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1、1椭圆的标准方程知识点复习知识点一：椭圆的定义1.平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数P1F2,这个动点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦)2(211aFPP点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；)(2121FP21F若 ，则动点 的轨迹无图形.P2.椭圆标准方程 的推导（1）取过焦点 、 的直线方程为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，1F2x1F2y建立直角坐标系设 M（ ， ）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 2c，则 、 的坐标分xy 12别是（-c，0）、（c，0）。椭圆就是集合 P=aMF21因为 = ， = ,1F2)(ycx2MF2)(y

2、cx所以 + =22)(a移项，得 =2 - ，2)(ycx2)(ycx两边平方，得， 222 )()(4ycx整理，得， = -cxa2)(ycxa两边再平方，得， =2224xca整理，得， )()(22yxc由椭圆定义可知，2 2c,即 c,所以 0a2c设 = （b0）,得 （ b0）2cab2b2bayx两边同时除以 ，得 ，此方程为椭圆的标准方程212a)0(2其焦点在 轴上，焦点坐标 （-c,0）、 (c,0), 、b、c 满足关系式x1F2a22cba（2）以同样的方法推导焦点在 轴上，标准方程：y，其焦点 （0，-c）、 (0，c,)1bxay)0(1F2F知识点二：椭圆的标

3、准方程1当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中x 12byax)0(a22bac2当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中y 12bxay)0(；2bac注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；3.注意的问题（1）方程 均不为零，且 A0,B0),只要求出 A,B 的值即BAyx,(12可。（2）椭圆的焦点总在长轴上，因此可以通过标准方程判断焦点的位置，其方法是：看 ， 的分母大小，哪个大就在哪个坐标轴上。2xy知识点三：求椭圆标准方程的常用方法1. 待定系数法由题目的条件能确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数，这种方

4、法叫做待定系数法，其主要步骤可归纳为“先定型，再定量”。例题：已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-3,0），（3,0），椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 8，求它的标准方程解：设椭圆的标准方程为 。由已知得，2 =8， =4，12byax)0(aa3又 c=3，故 722cab因此，所求的椭圆的标准方程为 1762yx2. 定义法先分析题设条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程，这种方法叫做定义法。例题：已知 B、C 是两个定点，BC=6，且ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程。解：如图所示，建立坐标系，使 轴经过点 B,C，原点 O 与 BC 的中点重合。x由已

5、知AB+AC+BC=16，BC=6，有AB+AC=10，即点A 的轨迹是椭圆，且 2c=6,2 =16-6=10.ac=3， =5，a163522bxO CBA但当点 A 在直线 BC 上，即 y=0 时，A、B、C 三点共线不能构成一个三角形，点 A 的轨迹方程式 )0(1625yx知识点四：例题解析1. 应用椭圆的定义解题例 1：椭圆 的焦点为 和 ，点 P 在椭圆上，如果线段 P 的中点132yx1F2 1F在 y 轴上，那么P 是P 的（ ）12A7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍解析：不妨设 （-3,0）、 （3,0），由条件知 P（3， ），即1F2 2y4P = ，由椭圆

6、的定义知2F3P +P =2 =4 ，P = ，P = ，即P =7P12a31F2372F31F.故选 A。2F例 2 ABC 中，BC=24，AC、BC 边上的中线长之和等于 39，求ABC 的重心的轨迹方程。分析：由一定长线段 BC，两边上的中线长也均与定点 B、C 和ABC 的重心有关系，因此考虑以 BC 的中点为原点建立坐标系。解：如图所示，以线段 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系。设 M 是ABC 的重心，BD 是 AC 边上的中线，CE 是 AB 边上的中线，由重心的性质知BM= BD，CM= CE。3232于是BM+CM= （BD+CE）=

7、 39=26. xXyXABXCXOXDXEXMX根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹方程是以 B、C 为焦点的椭圆2 =BM+CM=26 =13aa又 2c=BC=24, c=12 251322cb由于 M 是ABC 的重心，所有 M 不能跟 B、C 三点共线，故 y0故所求的椭圆的标准方程为 )0(25169yx2.用待定系数法求椭圆的标准方程例 3 求合适下列条件的椭圆的标准方程（1） 两个焦点的坐标分别是（-4,0）、（4,0），椭圆上任意一点 P 到两焦点距离的和等于 10；（2） 两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0,2），并且椭圆经过点（ ，235）。25分析：根据椭圆的焦点位置，

