1、12.3.2 方差与标准差学习目标 重点难点1会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差2理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法3会应用相关知识解决简单的统计问题.重点：会求样本的数字特征数难点：理解用样本数字特征估计总体数字特征的方法.1极差把一组数据的最大值与最小值的差称为极差极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中，较稳定运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但当两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论预习交流 1下列叙述不正确的序号是_样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平极差描述了一组数据变化的幅度样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小一个班级的数学成
2、绩的方差越大，说明成绩越稳定提示：一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越不稳定，故不正确2样本方差、样本标准差的概念一般地，设一组样本数据 x1， x2， xn，其平均数为 ，则称 s2 (xi )2为x1n n i 1 x这个样本的方差，其算术平方根 s 为样本的标准差，分别简称1n n i 1 (xi xto(x)2样本方差、样本标准差标准差的单位与原始数据单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方预习交流 2样本方差和样本标准差描述了样本数据的什么特征？提示：样本方差与样本标准差是刻画数据的离散程度的统计量，它反映了一组数据围绕其平均数波动的大小程度方差、标准差越大，离散程度越大，方差、
3、标准差越小，离散程度越小，就越稳定因此方差、标准差也可以刻画一组数据的稳定程度预习交流 3(1)下列说法中正确的是_在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势一组数据的方差越大说明这组数据的波动越大(2)在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体数据的平均状态分布规律离散程度最大值和最小值其中正确的是_(3)若样本 x11， x21， x31， xn1 的平均数为 10，方差为 2，则样本2x12， x22， x32， xn2 的平均数、方差分别为_，_.提示：(1) (2) (3)11 2一、方差、
4、标准差的计算某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6 7 9求以上两组数据的方差及标准差思路分析：解答本题的关键是掌握方差、标准差的公式和求解步骤解： 7， 7，x甲6 73 85 x乙 62 72 95s (67) 23(77) 2(87) 2 0.4，2甲15 25s 2(67) 22(77) 2(97) 2 1.2.2乙15 65所以它们的标准差分别为： ， .105 3051样本 101,98,102,100,99 的标准差为_答
5、案： 2解析：方法一：样本平均数 (1019810210099)100，方差x15s2 (101100) 2(98100) 2(102100) 2(100100) 2(99100) 22， s .15 2方法二：将各数据都减去 100 得新数据为 1，2,2,0，1，其平均数 x (12201)0，方差为 s2 12(2) 22 20 2(1) 2 102，15 15 15标准差 s .22甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表：甲的成绩环数 7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成绩环数 7 8 9 10
6、频数 4 6 6 4s1， s2， s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 s1， s2， s3的大小关系是_答案： s2 s1 s3解析：甲的平均数 8.5，方差x75 85 95 105203s2 5(78.5) 25(88.5) 25(98.5) 25(108.5) 2 ；同理乙的平均120 54数为 ，方差为 ；丙的平均数为 ，方差为 .故 s2 s1 s3.172 2920 172 21203求数据 501,502,503,504,505,506,507,508,509 的方差与标准差解法一： (501502503504505506507508509)505.x1
7、9方差 s2 (501505) 2(502505) 2(503505) 2(504505) 2(505505)192(506505) 2(507505) 2(508505) 2(509505) 2 (423 22 21 20 21 22 23 24 2) 60 ，19 19 203标准差 s .203 2153解法二：用新数据法：将原数据同时都减去 500，得到一组新数据1,2,3,4,5,6,7,8,9，则其平均数 (123456789)5.x19方差 s2 (15) 2(25) 2(35) 2(45) 2(55) 2(65) 2(75)192(85) 2(95) 2 (1694101491
8、6) .原数据的方差也为 ，19 203 203标准差为 .2153(1)方差与标准差刻画了数据相对于其平均数的离散程度，与平均数密切相关因此求方差与标准差，一般先求平均数，再求方差，再由方差求标准差当一组数据中的数值较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数 a，得到一组新数据 x 1 x1 a， x 2 x2 a， x n xn a，数据 x1， x2， x3， xn的方差与新数据 x 1， x 2， x n的方差相等也就是说，根据方差公式，可求得新数据 x 1， x 2， x n的方差与原数据 x1， x2， xn的方差相等，即 s2 (x i
