1、第二讲函数与方程及函数的应用,【知识回顾】1.几种常见函数模型(1)一次函数模型:_.(2)二次函数模型:_.(3)指数函数模型:_.(4)对数函数模型:_.,y=ax+b(a0),y=ax2+bx+c(a0),y=abx+c(b0且b1),y=blogax+c(a0且a1),(5)分段函数模型:_(A1A2=).,2.函数的零点(1)函数的零点及函数的零点与方程的根的关系对于函数f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的_,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的_.,零点,横坐标,(2)零点存在性
2、定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根.,f(a)f(b)0,【易错提醒】1.忽略概念致误:函数的零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.,2.不能准确应用零点存在性定理致误:函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点,但存在零点时不一定满足该条件.即函数y=f(x)在(a,b)内存在零点,不一定有f(a)f(b)0且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(),【解
3、析】选C.,由y=loga(x+1)+1在0，+)上递减，则0a2，即a 时，联立 则=(4a-2)2-4(3a-2)=0，解得：a= 或1(舍)，当13a2时，由图象可知，符合条件.综上：a,3.(2016江苏高考)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1).(1)设a=2,b= .求方程f(x)=2的根;若对任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.,(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.,【解析】(1)f(x)=2x+ ,由f(x)=2可得2x+ =2(2x1)2=02x=1x=0;由题意得22x+ m -6恒成立,令t
4、=2x+ ,则由2x0可得t =2,此时t2-2mt-6恒成立,即m 恒成立,因为t2时 =4,当且仅当t=2时等号成立,因此实数m的最大值为4.(2)g(x)=f(x)-2=ax+bx-2,g(x)=axlna+bxlnb=axlnb ,01可得 则h(x)是递增函数,而lna0,因此x0= 时,h(x0)=0,因此x(-,x0)时,h(x)0,则g(x)0,axlnb0,则g(x)0,则g(x)在(-,x0)上递减,在(x0,+)上递增,因此g(x)的最小值为g(x0).,若g(x1) =2,bx0,则g(x)0,因此x10,因此g(x)在(x1,x0)有零点,则g(x)至少有两个零点,与
5、条件矛盾.若g(x0)0,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,g(x)的最小值为g(x0),可得g(x0)=0,由g(0)=a0+b0-2=0,因此x0=0,因此 即lna+lnb=0,ln(ab)=0,则ab=1.,热点考向一函数的零点命题解读:主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合法确定函数零点的个数或其存在范围,以及应用零点求参数的值(或范围),常用高次函数、分式、指数式、对数式、三角式结构为载体,以选择题、填空题为主;有时与导函数结合在解答题中出现.,命题角度一确定函数零点个数或其存在范围【典例1】(1)(2016大庆一模)已知函数f(x)= 若 ,则f(x)零点所在区间为(
6、),(2)(2016合肥二模)定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)= 则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a1)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5,【解题导引】(1)利用零点存在性定理判断.(2)转化为同一坐标系内y=f(x);y=a的图象交点个数求解.,【规范解答】(1)选C,由题意,函数f(x)= -ax在定义域上连续,f(0)=0-10,故f(x)零点所在区间为,(2)选D.因为f(x)为奇函数,所以x0时,f(x)=-f(-x)= 画出y=f(x)和y=a(0a1)的图象,如图共有5个交点,所以F(x)有5个零点.,【母题变式】1.典例1(2)的条件不变,求函数F(
7、x)所有零点的和?,【解析】由典例1(2)解析知函数f(x)与y=a有5个交点,设其横坐标从左到右分别为x1,x2,x3,x4,x5,则 =-3, =3,而- (-x3+1)=alog2(1-x3)=ax3=1-2a,可得x1+x2+x3+x4+x5=1-2a.即所有零点之和为1-2a.,2.若把典例1(2)条件中“01时零点个数为1.当a=-1或a=1时,零点个数为3.当-1a1时,零点个数为5.,命题角度二根据零点的个数或其存在范围求参数范围【典例2】(2016汕头一模)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数,且对任意的实数x,恒有f(x)-f(-x)=0,当x-1,0时,f(x)=x
8、2,若g(x)=f(x)-logax在x(0,+)上有且仅有三个零点,则a的取值范围为(),A.3,5B.4,6C.(3,5)D.(4,6)【解题导引】根据函数的周期性和奇偶性画出f(x)和y=logax在(0,+)上的图象,根据交点个数列出不等式,解出a.,【规范解答】选C.因为f(x)-f(-x)=0,所以f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性画出f(x)的图象如图所示:,因为g(x)=f(x)-logax在x(0,+)上有且仅有三个零点,所以y=f(x)和y=logax的图象在(0,+)上只有三个交点,所以 解得3a0,且a1)的图象上关于y轴对称的点至少有