8、再设出椭圆的标准方程，从而确定 a，b 的值。解：（1）椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 12bya)0(ac=4， 2 =10 =9c所求的椭圆的方程为 1925yx（2）椭圆的焦点在 y 轴上设它的标准方程为 2bxa)0(2 = 即 =a 12)5()3)25()3 a10又 c=2， =62cb所求椭圆的方程为 1602xy例 4 求经过点（2，-3）且与椭圆 由共同焦点的椭圆方程。36492y分析：椭圆 的焦点为（0， ），因此可设所求椭圆的方36492yx5程为 ，由题意确定 即可。)(152解：椭圆 的焦点为（0， ），则36492yx5可设所求椭圆的方程为 )0(12y

9、x把 x=2，y=-3 代入，得 ，解得 =10 或 =-2（舍去）594所求椭圆的方程为 102yx6总结：一般地，与椭圆 共同焦点的椭圆可设其方程为12byax)0(a)(122kbykax3. 求轨迹方程例 5 在ABC 中， A， B, C 所对的边分别为 ，b，c，且 B（-a1,0）、C(1,0),求满足 b c，且 b， ，c 成等差数列是顶点 Aa的轨迹。解：b， ，c 成等差数列 b+c=2 =2 =4a2即AB+AC=4BC=2由椭圆的定义知，动点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点，以 4 为长轴长的椭圆。又椭圆中 2 =4,2c=2， =2，b=a3A 点的轨迹方程是 13

10、42yx又ACAB A 点的轨迹是椭圆的左半部分，还必须除去（0，）、（-2,0）两点3例 6 在 RtABC 中， CAB=90，AB=2，AC= ，曲线 E 过 C 点，动点 P2在 E 上运动，且保持PA+PB的值不变，求曲线 E 的方程。xyBACO分析：要求曲线 E 的方程，需建立适当的坐标系，注意到条件PA+PB是定值，由椭圆的定义知，曲线 E 的方程为椭圆。解：建立如图的坐标系，在 RtABC 中，BC= =2ABC3PA+PB=CA+CB= 23且PA+PBAB7由椭圆定义知，动点 P 的轨迹 E 为椭圆， = ，c=1，b=1a2所求曲线 E 的方程是 12yx例 7 已知点

11、 M 在椭圆 上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为9362xP，并且 M 为线段 PP的中点，求 P 点的轨迹方程。分析：因点 P 与点 M 的坐标间存在一定关系，故可用相关点法求轨迹方程。解：设 P 点坐标为（x，y），M 点的坐标为（ ， ），由题意可知 P点的0xy坐标为（x，0）点 M 在椭圆 上，19362193620yxM 是线段 P P的中点 =x 0=y2把 =x， = 代入 得0x0y2193602x36xP 点的轨迹方程为 2y例 8 如图所示，线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，AB=5，点 M 是 AB 上一点，且AM=2，点 M 随线段

12、AB 的运动而变化，求点 M 的轨迹方程。解：设 A（ ，0），B（0， ），M（x，y），x0依题意得AB=5 即 252又AM=2，AM：MB=2:3点 M 内分有向线段 AB，且 33210xx508 3210yy250将 ， 代入并整理，得x50y0 1492x点 M 的轨迹方程为 1492x4. 焦点三角形问题例 9 如图所示，点 P 是椭圆 上的一点， 和 是焦点，且1452yx1F2P =30，求 P 的面积1F21F2解：在椭圆 中， = ，b=2 c= =1 45yxa5 2baXO1F2又点 P 在椭圆上，P +P =2 =2 1F2a5由余弦定理知P +P -2P P c

13、os30= =（2c） =4 1F22121F22式两边平方得，P +P +2P P =20 -得，（2+ ）P P =16， P P =16（2- ）31F2123S = P P sin30=8-421PF 1235. 数形结合例 10 已知动圆 M 过定点 A（-3,0），并且在定圆 B：（x-3） +y =64 的内部2与其相内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。解：如图所示，设动圆 M 和定圆 B 内切与 C，动圆圆心 M 到两定点 A（-3,0）、Y9B（3,0） 的距离之和恰好又等于定圆的半径，即MA+MB=MC+MD= BC=8xyBA OC M动圆圆心 M 的轨迹是以 A、B 为焦

14、点的椭圆，并且 2 =8，2c=6，b=a7椭圆的方程是 1762yx6. 求定值问题例 11 如图，点 M 为椭圆上一点，椭圆两焦点为 、 ，且 2 =10,2c=6，点1FaI 为M 的内心，延长 MI 交 于，求 的值。1F2 1FINMxyO 2F1NM解：I 为M 的内心， I 平分角 M121F1F2 同理,1NFMINI2 =I2135ca7. 最值问题例 12 已知 A（4,0），B（2,2）是椭圆 内的两个点，M 是椭圆上的1925yx10动点，求MA+MB的最大值和最小值。分析：A 是椭圆的右焦点，利用椭圆的定义可把到两定点距离之和转化为距离之差，利用三角形两边之差的绝对值

