1、1高一数学一元二次不等式解法练习题及答案 例 若 ， 则 不 等 式 的 解 是1 0a(xa)01 AaxB 1CxaD 或 或 1分 析 比 较 与 的 大 小 后 写 出 答 案 a解 ， ， 解 应 当 在 “两 根 之 间 ”， 得 选 01 axA 1a例 有 意 义 ， 则 的 取 值 范 围 是 2 xx6分析 求算术根，被开方数必须是非负数解 据题意有，x 2x6 0，即(x 3)(x 2)0，解在“两根之外”，所以x3 或 x2例 3 若 ax2bx 1 0 的解集为x|1x2，则a_，b _ 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，1 和 2 是方程 ax2bx10 的两个
2、根，考虑韦达定理解 根据题意，1，2 应为方程 ax2bx10 的两根，则由韦达定理知2ba()12得ab12， 例 4 解下列不等式(1)(x1)(3x)5 2x(2)x(x11)3(x 1) 2(3)(2x1)(x 3)3(x 22)(4)3x2135x ()分析 将不等式适当化简变为 ax2bxc 0(0)形式，然后根据“解公式”给出答案( 过程请同学们自己完成)答 (1)x|x2 或 x4()x|1 3(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例 不 等 式 的 解 集 为5 1x 3Ax|x0 Bx|x1C x|x1 Dx|x1 或 x0分析 直接去分母需要考虑分母
3、的符号，所以通常是采用移项后通分解 不 等 式 化 为 ，通 分 得 ， 即 ， 1x0022x20，x 10，即 x1选 C说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解例 与 不 等 式 同 解 的 不 等 式 是6 0x32 A(x3)(2 x) 0B0 x21C 3D(x 3)(2 x)0解 法 一 原 不 等 式 的 同 解 不 等 式 组 为 ， ()x320故排除 A、C、 D，选 B解 法 二 化 为 或 即 x320x3()2x03两边同减去 2 得 0x2 1选 B说明：注意“零”4例 不 等 式 的 解 为 或 ， 则 的 值 为7 1x|12aax Aa BaCD 221
4、1分 析 可 以 先 将 不 等 式 整 理 为 ， 转 化 为 0()ax(a1)x 1(x1) 0 ，根据其解集为x|x 1 或 x2可 知 ， 即 ， 且 ， a1a12aa答 选 C说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧例 解 不 等 式 8 2372x解 先将原不等式转化为 3720x即 ， 所 以 由 于 ，2131478x02(x)02不等式进一步转化为同解不等式 x22x3 0，即(x3)(x1)0，解之得3 x1解集为x|3x1说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题5例 9 已知集合 Ax|x 25x4 0与 Bx|x 22axa 2 ， 若 ， 求 的 范 围
5、 0Ba分析 先确定 A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系 ， 结 合 ， 利 用 数 形 结 合 ， 建 立 关 于 的 不 等 式 Ba解 易得 Ax|1 x4设 yx 22axa2(*)(1) 0若 ， 则 显 然 ， 由 得4a24(a2) 0 ，解得1a2()B(*)16若 ， 则 抛 物 线 的 图 像 必 须 具 有 图 特 征 ：应 有 从 而x|x|412a041 12a2 解 得 87综 上 所 述 得 的 范 围 为 a1a87说明：二次函数问题可以借助它的图像求解6例 10 解关于 x 的不等式(x2)(ax2) 0分析 不等式的解及其结构与 a 相关，所
6、以必须分类讨论解 1 当 a0 时，原不等式化为x20 其解集为x|x 2； a2(x2)0当 时 ， 由 于 ， 原 不 等 式 化 为 ， 其 解集 为 aax|a ；3 0a12(x2)0当 时 ， 因 ， 原 不 等 式 化 为 ， 其 解集 为 ax| 或 ；a4 当 a1 时，原不等式化为(x2) 20 ，其解集是x|x2；5 2(x2)0当 时 ， 由 于 ， 原 不 等 式 化 为 ， 其 解集 是 aax| 或 a从而可以写出不等式的解集为：a0 时，x|x2；x|a 时 ， ；70a1x|2 时 ， 或 ；aa1 时，x|x2；x|2 时 ， 或 a说明：讨论时分类要合理，
7、不添不漏例 11 若不等式 ax2bxc0 的解集为x| x(0 )，求cx2bx a 0 的解集分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知 a0，根据韦达定理知： ， bac即 ， bac()0a 0， b0，c0又 ， 由 ， bcaac(1)18对 化 为 ，cxba0x022bca由 得 ， 是 两 个 根 且 ，1102 即 的 解 集 为 或 x0cxba0x| 22bca 1解法二 cx 2bxa0 是 ax2bxa 0 的倒数方程且 ax2 b
8、xc 0 解为 x， 的 解 集 为 或 xba|x 1说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维例 解 关 于 的 不 等 式 ： 12 x1a(R)x分析 将一边化为零后，对参数进行讨论解 原 不 等 式 变 为 ， 即 ， (1a)00xxa1进一步化为(ax1a)(x 1)0 (1)当 a0 时，不等式化为(x)(11x|a11 ， 易 见 ， 所 以 不 等 式 解 集 为 ； a(2)a0 时，不等式化为 x 10，即 x1，所以不等式解集为x|x1；(3)a()()01x|1 时 ， 不 等 式 化 为 ， 易 见 ， 所 以不 等 式 解 集 为 或 aa9综上所述，原不等式解集为
9、：当 时 ， ； 当 时 ， ； 当 时 ， 或 a0x|a1a0x|1a0x|1例 13 (2001 年全国高考题)不等式|x 23x|4 的解集是_分析 可转化为(1)x 23x 4 或(2)x 23x 4 两个一元二次不等式由 可 解 得 或 ， (1)x1()答 填x|x 1 或 x4例 14 (1998 年上海高考题)设全集 UR，A x|x 25x60，Bx|x 5| a(a 是常数 )，且 11B，则 A( UA)BRBA ( UB)RC ( UA)( UB)RDABR分析 由 x25x60 得 x1 或 x6 ，即Ax|x1 或 x6由|x 5|a 得 5ax5a，即Bx|5a
