1、高中数学必修 2 知识点直线与方程一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 。斜率反映直线与 x 轴的倾斜程度。0tan(9)k当 时， ； 当 时， ； 当 时， 不存在。90,18,0k9k过两点的直线的斜率公式： )(212xyk注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；1x(2)k 与 P1
2、、 P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.如右图，直线 l1 的倾斜角 =30，直线 l1l 2，求直线 l1 和 l2 的斜率.解：k 1=tan30= l 1l 2 k 1k2 =13k 2 =例：直线 的倾斜角是( )05yxA.120 B.150 C.60 D.30（3）直线方程点斜式： 直线斜率 k，且过点)(11xky1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l上每一点的横坐标都等于 x1，
3、所以它的方程是 x=x1。斜截式： ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 bbky两点式： （ ）即不包含于平行于 x 轴或 y 直线两点轴的1221212,直线，直线两点 ， ，当写成 的形式时，,x,y121()()x方程可以表示任何一条直线。截矩式： yab其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。lx(0)ay(0)blxy,ab对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。一般式： （ A， B 不全为 0）CByA注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于 x 轴的直线： （ b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： （ a 为常数）
4、 ；x例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是 ，经过点 A(8， 2)； .2xyo12l1l2(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； .(3)在 轴和 轴上的截距分别是 ； .xy3,24)经过两点 P1(3，2)、P 2(5，4)； .例 1：直线 的方程为 Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）lAC=0，B0 BC =0，B0，A0 CC=0，AB0例 2：直线 的方程为 AxByC=0，若 A、B、C 满足 AB.0 且 BC0，则 l 直线不经l的象限是（ ） A第一 B第二 C第三 D第四（4）直线系方程：即具有某一共同性质
5、的直线（一）平行直线系平行于已知直线 （ 是不全为 0 的常数）的直线系：00yx0,BA（ C 为常数）0yx（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系： ，直线过定点 ；00ykx0,yx（）过两条直线 ， 的交点的直线:111BxAl :22CBAl系方程为 （ 为参数） ，其中直线 不在直线系22yxl中。（三）垂直直线系垂直于已知直线 （ 是不全为 0 的常数）的直线系：0xyC,0BxAy例 1：直线 l：(2m+1)x+(m+1)y7m 4=0 所经过的定点为 。(mR)（5）两直线平行与垂直当 ， 时，11:bkyl22:bxkl（1） ；（2）12,/l12121kl注意：
6、利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（3） 与 重合；（4） 与 相交。1,l2k另外一种形式：一般的，当 ， 与1110:0(,)AxByCAB不 全 为时，222:0(,)lAxByC不 全 为（1） ，或者 。121/ 0ABl 1210（2） 。21212l（3） 与 重合 = = =0。1 21C21AC（4） 与 相交 。l2121AB例.设直线 l1 经过点 A(m，1)、B(3，4) ，直线 l2 经过点 C(1，m) 、D(1，m+1)，当(1) l 1/ / l2 (2) l1l 1 时分别求出 m 的值例 1.已知两直线 l1： x+(1+m) y =2
7、m 和 l2：2mx +4y+16=0，m 为何值时 l1 与 l2相交平行例 2. 已知两直线 l1：(3a+2) x+(14a) y + 8=0 和 l2：(5a2)x+(a+4)y 7=0 垂直，求 a 值（6）两条直线的交点相交0:11CyBxAl :222CBAl交点坐标即方程组 的一组解。0221yx方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合1/l1l2例 3.求两条垂直直线 l1：2x + y +2=0 和 l2： mx+4y2=0 的交点坐标例 4. 已知直线 l 的方程为 ，1(1)求过点（2，3）且垂直于 l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于 l 的直线方程。例 2
8、：求满足下列条件的直线方程(1) 经过点 P(2，3) 及两条直线 l1： x+3y4=0 和 l2：5x+2y+1=0 的交点 Q；(2) 经过两条直线 l1： 2x+y8=0 和 l2：x 2y+1=0 的交点且与直线 4x3y7=0 平行；(3) 经过两条直线 l1： 2x3y+10=0 和 l2：3x +4y2=0 的交点且与直线 3x2y+4=0 垂直；（7）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，12(,),AB， （ ）则 221|(ABxy（8）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离0,xP1:0lAxByC20Cyxd（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转
9、化为点到直线的距离进行求解。对于 来说：0:11yBxAl 0:222CyBxAl。2Cd例 1：求平行线 l1：3x + 4y 12=0 与 l2： ax+8y+11=0 之间的距离。例 2：已知平行线 l1：3x +2y 6=0 与 l2： 6x+4y3=0，求与它们距离相等的平行线方程。(10) 对称问题1) 中心对称 A、若点 及 关于 对称，则由中点坐标公式得1(,)Mxy(,)N(,)PabB、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点12,.xayb坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 ，由点斜式得出所求直线
10、的方程。12/l2) 轴对称 A、点关于直线的对称： 若 与 关于直线 对1(,)Pxy2(,)xy:0lAxByC称，则线段 的中点在对称轴 上，而且连结 的直线垂直于对称轴 ，由方程组12Pl1可得到点 关于 对称的点 的坐标 （其中2120,xyBCyA 1Pl2P2(,)xy。 B、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的120,)x点来解决，若已知直线 与对称轴 相交，则交点必在与 对称的直线 上，然后再求1ll1l2l出 上任一个已知点 关于对称轴 对称的点 ，那么经过交点及点 的直线就是 ；1lP2PP2l若已知直线 与对称轴 平行，则与 对称的直线和 到直线 的距离
11、相等，由平行直1ll1l1ll线系和两条平行线间的距离，即可求出 的对称直线。例 1：已知直线 l：2x 3y+1=0 和点 P(1，2). (1) 分别求：点 P(1，2) 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标(2) 分别求：直线 l：2x 3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程.(3) 求直线 l 关于点 P(1，2)对称的直线方程。(4) 求 P(1， 2)关于直线 l 轴对称的直线方程。例 2：点 P(1，2)关于直线 l： x+y2=0 的对称点的坐标为 。11. 中点坐标公式：已知两点 P1 (x1，y 1)、P 1(x1，y 1)，则线段的中点 M 坐标为( ，21x)21y例. 已知点 A(7，4) 、B( 5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程