15、小于第三边求解。xyMAF OB解：如图所示，由 ，得 =5，b=3，c=41925yxa点 A（4,0）为椭圆的一个焦点，另一个焦点为 F（-4,0）MA+MF=10MA+MB=10-MF+MB在BMF 中，两边之差的绝对值小于第三边，且BF=2 10-2 =-BFMB-MFBF=21010-2 MA+MB10+2 ，当 F、B、M 三点共线时等号成立10MA+MB的最大值为 10+2 ，最小值为 10-2 。1011椭圆的简单几何性质知识点一：椭圆的范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标为（x，y）都适合不等式，222,1, byaxba即 byax,知识点二：椭圆的对称性1. 判断曲线关于

16、x 轴、y 轴、原点对称的依据若把方程中的 x 换成-x，方程不变，则曲线关于 y 轴对称若把方程中的 y 换成-y，方程不变，则曲线关于 x 轴对称若把方程中的 x，y 换成-x、-y，方程不变，则曲线关于原点对称2. 椭圆关于 x 轴、y 轴对称也关于原点对称对于椭圆标准方程，把 x 换成-x，或 y 换成-y，或把 x、y 换成-x、-y 方程都不变，所以图形关于 y 轴、x 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。知识点三：椭圆 的顶点12byax)0(a12 椭圆 与坐标轴的交点12byax)0(a令 x=0，得 y=b；令 y=0，得 x=a这说明 A （-

17、a，0）， A （a，0）是椭圆与 x 轴的两个交点，B （0，-b），12 1B （0，b）是椭圆与 y 轴的两个交点。因为 x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以，2椭圆和它的对称轴由四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。 椭圆的长轴、短轴线段 A A 叫做椭圆的长轴，它的长为 2a，a 叫做椭圆的长半轴的长12线段 B B 叫做椭圆的短轴，它的长为 2b，b 叫做椭圆短半轴的长。知识点四：椭圆： 的离心率12yax)0(a椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 表示，记作e。ace2因为 ，所以 的取值范围是 。 越接近 1，则 就越)0(e)10(ec接近 ，从而 越小，因此椭圆越扁；

18、反之， 越接近于 0， 就越接2cb近 0，从而 越接近于 ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 时， ，a ba这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 。yx2注意：椭圆 的图像中线段的几何特征（如12byax下图）：（1） ；)2(1aPF； ；eMPF21 )221cM（2） ；)(21aB； ；)(21cOF221bA13（3） ；caFA21； ；FA21 cP1知识点五：椭圆： 的焦半径公式2byax)0(a焦半径 ，01exPF02exaPF知识点六：椭圆： 的准线2byax)(a准线的方程：x= c知识点七：椭圆的第二定义平面内一动点 P 到一定点的距离与到定直线的距离等于一个常数

19、e（e1 ） ，这动点 P 的轨迹方程为椭圆。集合表示：P=P eMF知识点八：例题讲解1. 椭圆的几何性质的简单应用例 1：已知椭圆 的离心率 e= ，求 m 的值及)0()3(22myx23椭圆的长轴和短轴的长、焦点的坐标、顶点坐标。解：椭圆方程可化为 132myxm- = 0 3m)2(14m 即 =m，b = ，c=32a23m3)2(2mba由 e= 得， = ， e=1椭圆的标准方程为 a=1，b= ，c= 。142yx213椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1，两焦点坐标分别为 （- ，0） ，1F23（ ，0） ；2F3四个顶点分别为 A （-1,0） 、A （1,0） ，B （0

20、，- ） 、B （0， ）121221例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1） 经过点 P（-3,0 ） ，Q（0,-2） ；（2） 长轴长为 20，离心率等于 53解：（1）由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所有 P、Q 分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，于是有 a=3， b=2。又长轴在 x 轴上，所以所求的椭圆的标准方程为 1492yx（2）由已知 2a=20， e= = a=10 ，c=6，b=8ac53由于椭圆的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，所求的椭圆的标准方程为 10641022yyx或2. 求椭圆的离心率15例 3 椭圆 的左

21、焦点为 （-c，0） ，A（-a，0） 、12byax)0(a1FB（ 0， b）是两个顶点，如果 到直线 AB 的距离为 ，则椭圆的离1F7b心率 e=解析：要求 e 的值，就是要求出 a，c 的值或者 a 与 c 的关系，为此需利用 到直线 AB 的距离为 建立方程，从而求解。1F7bxyOBA PF1如图所示，过点 作 PAB，交 AB 与1FP， = ，A =a-c，AB2baP = ，由A B 面积公式得 . =（a-c）.b1F71 2ba7又 整理，得22cab 054822c8 即05)(1412ee= （舍去）2e或3. 直线与椭圆例 4 已知椭圆 及直线 y=x+m142y