10、 x5 a11B， |115|a 得 a65a1， 5a11 ABR 答 选 D10说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设 ，（1 ） 上恒成立 ；)0()(2acbxxf Rxf在0)( 0且a（2 ） 上恒成立 。R在0且类型 2：设 )()(2f（1 ）当 时， 上恒成立a,xf在，0)(20)(2fabfb或或上恒成立,0xf在 )(f（2 ）当 时， 上恒成立a,0)(xf
11、在 0)(f11上恒成立,0)(xf在 0)(20)(2fabfab或或类型 3： min)()( xfIxxf恒 成 立对 一 切。a恒 成 立对 一 切类型 4：)( )()()()( maxinIx gxfxgxfIxgf 的 图 象 的 上 方 或的 图 象 在恒 成 立对 一 切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数 有：,)(nmxbkf 0)(0)(,)(0)( nfmfnfxf 恒 成 立恒 成 立例 1：若不等式 对满足 的所有 都成立，求 x 的范围。122x2
12、解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为：，；令 ，则 时，0)1()(2xm)1()()2xf 2m恒成立，所以只需 即 ，所以 x 的范围是0f 0(f022。)23,7(x二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数 有：),0()(2 Rxacbxaxf （1 ） 上恒成立 ；Rxf在0)( 且12（2 ） 上恒成立Rxf在0)( 0且a例 2：若不等式 的解集是 R，求 m 的范围。2)1()2xm解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1 ）当 m-1=0 时，元不等式化为 20
13、恒成立，满足题意；（2 ） 时，只需 ，所以， 。00)1(8)(12m)9,1m三、利用函数的最值（或值域）（1 ） 对任意 x 都成立 ；mxf)( xfmin)(（2 ） 对任意 x 都成立 。简单计作：“大的大于最大的，小的小ax于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在 ABC 中，已知 恒成立， 2|)(|,2cos)4(sin)(2 mBfBBf 且求实数 m 的范围。解析：由，1,0(sin,0,1sin2co)24(sin)( BBBBf ， 恒成立， ，即 恒成立，3,1|mf2)(mf2)f(m例 4：（ 1）求使不等式 恒成立的实数 a 的范
14、围。,0cosinxa解析：由于函 ，显然函数有最大值43,),4i(2si x， 。2a如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：13（2 ）求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。)2,0(4,cosinxa解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 的最大值取不到 ，即 a 取 也满足条件，所以 。xysi 2所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 5：已知
15、，求实数 a 的取恒 成 立有时当 21)(,)1(,)(,102 xfxaxfa值范围。解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图xxf 2)(2， 得象，如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由 得到 a 分122)(1a及别等于 2 和 0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在xxy)1(及 x区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间)1,(x2,2xy对应图象的上面即可。当 才能保证，而2,a只 有时才可以，所以 。0aa时 ， 只 有 ,1()由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等
16、处）开始形成的。例 6：若当 P(m,n)为圆 上任意一点时，不等式 恒成立，则 c1)(22yx 0cnm的取值范围是（ ）A、 B、 121ccC、 D、 12c14解析：由 ，可以看作是点 P(m,n)在直线 的右侧，而点 P(m,n)在0cnm0cyx圆 上，实质相当于是 在直线的右侧并与它相离或相切。1)(22yx 1)(22yx，故选 D。|0|2其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题：1、对任意
17、实数 x，不等式 恒成立的充要条件是),(0cossinRcbaxba_。 2bac2、设 上有意义，求实数 a 的取值范围. 。1,(7932lg在ayxx ),953、当 恒成立，则实数 a 的范围是_ 。1|),1(xLogxa时 ， ),31,0(154、已知不等式： 对一切大于 1 的自然数32)1(21.21aLognnn 恒成立，求实数 a 的范围。 )5,(16含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与
18、方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有),0()(2Rxacbxxf 1） 对 恒成立 ; f 0a2） 对 恒成立 0)(xfR.例 1已知函数 的定义域为 R，求实数 的取值范围。)1(lg22axy a解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有0)(2xx解得 。04)(2a3或所以实数 的取值范围为 。),1(),(若二次不等式中 的取值范围有限制，则可利用