9、5对,则实数a的取值范围为(),【解析】选D.若x0,因为x0时,f(x)=sin -1,所以f(-x)=sin -1=-sin -1,则若f(x)=sin -1(x0)关于y轴对称,则f(-x)=-sin -1=f(x),即y=-sin -1,x0,设g(x)=-sin -1,x0,作出函数g(x)的图象,要使y=-sin -1,x0与f(x)=loga(-x),x0的图象至少有5个交点,则0logaa-2,即7 ,综上可得0a0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的实根,则m的取值范围是_.,【解题导引】(1)转化函数的零点为方程的根,利用数形结合求解即可.(2)转化为两
10、个函数y=f(x)与y=b的图象有三个不同的交点问题,数形结合求解.,【规范解答】(1)选D.函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点,即f(x)=k,只有一个解,在平面直角坐标系中画出,y=f(x)的图象,结合函数图象可知,方程只有一个解时,k(-,0),(2)由图象可知,要满足题设要求,必须有mm2-2mm+4m,所以m2-2m2+4m0,整理后,解得m3.答案:,【规律方法】应用函数思想确定方程解的个数的两种方法(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解.(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解.,【题组过关】1.(2016湖北七校联考
11、)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点,则实数的值是(),【解析】选C.令y=f(2x2+1)+f(-x)=0,且f(x)是奇函数,则f(2x2+1)=-f(-x)=f(x-),又因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-只有一个零点,即2x2-x+1+=0只有一个解,则=1-8(1+)=0,解得=- .,2.(2016长沙二模)已知f(x)= 若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是_.,【解析】依题意可知,问题等价于方程x3=b(xa)与方程x2=b(xa)的根的个数和为2,若两个方程各有一个根,
12、则可知关于b的不等式组 有解,所以a21;,若方程x3=b(xa)无解,方程x2=b(xa)有2个根;则可知关于b的不等式组 有解,从而a0时,=16-4a0,解得0a4.当a0),即x=10时取等号,所以当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38880元.,(2)由限制条件知 所以 x16,设g(x)=x+ 当x= 时,总造价最低,最低价为1296 +12960=38882(元),所以当污水处理池的长为16米,宽为 米时总造价最低,总造价最低为38882元.,【规律方法】应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序: (2)解题关键:解答这类问题的关
13、键是确切地建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.,【题组过关】1.(2016哈尔滨二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)= 已知某家庭今年前三个月的煤气费如表:,若四月份该家庭使用了20m3的煤气,则其煤气费为()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元,【解析】选A.经分析知:A4,C=4.根据题意有: 解得: 所以f(20)=4+0.5(20-5)=11.5.,2.(2016成都一模)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数
14、).若该食品在0的保鲜时间是192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是_小时.,【解析】由题意得 当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3eb= 192=24.答案:24,【加固训练】1.某人想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要门面装修费20000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系式是R=R(x)=,则总利润最大时,该门面经营的天数是()A.100B.150C.200D.300,【解析】选D.由题意知,总成本C=20000+100x.所以总利润P=R-C= 则P= 所以P在0,30
15、0上单调递增,在(300,+)上单调递减,由题意易知当x=300时,总利润最大.,2.(2016厦门模拟)某地一渔场的水质受到了污染.渔场的工作人员对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m(mN*)个单位的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中f(x)= 当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在,水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.(1)投放的药剂质量为m=6,试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?(2)投放的药剂质量为m,为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.,【解析】(1)由题设知投放的药剂质量为m=6,渔场的水质达到有效净化6f(x)6f(x)1 或 0x5或5x8,即00,所以f(x)= 所以x(0,5,6mlog3(x+4)18,且x(5,8,6 18.所以 且,所以6m9,mN*.故投放的药剂质量m的取值范围为m=m|m=6,7,8,9.,
