1、1 学习空间几何体要“三会”一、会辨别例 1 下列说法：一个几何体有五个面，则该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱；若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台；直角三角形绕其任意一条边旋转一周都可以围成圆锥其中说法正确的个数为_分析 可根据柱体、锥体、台体和球体的概念进行判断解析 一个几何体有五个面，可能是四棱锥、三棱台，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以错；由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点，而中的几何体其侧棱延长线并不一定会交于一点，所以错；中如绕直角边旋转可以形成圆锥，但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体，所以错故填 0.答案 0
2、评注 要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提二、会折展例 2 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“”的面的方位是_分析 将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可解析 将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“”的面的方位应为北故填北答案 北评注 将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践三、会割补例 3 如图
3、所示是一个三棱台 ABCA 1B1C1.试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示分析 三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行解 作 A1DBB 1，C 1EBB 1，连接 DE，则三棱柱为 A1B1C1DBE，多面体为 ADECC1A1(如图所示)评注 正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解2 三视图易错点剖析一、棱锥的视图易出错我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三
4、视图实际上，在上述几何体的三视图中，左视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图如图，对于正三棱锥 PABC 来说，它的主视图中，从前面向后面看，点 B 到了点 D 的位置，点 P 到了点 P的位置，故主视图为等腰三角形 PAC(包含高线 PD) ，从左侧向右侧看，点 A 到了点 D 的位置，故左视图为三角形 PBD，从上面向下面看，俯视图中，点 P 到了点O 的位置，故俯视图为等边三角形 ABC(外加三条线段 OA、OB、OC)如图，对于正四棱锥 PABCD 来说，它的主视图和左视图分别为等腰三角形 PEF 和等腰三角形 PGH
5、，俯视图为正方形 ABCD(包含两条对角线 AC 和 BD)对于此三视图，左视图和主视图易出错，但有了高线 PO 的衬托，便可降低出错率二、画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示这一点不能忽视，否则易出错例 1 画出如图所示零件的三视图错解 如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示剖析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线正解 三、不能由三视图还原正确的直观图而出错当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的
6、投影，重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图验证直观图的正确性例 2 如图，通过三视图还原物体的直观图解 通过三视图可以画出直观图，如图所示：注 其中 PC 为垂直于底面 ABCD 的直线跟踪训练 由下面的三视图还原物体的直观图解 通过三视图可以看出直观图如图所示：3 直观图与原图形的互化知多少在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则“斜”和“二测” “斜”也即是直角坐标系到斜 45坐标系之间的相互转化， “二测”也即是两者在转化时，要做到“水平
7、长不变，垂直倍半化” 现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略一、原图形到直观图的转化例 1 已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图ABC 的面积为( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a234 38 68 616分析 先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 边上的高所在直线为 y 轴) ，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图 AB C 的边长及夹角求解解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图所示易知，AB AB a，OC OC a.作 CD AB于点 D，则12 34C
8、D OC a.22 68SA B C AB CD a a a2.12 12 68 616答案 D评注 通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为 1.在求解24中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位二、直观图到原图形的转化例 2 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到一个边长为 1 的正方体，则原来图形的形状是( )解析 由直观图知，原图形在 y 轴上的对角线长应为 2 .2答案 A评注 当由直观图向原图形转化时，关键是在直观图中建立斜 45坐标系，有了斜 45坐标系，便可按“二测”的画图规则逆推回去，而在正方形中建立 45坐标系是很容易的(正方形的对角线与任一边