9、) 2，这样能简化运算1n n i 1 x(2)求样本数据 x1， x2， xn的方差、标准差的计算步骤：求样本数据的平均数 ；x求每个样本数据与样本平均数 的差( xi )，其中 i1，2， n；x x分别求出中( xi )的平方，其中 i1，2， n；x求出中 n 个平方数的平均数，即为样本方差；样本方差的算术平方根，即为样本标准差.二、方差与标准差的应用从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种
10、玉米的苗长得齐？思路分析：(1)要判断哪种玉米苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米苗的平均株高即可；(2)要判断哪种玉米苗长得齐，只要比较两种玉米苗株高的方差即可解：(1)用 甲 ， 乙 分别表示甲、乙两种玉米苗的平均株高，则 甲x x x (25414037221419392142) 30030(cm)； 乙110 110 x4 (27164427441640401640) 31031(cm)110 110 甲 乙 ，乙种玉米苗长得高x x(2)用 s ， s 分别表示甲、乙两种玉米苗株高的方差，则 s (2530)2甲 2乙 2甲1102(4130) 2(4030) 2(3730) 2(223
11、0) 2(1430) 2(1930) 2(3930)2(2130) 2(4230) 2 (2512110049642561218181144) 1 110 110042104.2(cm 2)； s (2272316 2340 2244 2)1031 2 1 2乙110 110288128.8(cm 2) s s ，甲种玉米苗长得齐2甲 2乙1设一组数据的方差是 s2，将这组数据的每个数据都乘以 10，所得到的一组新数据的方差是_答案：100 s2解析：设原数据组为 x1， x2， xn，方差为 s2 (xi )2， xi，新数1n n i 1 x x 1n n i 1据组为 10x1,10x2
12、，10 xn，方差 s (10xi a)2，其中211n n i 1a 10xi10 ， s (10xi10 )2 100(xi )2100 s2.1n n i 1 x 21 1n n i 1 x 1n n i 1 x2已知样本 9,10,11， x， y 的平均数是 10，标准差是 ，则 xy_.2答案：96解析： 10， x y20.9 10 11 x y5由 s ，得 2 (910) 2(1010) 2(1110) 2( x10) 2( y10) 2215 (x10) 2( y10) 22，即( x10) 2( y10) 28.15由，得 x8， y12 或 x12， y8， xy96.
13、另解： x y20，由，得 x2 y220( x y)200( x y)22 xy20( x y)2008，将 x y20 代入得 2xy192， xy96.3(1)已知一组数据 2,1， x,7,3,5,3,2 的众数是 2，则该组数据的平均数为_，方差为_；(2)若 a1， a2， a3， a8的方差为 3，则 2(a13),2( a23)，2( a83)的方差为_答案：(1) (2)12258 21564解析：(1)由众数为 2，知 x2，所以 (3223175) ，x18 258s2 .183(2 258)2 2(3 258)2 (1 258)2 (7 258)2 (5 258)2 2
14、1564(2)由题意知 3 (a1 )2( a2 )2( a8 )218 a a a又2( a13),2( a23)，2( a83)的平均数为 2( 3)，a s2 4(a1 )24( a2 )24( a8 )24312.18 a a a5(1)方差与标准差的三点说明：引入方差、标准差刻画数据的原因：单从众数、中位数、平均数、极差来分析数据，各个数据的波动情形无法更好、更全面地体现方差、标准差的意义：方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，体现了样本数据到平均数的一种平均距离方差、标准差的实际应用：方差与原始数据单位不同，平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的
15、离散程度上是一样的，但实际解决问题时一般采用标准差(2)平均数、方差的性质及计算方法,性质,若 x1， x2， x3， xn的平均数是 ，那x么 mx1 a， mx2 a， mxn a 的平均数是 m a；x数据 x1， x2， xn与数据 x1 a， x2 a， xn a 的方差相等；若 x1， x2， xn的方差为 s2，那么 ax1， ax2， axn的方差为 a2s2.方差的计算基本公式： s2 (x1 )2( x2 )2( xn 2.1n x x x简化计算公式：s2 (x12 x22 xn2) n ，或写成 s2 (x12 x22 xn2) ，即方差等1n 1n于原数据平方的平均数
16、减去平均数的平方.三、用样本数字特征估计总体甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价思路分析：本题主要考查平均数和方差的应用由图象统计出甲、乙两人的成绩，再由公式分别求出平均数和方差，最后分析结果，作出评价解：(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14.甲 13，x10 13 12 14 165乙 13，x13 14 12 12 145s (1013) 2(1313) 2(1213) 2(1413) 2(1613)
17、 24，2甲15s (1313) 2(1413) 2(1213) 2(1213) 2(1413) 20.8.2乙15(2)由 s s 可知乙的成绩较稳定2甲 2乙6从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高1某射击运动员在四次射击中分别打出了 9， x,10,8 环的成绩已知这组数据的平均数为 9，则这组数据的方差是_答案：0.5解析：由 9 得 x9，9 x 10 84s2 (99) 2(99) 2(109) 2(89) 20.5.142(2012 山东高考改编)在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82,84,84,86,86,8
