D 12 2 2 2解析：如图，圆心到 l 的距离 ， d2= (a+1)2， r2=4，半弦长+3d|AD|= ，3由勾股定理，得 r2=d2+|AD|2，即 4= (a+1)2+3，解得 a=1+ (负值已舍去)12答案：C22 以 C(2，1)为圆心，截直线 x y10 所得的弦长为 2 的圆的方程是2_解析：已知弦长求圆的半径，利用 r2 d2 2， r
8、为圆的半径， 为弦长的一半， d 为(l2) l2圆心到直线的距离 d ， ， r 2.|2 1 1|12 12 2 l2 2 d2 (l2)2圆的方程为( x2) 2( y1) 24.4答案：( x2) 2( y1) 24 ,三、切线(相切)问题【例 3】已知直线 l 过点 P(2,3)且与圆( x1) 2( y2) 21 相切，求直线 l 的方程解：经检验知点 P(2,3)在圆( x1) 2( y2) 21 的外部若直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 y3 k(x2)直线 l 与圆相切， 1，|k1 ( 2) 2k 3|k2 1解得 k .125所求直线 l 的方程为 y3 (x
9、2)，125即 12x5 y90.若直线 l 的斜率不存在，则直线 x2 也符合题意，所求直线 l 的方程为 x2.综上可知，所求直线 l 的方程为 12x5 y90 或 x2.求经过一点且与圆相切的直线的方程问题，首先需判断点与圆的位置关系：(1)若点在圆内，则直线不存在；(2)若点在圆上，则直线有且只有一条；(3)若点在圆外，则直线有两条然后在分析的过程中，要特别注意直线的斜率不存在这一特殊情况，同时要明确若直线与圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直，圆心到切线的距离等于圆的半径，最后再根据条件确定所需未知系数，写出所求直线方程31 圆 x2 y24 x0 在点 P(1， )处的切线方程为( )3A x y20 B x y403 3C x y40 D x y203 3解析：点(1， )在圆 x2 y24 x0 上，3点 P 为切点，从而圆心与 P 的连线应与切线垂直又圆心为(2,0)， k1.0 32 1解得 k ，切线方程为 x y20.33 3答案：D32 求经过点(1，7)与圆 x2 y225 相切的切线方程解：设所求切线的斜率为 k，所求直线方程为 y7 k(x1)整理成一般式为 kx y k70，由圆的切线的性质，可得 5，化简|0 0 k 7|1 k2为 12k27 k120， k 或 k .43 34切线方程为 4x3 y250 或 3x4 y250.