9、所成的角均为 45)，从而实现了由直观图向原几何图形的转化例 3 如图所示，四边形 ABCD 是一平面图形水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD 是一直角梯形，AB CD，ADCD，且 BC 与 y 轴平行，若AB6，DC4，AD2，则这个平面图形的实际面积是_分析 由BCx45，先计算 BC 的长度解析 由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形，且 AB 与 CD 的长度不变，仍为 6 和4，高为 4 ，故平面图形的实际面积为 (64)4 20 .212 2 2答案 20 24 柱、锥、台的表面积求法精析由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的
10、正确认识以及对表面积公式的正确运用一、锥体的表面积例 1 正三棱锥的底面边长为 4 cm，它的侧棱与高所成的角为 45，求正三棱锥的表面积分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高解 如图所示，过 S 点作 SO平面 ABC 于 O 点，则 O 为 ABC 的中心，连接 AO 并延长与BC 相交于 D 点由正三角形的性质得 D 为 BC 的中点，连接 SD，则 SD 为正三棱锥的斜高在 Rt ASO 中，ASO45，AO 4 (cm)，SOAO (cm)33 433 433在 Rt SOD 中， OD 4 (cm)，36 233故 SD (cm)SO2 OD2163 43 203 2153根据正棱锥
11、的侧面积公式：S 侧 34 4 (cm2)，12 2153 15又ABC 的面积为 4 cm2，3故正三棱锥的表面积为(4 4 ) cm2.15 3评注 有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，从而使问题得以解决二、柱体的表面积例 2 如图，已知直三棱柱 ABCA 1B1C1，其底面是等腰直角三角形，且ABBC ，ACA 1A2.2(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼
12、得的棱柱表面积的最小值解 (1)该几何体有 5 个面，两个底面的面积和为 2 2，三个侧面面积和为 2(12 2 2 2)4( 1)，故其表面积 S64 .2 2 2 2(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为 S1，则组合后的直棱柱的表面积为 2S2S 1，故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小又侧面 AA1C1C 的面积最大，此时拼得的棱柱的表面积最小值为 2S2S 四边形AA1C1C48 .2评注 本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状； (2)的关键在于找到影响拼合后的面积变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行比较三、台体
13、的表面积例 3 已知一个正三棱台的两底面边长分别为 20 cm 和 30 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解所需的几何元素解 如图所示，正三棱台 ABCA 1B1C1 中，O，O 1 分别为两底面中心，D，D 1 分别为 BC 和B1C1 中点，则 DD1 为棱台的斜高由 A1B120 cm，AB30 cm，则 O1D1 cm，OD5 cm，1033 3由 S 侧 S 上 S 下 ，得(2030)3DD 1 (202 302)，12 34DD 1 cm.棱台的斜高为 cm.1333 1333在直角梯形
14、O1ODD1 中，O1O 4 (cm)DD21 OD O1D12 3棱台的高为 4 cm.3评注 本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形5 空间几何体体积的求解“三法”空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解一、直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解例 1 已知圆锥的表面积为 15 cm2，侧面展开图的圆心角为 60，求该圆锥的体积分析 根据锥体的体积公式 V Sh r2h，知应分别求出圆锥的底
15、面半径和高，代入公式13 13计算解 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，根据题意可得Error!解得Error!所以 h l2 r2 6r2 r2 35r2 r 5 .35 35157 3所以 V 25 (cm3)13 ( 157) 3 2537评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算二、分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球) ，利用各简单几何体的体积和或差求解例 2 如图所示，在三棱台 ABCA 1B1C1 中，ABA 1B
16、112，求三棱锥 A1ABC、三棱锥BA 1B1C、三棱锥 CA 1B1C1 的体积之比分析 如图，三棱锥 BA 1B1C 可以看作棱台减去三棱锥 A1ABC 和三棱锥 CA 1B1C1 后剩余的几何体，然后相比即可解 设三棱台的高为 h，S ABC S，则 SA 1B1C14S.所以 SABC h Sh，1ABCV三 棱 锥 13 13 SA 1B1C1h Sh.1三 棱 锥 13 43又 Sh，1ABCV三 棱 台 73所以 Sh Sh Sh Sh.1三 棱 锥 1ABCV三 棱 台 1ABCV三 棱 锥 1ABC三 棱 锥 73 13 43 23所以 124.1ABC三 棱 锥 1三 棱
