1、第三章 直线与方程1、直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 01802、直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.当 90时， ； 当 180,9时， k； 当 90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式： )(212xxy（ P 1(x1,y1)
2、,P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当 1时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3、直线方程 点斜式： )(11xky直线斜率 k，且过点 1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式： bkxy，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b 两点式
3、： 1122（ 212,y）直线两点 1,， 2,y 截矩式： ab其中直线 l与 x轴交于点 (,0)a,与 y轴交于点 (0,),即 l与 x轴、y轴的截距分别为 ,ab。 一般式： 0CBAx（A ，B 不全为 0）注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于 x 轴的直线： y（b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： ax（a 为常数） ； 4、两直线平行与垂直当 11:kyl， 22:xkl时，2,/b； 2l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5、两条直线的交点0:11CyBxAl 0:22CyBxAl相交交点坐标即方程组 11的一组解。方程组无解
4、 2/l ； 方程组有无数解 1l与 2重合6、 两点间距离公式 ：设 12(,),xy， （ ） 是平面直角坐标系中的两个点，则 212|()ABx （9） 点到直线距离公式 ：一点 0,yxP到直线 0:1CByAxl的距离20Cyxd7、 两平行直线距离公式已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l01yx： ，则 与 的距离为2l02CByAx1l2 2BACd直线与方程复习测试题一选择题1若直线过点( ,3)且倾斜角为 30,则该直线的方程为（ ）3Ay x6 B. y x4 C . y x4 D. y x2332. 如果 A(3, 1)、B(2, k )、C(8, 1
5、1), 在同一直线上，那么 k 的值是（ ） 。A. 6 B. 7 C. 8 D. 93. 如果直线 xby 9=0 经过直线 5x6y17=0 与直线 4x3y2=0 的交点，那么 b 等于（ ）.A. 2 B. 3 C. 4 D. 54. 直线 (2m25m2)x (m 24) y5m =0 的倾斜角是 450, 则 m 的值为（ ） 。A.2 B. 3 C. 3 D. 25.两条直线 和 的位置关系是( ) 0y2)1(2xA.平行 B.相交 C.重合 D.与 有关 *6到直线2 x+y+1=0的距离为 5的点的集合是( )A.直线2x+y2=0 B直线2x+y=0C.直线2x+y=0或
6、直线2x+y2=0D.直线2x+y=0或2x+2y+2=07 直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于，那么 的取值范围是（ 0b b） 2,2, 2,0,*8若直线 l 与两直线 y1，xy70 分别交于 M，N 两点，且 MN 的中点是P（1，1） ，则直线 l 的斜率是（ ）A B C D23 23 32 329两平行线 3x2y 10，6x ayc0 之间的距离为 ，则 的值是( )c 2aA .1 B. 1 C. -1 D . 210直线 x2y 10 关于直线 x1 对称的直线方程是（ ）Ax2y10 B2xy10 C2xy30 Dx2y30*11点 P 到点 A（1，0）和直线
7、 x1 的距离相等，且 P 到直线 yx 的距离等于，这样的点 P 共有 （ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个*12若 yax 的图象与直线 yxa（a0）有两个不同交点，则 a 的取值范围是 （ ）A0a1 B a1 C a0 且 a1 Da 1二填空题13. 经过点(2,3) , 在 x 轴、 y 轴上截距相等的直线方程是 ；或 。*14. 直线方程为(3a2)x y8=0, 若直线不过第二象限，则 a 的取值范围是 。15. 在直线 上求一点，使它到原点的距离和到直线 的距离相等，03 023yx则此点的坐标为 . *16. 若方程 x2-xy-2y2+x+y =0 表示的图形是