18、6,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据，则 A， B 的标准差_(填“相等”或“不相等”)答案：相等解析：由 s ，可知 B(x1 xto(x)2 (x2 xto(x)2 (xn xto(x)2n样本数据每个变量增加 2，平均数也增加 2，但( xn )2不变，故填相等x3一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：分数 50 60 70 80 90 100人数甲组 2 5 10 13 14 6乙组 4 4 16 2 12 12已经算得两个组的平均分都是 80 分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中谁优谁劣，并说明理由解：(1)
19、甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为 70 分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些(2)s 2(30) 25(20) 210(10)2甲12 5 10 13 14 621301410 2620 2 (29005400101000141006400)150172.s (490044001610001210012400)256.2乙150 s s ，2甲 2乙甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组成绩好些(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 80 分，其中，甲组成绩在 80 分以上(含 80分)的有 33 人，乙组成绩在 80 分以上(含 80 分)的有 26 人，从这一角度看，甲组的成绩总体较
20、好(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于 90 分的人数为 20 人，乙组成绩大于或等于90 分的人数为 24 人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多 6 人从这一角度看，乙组的成绩较好(1)在计算平均数和标准差时，如果数据较大，可以注意方法的选择，将各个数据都减去同一个数后，平均数也相应减小了，而这组数据的标准差不会发生变化(2)平均数与标准差都是重要的数字特征数，是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实际意义，所以，不仅需要掌握其计算公式和方法，还要学会通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据(3)在应用平均数和方差解决实际问题
21、时，若平均数不同，则直接应用平均数比较；若平均数相同，则要由方差、标准差研究各组数据与其平均数的离散程度方差与标准差反映的意义相同，均反映了数据的离散程度，刻画数据与平均数的波动大小因标准差与原7始数据测量单位相同，所以，在统计中常用标准差刻画数据的离散程度1(2012 安徽高考改编)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列说法正确的是_(填序号)甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数；甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数；甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差；甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案：解析：由图可得， 甲 6， 乙 6，故错；而甲的x4 5 6 7
22、 85 x 35 6 95成绩的中位数为 6，乙的成绩的中位数为 5，故错； s 2甲2， s (4 6)2 (5 6)2 (6 6)2 (7 6)2 (8 6)25 2乙2.4，故正确；甲的成绩的极差为 4，乙的成绩的极3(5 6)2 (6 6)2 (9 6)25差也为 4，故错2已知样本方差 s2 (xi5) 2，则 x1 x2 x10_.11010 i 1答案：50解析：由已知得 5， n10， 5，x xx1 x2 x1010 x1 x2 x1050.3国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲 乙 丙 丁平均成绩 x 8.5 8.
23、8 8.8 8方差 s2 3.5 3.5 2.1 8.7则应派_选手参赛最为合适答案：丙解析：由表可知，丙的平均成绩较高且发挥稳定，应派丙去参赛最合适4某医院急诊中心关于病人等待急诊的时间记录如下：等待时间/分 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25)频数 4 8 5 2 1用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值 _，病人等待时间标准x差的估计值 s_.答案：9.5 分 5.34 分解析： (2.547.5812.5517.5222.51)9.5(分)，x120s120(2.5 9.5)24 (7.5 9.5)28 (12.5 9.5)25 (17.5 9.5)22 (22.5 9.5)21 5.34(分)28.55在某年的足球甲 A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是 1.5，全年比赛失球个数的8标准差为 1.1，二队每场比赛平均失球数是 2.1，全年比赛失球个数的标准差是 0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？(1)平均说来，一队比二队技术好；(2)二队比一队技术水平更稳定；(3)一队有时表现很差，有时表现又非常好；(4)二队很少不失球解：(1)对，从平均数的角度考虑；(2)对，从标准差的角度考虑；(3)对，从标准差的角度考虑；(4)对，从平均数和标准差的角度考虑