17、 锥 三 棱 锥 评注 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法三、等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积例 3 如图所示的三棱锥 O ABC 为长方体的一角，其中 OA，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC 的面积分别为 1.5 cm2，1 cm 2,3 cm2，求三棱锥 OABC 的体积分析 三棱锥 OABC 的底面和高不易求解，可以转换视角，将三
18、棱锥 OABC 看作 C 为顶点，OAB 为底面由三棱锥 COAB 的体积得出三棱锥 OABC 的体积解 设 OA，OB，OC 的长分别为 x cm，y cm，z cm，则由已知可得Error!解得Error!于是 V 三棱锥 OABC V 三棱锥 C OAB SOAB OC13 1321(cm 3)13 126 “三共”问题的证法精析一、证明点共线例 1 如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，设线段 A1C 与平面 ABC1D1 交于 Q.求证：B、Q、D 1 共线证明 D 1平面 ABC1D1， D1平面 A1D1CB，B平面 ABC1D1，B 平面 A1D1CB，平面 AB
19、C1D1平面 A1D1CBBD 1.A 1C平面 ABC1D1Q，且 A1C平面 A1D1CB，Q平面 A1D1CB；而 Q平面 ABC1D1.Q 在两平面的交线 BD1 上，B、Q、D 1 共线评注 证明点共线的问题，一般可转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样可根据公理 3 证明这些点同在两平面的交线上二、证明线共点例 2 如图，ABC 与A 1B1C1 三条边对应平行，且两个三角形不全等，求证：三对对应顶点的连线相交于一点分析 要证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上证明 由 A1B1AB ，知 A1B1 与 AB 可确定平面 .同理 C1B1，CB 和 A1C1
20、，AC 可分别确定平面 和 .又ABC 与A 1B1C1 不全等，则 A1B1AB .若 AA1，BB 1 的交点为 P，则 PAA 1，且 PBB 1.又 CC 1，BB 1 ，则 P；AA 1，则 P .所以点 P 在 的交线上，即 PCC 1，这样点 P 在 AA1，BB 1，CC 1 上，即三对对应顶点的连线相交于一点评注 解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上三、证明线共面例 3 求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面分析 四条直线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种情况加以证明证明 分两种情况证明：有三条直线过同一点，如图，因
21、为 Al4，所以过 A，l 4 可确定平面 .因为 B，C，Dl 4，所以 B，C，D .所以 AB，AC，AD.因此四条直线 l1，l 2，l 3，l 4 共面任意三条直线都不过同一点，如图因为 l1l 2A，所以过 l1，l 2 可以确定平面 .又因为 D，El 2，B，Cl 1，所以 D，E，B，C.由 E，B，可得 BE，即 l3.同理可证，l 4.因此四条直线 l1，l 2，l 3，l 4 共面评注 证明线共面问题，一般有两种方法：一是先由两条直线确定一个平面，再证明第三条直线在这个平面内；二是由其中两条直线确定一个平面 ，另两条直线确定一个平面 ，再证 ， 重合，从而三线共面7 平
22、行问题证明的三个突破口一、由中点联想三角形的中位线，寻找平行关系例 1 如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是 CD1 的中点，求证：AD 1平面 BDE.分析 要在平面 BDE 内寻找与 AD1 平行的直线，由条件 E 是 CD1 的中点，易想到利用三角形的中位线来寻找由于底面 ABCD 是平行四边形，其对角线的交点就是 AC 的中点，这样就找到了中位线，从而问题就解决了证明 连接 AC，与 BD 交于点 O.因为底面 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点连接 OE，由于 E 是 CD1 的中点，所以 OE 是AD 1C 的中位线所以 OEAD 1.又 OE平面
23、 BDE，AD 1平面 BDE，所以 AD1平面 BDE.评注 运用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时，不能忽视限制条件：一条直线在平面内，一条直线在平面外，如本题中 OE平面 BDE，AD 1平面 BDE，否则证明不完善二、由平行四边形寻找平行关系例 2 如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CMDN，求证：MN平面 ABB1A1.分析 要在平面 ABB1A1 内找一条直线与 MN 平行，可根据平行关系作 MEBC，NFAD 来构造平行四边形，从而找到与 MN 平行的直线证明 作 MEBC 交 BB1 于点 E，作 NFAD 交
24、 AB 于点 F，连接 EF.因为 ADBC，所以 NFME.因为 CMDN，BDB 1C，所以 B1MBN.因为 ， ，MEBC B1MB1C NFAD BNBD所以 MENF.所以四边形 MEFN 为平行四边形所以 MNEF.又 MN平面 ABB1A1，EF平面 ABB1A1，所以 MN平面 ABB1A1.评注 构造平行四边形的关键在于抓住条件特征，合理引入平行线一定要注意平行四边形的一条边在要证的平面内，其对边为待证直线，如本题中直线 EF 与 MN.三、由对应线段成比例寻找平行关系例 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，M，N 分别是 PA，BD 上的点，且