19、根的分布解决问题。x例 2设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。2)(2mf ),1xmxf)(解：设 ，则当 时， 恒成立xxF)(2 ),0)(F当 时， 显然成立；120)14即 (xO xyx-117当 时，如图， 恒成立的充要条件为：00)(xF解得 。12)(mF23综上可得实数 的取值范围为 。)1,二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1） 恒成立axf)( min)(xf2） 恒成立a例 3已知 ，当 时， 恒xxgxxf 402)(,287)( 23 3,)(xgf成立，求实数 的取值范围。a解：设 ，cfF1)()( 23则由
20、题可知 对任意 恒成立0x,x令 ，得126)(2 x或而 ,)(,71aFa ,9)3(,45)3(aF 045)(mx 即实数 的取值范围为 。),例 4函数 ，若对任意 ， 恒成立，求实数,12)(xaxf ),1x0(xf的取值范围。a解：若对任意 ， 恒成立，),10(f18即对 ， 恒成立，),1x02(xaf考虑到不等式的分母 ，只需 在 时恒成立而得),2 ),1x而抛物线 在 的最小值 得axg2)( ),103(minag3注：本题还可将 变形为 ，讨论其单调性从而求出 最小值。f 2(xaf )(xf三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，
21、从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） 恒成立为 参 数 ）agxf)(max)(fg2） 恒成立为 参 数 ）实际上，上题就可利用此法解决。略解： 在 时恒成立，只要 在 时恒成02ax),1x xa2),1立。而易求得二次函数 在 上的最大值为 ，所以 。 h2)(, 33a例 5已知函数 时 恒成立，求实数 的取值范围。40(4f 0)(xf解： 将问题转化为 对 恒成立。xa2,令 ，则xg24)(min)(g由 可知 在 上为减函数，故1)(2x)(x4,00)4()(mingx 即 的取值范围为 。0a
22、,(注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。19四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 6对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。1,a 024)(2axax分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为x一次不等式 在 上恒成立的问题。04)2(x1,解：令 ，则原问题转化为 恒成立（ ）。2af 0)(af 1,a当 时，可得 ，不合题意。x)(f当 时，应有 解之得 。20)1(f 31x或故 的取值范围为 。x),3,注：一般地，一次函数 在 上恒有 的充
23、要条件为)0(kbxf ,0)(xf。0)(f四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1） 函数 图象恒在函数 图象上方；)(xgf )(xf )(xg2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。20例 7设 , ,若恒有 成立,求实数 的xxf4)(2axg134)( )(xgfa取值范围. 分析：在同一直角坐标系中作出 及 的图象 )(f如图所示， 的图象是半圆 )(xf )0(42yx的图象是平行的直线系 。)(xg 34ay要使 恒成立，)(xf则圆
24、心 到直线 的距离0,203y满足 258ad解得 （舍去)3a或由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法x-2-4yO-421恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、 分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 恒成立，只须求afx出 ，则 ；若 恒成立，只须求出 ，则 ，转maxfma
25、xffxminfminf化为函数求最值。例 1、已知函数 ，若对任意 恒有 ，试确定 的取值lg2fx2,0fxa范围。解：根据题意得： 在 上恒成立，1ax,即： 在 上恒成立，23a,设 ，则2fxx2394fx当 时， 所以maxf在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若 恒成立，只须求出 ，则 ，然后解不等fgmaxgmaxfg式求出参数 的取值范围；若 恒成立，只须求出 ，则 ，afaxinminf然后解不等式求出参数 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例 2、已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。,1x2140xxa解：令
26、 ， 所以原不等式可化为： ，t,0,t221t要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。0,2t 21tf0,22222114tftt1,2tmin34ftf23a3a二、 分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例 3、若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。2,x23xaa解：设 ，则问题转化为当 时， 的最小值非负。3fa2,xfx（1 ） 当 即： 时， 又 所以 不存24min730ffa734a在；（2 ） 当 即： 时， 又2a4a2min 024afxf62a4（3 ） 当 即： 时， 又2min7fx