8、 。三解答题17 （12 分）在ABC 中，BC 边上的高所在直线方程为：x2y+1=0 ，A 的平分线所在直线方程为：y=0，若点 B 的坐标为（1，2） ，求点 A 和 C 的坐标.*18已知直线（a2）y（3a1）x1.（1）求证：无论 a 为何值，直线总过第一象限；（2）为使这条直线不过第二象限，求 a 的取值范围.19已知实数 x，y 满足 2x y8，当 2x3 时，求 的最值.yx20已知点 P（2，1）.（1）求过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程；（2）求过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？14 CDDB 58 BDCA 912 ADCB：2
9、. 由 kAC=kBC=2 得 D3 直线 5x6y17=0 与直线 4x3 y2=0 的交点坐标为(1, 2), 代入直线 xby90，得 b=54. 由题意知 k=1,所以 =1,所以 m=3 或 m=2（舍去）2m2 5m 2m2-45. 第一条直线的斜率为 k1=- ，第二条直线的斜率为 k2= 0 所以 k1k 2.32 m2+136. 设此点坐标为（x,y）,则 = 5，整理即得。7. 令 x=0,得 y= ，令 y=0,x=-b,所以所求三角形面积为 | |b|= b2,且b2 12b2 14b0， b21 ，所以 b24，所以 b .14 2,0,8. 由题意，可设直线 l 的
10、方程为 yk（x1）1，分别与 y1，xy 70 联立解得M（ 1，1） ，N（ ， ）.2k k 6k 1 6k 1k 1又因为 MN 的中点是 P（1，1） ，所以由中点坐标公式得 k .239. 由题意 ，a4，c2.则 6xay c 0 可化为 3x2y 0.36 2a 1c c2由两平行线距离得 ，得 c2 或 c6， 1.c 2a10.直线 x2y10 与 x1 的交点为 A（1，1） ，点（1，0）关于 x1 的对称点为B（3，0）也在所求直线上， 所求直线方程为 y1 （x1） ，12即 x2y30，或所求直线与直线 x2y10 的斜率互为相反数，k 亦可得解.1211.由题意
11、知 x 1且 ，（ x 1） 2 y2 或 ，解得有两根，有一根.y2 4x x y 1) y2 4xx y 1) y2 4xx y 1)12如图，要使 yax 的图象与直线 yxa（a0）有两个不同的交点，则 a1.13xy50 或 3x2y=0 14a 15 或 3)5,()1,3(13.注意经过原点的直线在 x 轴、y 轴上的截距均为零14.直线在 y 轴上的截距为-8，直线不过第二象限，画图可知，直线的斜率为正或 0，即-（3a2）0，所以 a 。3y yaxyxaO x15.设此点坐标（-3y 0, y0）,由题意 = ，可得 y0=（ -3y0） 2+ y021516.x2-xy-
12、2y2+x+y =（x+y ）(x-2y)+(x+y)= （x+y ）(x-2y+1)=0,所以表示两条直线 x+y=0，x-2y+1=0.17解：由 A（1，0） ，又 KAB= ，x 轴为A 的平yx 1)(分线，故 KAC=1，AC：y=(x+1) ，BC 边上的高的方程为：x2y+1=0 ，K BC=2 BC：y 2=2（x1） ，即：2x +y4=0 ，由 ，解014得 C（5，6） 。18.解：（1）将方程整理得 a（3xy）（x2y1）0，对任意实数 a，直线恒过3xy0 与 x2y10 的交点（ ，） ，1535直线系恒过第一象限内的定点（ ，） ，无论 a 为何值，直线总过第
13、一象限.1535（2）当 a2 时，直线为 x ，不过第二象限；当 a2 时，直线方程化为15y x ，不过第二象限的充要条件为3a 1a 2 1a 2a2，综上 a2 时直线不过第二象限.19.思路点拨：本题可先作出函数 y82x（2x 3）的图象，把 看成过点（x，y ）和原点的直线的斜率进行求解.yx解析：如图，设点 P（x ，y ） ，因为 x，y 满足 2xy 8，且 2x3，所以点 P（x ，y）在线段 AB 上移动，并且 A，B两点的坐标分别是 A（2，4） ，B（3，2）.因为 的几何意义是直线 OP 的斜率且 kOA2，k OB ，所以 的最大值为 2，最小值为 .yx 23
14、 yx 2320.解：（1）过 P 点的直线 l 与原点距离为 2，而 P 点坐标为（2，1） ，可见，过P（2，1）垂直于 x 轴的直线满足条件.此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k（x2） ，即 kxy2k10.由已知，得 2，解得 k .此时 l 的方程为 2x4y100.34综所，可得直线 l 的方程为 x2 或 2x4y100.（2）作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的佳绩是过 P 点且与 PO 垂直的直线，由lOP，得 k1kOP1，所以 k1 2.由直线方程的点斜式得 y12（x2） ，即1kOP2xy50.即直线 2xy50 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为 .5（3）由（2）可知，过 P 点不存在到原点距离超达 的直线，因此不存在过点 P 点且到原5yO x1 2 3 44321APB点距离为 6 的直线.