25、，PMMA BNND求证：MN平面 PBC.分析 条件中给出一个比例关系，由此想到运用比例线段在平面 PBC 内寻找一条直线与 MN平行证明 连接 AN 并延长，交 BC 于点 E，连接 PE.在正方形 ABCD 内，BCAD，所以 .BNND NEAN因为 ，所以 .PMMA BNND PMMA NEAN所以 MNPE.又 PE平面 PBC，MN平面 PBC，所以 MN平面 PBC.8 转化中证明空间垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系一、证明线面垂直证明线
26、面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直例 1 如图，AB 是圆 O 的直径， PA 垂直于圆 O 所在的平面， M 是圆周上任意一点，ANPM，垂足为点 N.求证：AN 平面 PBM.证明 因为 PA 垂直于圆 O 所在的平面，所以 PABM.因为 M 是圆周上一点，所以 BMAM.又因为 PAAMA，所以 BM平面 PAM.所以 BMAN.又因为 ANPM ，PMBMM，所以 AN平面 PBM.评注 本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化二、证明面面
27、垂直证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直例 2 如图，ABC 为等边三角形，EC 平面 ABC，BDEC ，且 ECCA2BD，M 是 EA的中点(1)求证：DE DA；(2)求证：平面 BDM平面 ECA.证明 (1)如图，取 EC 的中点 F，连接 DF，易知 DFBC.因为 ECBC，所以 DFEC.在 Rt EFD 和 RtDBA 中，因为 EF ECBD ，FDBCAB ，12所以 RtEFDRtDBA.所以 DEDA .(2)如图，取 CA 的中点 N
28、，连接 MN，BN ，则 MNEC ，且 MN EC.12又 ECBD，且 BD EC，12所以 MNBD，且 MNBD.所以四边形 BDMN 是平行四边形所以点 N 在平面 BDM 内因为 EC平面 ABC，所以 ECBN.又 CABN，ECCAC，所以 BN平面 ECA.因为 BN平面 MNBD，所以平面 BDM平面 ECA.评注 在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题三、证明线线垂直证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直例 3 如图，已知平面 平面 CD，EA ，EB，垂足分别为 A，B，求证：CDAB.证明 因为
29、EA ，CD ，所以 CDEA.又因为 EB，CD ，所以 EBCD.又因为 EAEBE，所以 CD平面 ABE.因为 AB平面 ABE，CD平面 ABE，所以 CDAB .评注 证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到化归与转化的数学思想，主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中其转化关系如下：线线垂直 线面垂直 面面垂直判 定 定 理 性 质 定 理 判 定 定 理 性 质 定 理9 空间中垂直关系的探索型问题随着新课程的普及，创新型问题越来越受到高考命题者的青睐，并且渗透到各个章节之中，下面就直线与空间中垂直关系的开放探索型问题列举两例，供同学们学习例 1 如图，设A
30、BC 内接于O，PA 垂直于O 所在的平面(1)请指出图中互相垂直的平面；( 要求：列出所有的情形，但不要求证明)(2)若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么在ABC 中需添加一个什么条件？(要求：添加你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性，答案不唯一)(3)设 D 是 PC 的中点，AC ABa(a 是常数)，试探究在 PA 上是否存在一点 M，使MDMB 最小？若存在，试确定点 M 的位置；若不存在，请说明理由解 (1)图中互相垂直的平面有：平面 PAC平面 ABC，平面 PAB平面 ABC.(2)要使互相垂直的平面对数在原有的基础上
31、增加一对，在ABC 中需添加：ABBC(或添加ABC90 ，或 AC 是O 的直径，或 AC 过圆心 O 等)证明如下：因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 BCPA .因为 ABBC， PAABA，所以 BC平面 PAB.又 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PAB.(其他条件的证明略 )(3)将平面 PAB 绕 PA 沿逆时针方向旋转到与平面 PAC 在同一平面上，如图因为PAAC，PA AB，所以 C，A，B 三点在同一条直线上连接 DB 交 PA 于点 M，则点 M 就是所求的点过点 D 作 DEBC 交 PA 于点 E.因为 D 是 PC 的中点，所以 E 为 PA
32、的中点因为 ，且 ACAB，所以 2.AMME ABDE AMME所以 AM AE AP，即点 M 为 AP 方向上 AP 的第一个三等分点时，MDMB 最小23 13例 2 如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形，E 为线段 AD1 的中点，F 为线段 BD1 的中点(1)求证：EF平面 ABCD；(2)设 M 为线段 C1C 的中点，当 的比值为多少时，DF平面 D1MB？并说明理由D1DAD(1)证明 E 为线段 AD1 的中点， F 为线段 BD1 的中点，EFAB.EF平面ABCD，AB平面 ABCD，EF平面 ABCD.(2)解 当 时，DF 平面 D1MB.D1DAD 2ABCD 是正方形，ACBD.D 1D平面 ABC，D 1DAC.AC平面 BB1D1D，AC DF .F，M 分别是 BD1，CC 1 的中点，FMAC.DFFM .D 1D AD，D 1DBD.矩形 D1DBB1 为正方形2F 为 BD1 的中点， DF BD1.FMBD 1F，且 MF平面 D1MB，BD 1平面 D1MB，DF平面 D1MB.