27、fa747a综上所得： 2三、 确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量 看成是主元（未知数），而把另x一个变量 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为a主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例 4、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。21xm2mx23解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，21fmx2m0f解得：2100xf1732x四、 利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即： ，则 且 ，不等式的解即为实数,mnfagfamgn的取值范围。a例
28、5、当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。1,3xlo1ax解： lga（1 ） 当 时， ，则问题转化为 1x1,3,a31a（2 ） 当 时， ，则问题转化为01a1xa1,3,a3110a综上所得： 或3五、 数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例 6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。23log0ax1,3xa24解：由题意知： 在 内恒成立，23logax10,3x在同一坐标系内，分别作出函数 23yx和 logay观察两函数图象，当 时，10,3x 若函数
29、的图象显然在函1la 数图象的下方，所以不成立；23yx当 时，由图可知，0 logayx的图象必须过点 或在这个点的上方，则， 1,3 1log3a127127a综上得： 27a上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。含参数不等式恒成立问题的解题策略（专题探究）一、教学目标：理解含参不等式恒成立问题特征；能充分利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立问题；培养学生分析解决综合问题的能力。二、教学方法：启发、探究三、教学过程：通过含参数不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略，
30、培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。例题 1：已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。(1)2xm0,3xm25变式：已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。(1)2xm0,3x例题 2：已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。axRa变式 1：已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。20xa1,2xa26变式 2：已知不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。20xa1,2xa例题 3：当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。1,2x21logaxxa27练习 1：已知函数 在区间 上为减函数，求实数 的取值范21()ln()fxax1,a围
31、。练习 2：对于满足 的所有实数 ，求使不等式 恒成立的 的取值|2pp21xpx范围。28思考：1、若不等式 对满足 的所有 都成立，求实数 的取值范围。21()xm|2mx2、设 ，若满足不等式 的一切实数 ，能使不等式 恒成立，求504a|xabx21|xa正实数 的取值范围。b29常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。1 变量转换策略例 1 已知对于任意的 a -1,1，函
32、数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求 x 的取值范围.解析 本题按常规思路是分 a=0 时 f(x)是一次函数， a0时是二次函数两种情况讨论，不容易求 x 的取值范围。因此，我们不能总是把 x 看成是变量，把 a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把 a 看成变量， x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令 g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a-1,1 时， g(a)0 恒成立，则 ，得0)1(g.1313点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。2 零
33、点分布策略例 2 已知 ，若 恒成立，求 a 的取值范围.axf3)(2 0)(,2xfx30解析 本题可以考虑 f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即 0或 或 ，即 a 的取值范围为-7 ，2.0)2(0fa0)2(0fa点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况, 要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了.3 函数最值策略例 3 已知 ，若 恒成立，求 a 的取值范围.axf3)(2 2)(,xfx解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题, 只要对于任意 .若2)(,2minxfx恒成立2)(,xfx2)(,2minf37)2()(minafxfa或 或 ，即 a 的取值范围为 .243)2()(2minafxfa27)()(minfxfa 2,5点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用 恒成立 ； 恒成立 .本题也xf)(xfmin)(xf)( mxfa)(可以用零点分布策略求解.4 变量分离策略
