1、基本不等式1若 xy0，则对 说法正确的是 ( )xy yxA有最大值2 B有最小值 2C无最大值和最小值 D无法确定答案：B2设 x，y 满足 xy40 且 x，y 都是正整数，则 xy 的最大值是( )A400 B100C40 D20答案：A3已知 x2，则当 x_时，x 有最小值_4x答案：2 44已知 f(x) 4x.12x(1)当 x0 时，求 f(x)的最小值；(2)当 x0 时，求 f(x)的最大值解：(1)x0， ，4x0.12x 4 x2 8 .12x 12x4x 3当且仅当 4x，即 x 时取最小值 8 ，12x 3 3当 x0 时，f(x)的最小值为 8 .3(2)x0，
2、x 0.则f(x ) ( 4x)2 8 ，12 x 12 x 4x 3当且仅当 4x 时，即 x 时取等号 新 课 标 第 一 网12 x 3当 x0 时，f(x)的最大值为 8 .3一、选择题1下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )Ax Bx 2112x 1x2 1C2 x2 x Dx(1x)答案：C2函数 y3x 2 的最小值是 ( )6x2 1A3 3 B32C6 D6 32 2解析：选 D.y3(x 2 )3(x 21 1) 3(2 1)6 3.2x2 1 2x2 1 2 23已知 m、nR，mn100，则 m2n 2 的最小值是( )A200 B100C50 D20解析：选
3、A.m2n 22mn200，当且 仅当 mn 时等号成立4给出下面四个推导过程：a，b(0，)， 2 2；x，y (0，)，lgxlgy2ba ab baab；lgxlgyaR，a0， a 2 4； w w w .x k b 1.c o m4a 4aax，yR， ，xy0， ( )( )2 2.xy yx xy yx xy yx其中正确的推导过程为( )A BC D解析：选 D.从基本不等式成立的条件考 虑a，b(0，)， ， (0， )，符合基本不等式的条件，故的推导过程正确；baab虽然 x，y(0，) ，但当 x(0,1)时，lg x 是负数，y (0,1)时，lgy 是负数，的推导过程
4、是错误的；aR，不符合基本不等式的条件， a 2 4 是错误的；4a 4aa由 xy0 得 ， 均为负数，但在推导过程中将全体 提出负号后，( )均变为正数，xy yx xy yx xy符合基本不等式的条件，故正确5已知 a0，b0，则 2 的最小值是( )1a 1b abA2 B2 2C4 D5解析：选 C. 2 2 2 4.当且仅当Error!时，等号成立，即1a 1b ab 2ab ab 22ab1 时，不等式取得最小 值 4.6已知 x、y 均为正数，xy8x2y，则 xy 有( )A最大值 64 B最大值164C最小值 64 D最小值164解析：选 C.x、y 均为正数，xy8x2y
5、2 8 ，8x2y xy当且仅当 8x2y 时等号成立xy64.二、填空题7函数 yx (x0)的最小值为_1x 1答案：18若 x0，y0，且 x4y1，则 xy 有最_值，其值为_解析：1x4y 2 4 ，xy .x4y xy116答案：大 1169已知 x，yR ，且满足 1，则 xy 的最大值为_x3 y4解析：x0，y0 且 1 2 ，xy3.x3 y4 xy12当且仅当 时取等号答案： 3x3 y4三、解答题10(1)设 x1，求函数 yx 6 的最小值；4x 1(2)求函数 y (x1)的最值x2 8x 1解：(1)x1， x10.yx 6x1 5 w w w .x k b 1.
6、c o m4x 1 4x 12 59，x 1 4x 1当且仅当 x1 ，即 x1 时，取等号4x 1x1 时，函数的最小值是 9.(2)y (x 1)x2 8x 1 x2 1 9x 1 9x 1(x1) 2.x1， x10.9x 1(x 1) 22 28.9x 1 x 1 9x 1当且仅当 x1 ，即 x4 时等号成立，9x 1y 有最小值 8.11已知 a，b，c (0 ，)，且 abc1，求证：( 1)( 1)( 1) 8.1a 1b 1c证明：a，b，c(0，)，abc1， 1 ，1a 1 aa b ca ba ca 2bca同理 1 ， 1 ，1b 2acb 1c 2abc以上三个不等
7、式两边分别相乘得( 1)( 1)( 1)8.1a 1b 1c当且仅当 abc 时取等号12某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁建造单价为每米 100 元，池底建造单价每平方米 60 元( 池壁忽略不计) 问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低解：设污水处理池的长为 x 米，则宽为 米200x总造价 f(x)400(2x2 )100 60200200x 200x800(x )12000225x1600 12000x225x36000(元)当且仅当 x (x0)，225x即 x15 时等号成立