22、x（1） 当直线和椭圆由公共点时，求实数 m 的取值范围。16（2） 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。解：（1）由 与 y=x+m 联立得：142yx 01252mx因为直线与椭圆有公共点，所以= ，解得)(042m25m（2）设直线与椭圆交于 A（ 、B ）)1,yx2,(yx由（1）得， 0522mx由根与系数的关系知， ，521)1(5221mx所以 d= 221221 4)()()( xyx = 22 80554mm所以当 m=0 是，d 最大，此时直线的方程为 y=x。4.椭圆典型例题应用【例 1】 若点 M 到两定点 F1（0，-1） ，F 2（0，1）的距离之和为 2，则点

23、M的轨迹是 （ ）.椭圆 .直线 .线段 .线段 的AB21C21D21F中垂线.【例 2】已知圆 ，圆 内一定点 （3，0） ，圆 过点 且03:2yxABPB与圆 内切，求圆心 的轨迹方程. P【例 3】已知椭圆 ，能否在此椭圆位于 y 轴左侧部分上找一点 P，使1342它到左准线的距离是它到两焦点 F1，F 2 距离的比例中项 .【例 4】点 P（x，y）在椭圆 上，则 的最大值为 （ 4)(2yxx）A.1 B.-1 C. D. 31732【例 5】求证：过椭圆 上一点 的切线方程为： .21xyab0,Mxy021xyab【例 6】已知椭圆 和圆 总有公共点，则实数 的取值422a1

24、范围是 （ ）,.3,.2,ARBCD【例 8】在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点，离xOy),0(1F)3,0(心率为 的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，23C 在点 P 处的切线与 x,y 轴的交点分别为 A,B 且向量 OM=OA+OB.试求点 M 的轨迹方程【例 9】若 P 是椭圆 上的点，F 1 和 F2 是焦点，则 的342yx 21PFk最大值和最小值分别是 【例 10】如图 1，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0） ，右准线 l 的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点 ，使321,P， 证明 为定

25、值，并求此131FPFP |1| 32FF定值.若 A 为椭圆内一定点（异于焦点），P 是 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点，e 是 C 的离心率，求 的最小值。XYOFP1P2 P3l图 118例 1. 已知椭圆 内有一点 A（2，1），F 是椭圆 C 的左焦点，P 为椭圆 C 上的动点，求 的最小值。若 A 为椭圆 C 内一定点（异于焦点），P 为 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点，求 的最值。例 2. 已知椭圆 内有一点 A（2，1），F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求 的最大值与最小值。若 A 为椭圆 C 外一定点， 为 C 的一条准线，P 为 C 上的一个动点，

26、P 到 的距离为 d，求 的最小值。例 3. 已知椭圆 外一点 A（5，6）， 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点 P 到 的距离为 d，求 的最小值。椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例 4. 定长为 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上移动，求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最短距离。例 5. 椭圆 的焦点为 ，点 P 为其上的动点。当 为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围是_。例 6.已知 P 点在圆 上移动，Q 点在椭圆 上移动，求的最大值。例 7. 椭圆 中，过点 P（1，1）的弦 AB 恰被点 P 平分，求弦 AB 所在的直线方程。1 设 椭 圆 的 左 焦 点 为 （ ，

27、） ， 左 准 线 与 轴 交xaybFx2 111020l于 点 （ ， ） ， 过 点 且 倾 斜 角 为 的 直 线 交 椭 圆 于 、 两 点 。NNo33AB19（ ） 求 直 线 和 椭 圆 的 方 程 ；Il（ ） 求 证 ： 点 （ ， ） 在 以 线 段 为 直 径 的 圆 上 ；FAB120（ ） 在 直 线 上 有 两 个 不 重 合 的 动 点 、 ， 以 为 直 径 且 过 点 的 所 有CDF1圆中，求面积最小的圆的半径长。2 已知 、 是椭圆 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一12 )0(12bayx象限内的一点，点 B 也在椭圆上，且满足 为坐标原点） ，OB(

28、，若椭圆的离心率等于021FA.2（）求直线 AB 的方程； （）若 的面积等于 ，求椭圆的方2AF24程；（）在（）的条件下，椭圆上是否存在点 M 使得 的面积等于AB？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.383 已知椭圆 ，它的上下顶点分别是 A、B ，点 M 是椭圆上)0(12bayx的动点（不与 A、B 重合） ，直线 AM 交直线 y=2 于点 N，且 .（）求椭圆的方程；（）若斜率为 1 的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，求证： 与向量OQPa=（3，1）共线（其中 O 为坐标原点）.4 已知直线 相交于 A、B 两点，且)0(1:0: 2bayxCyxl与 椭 圆)

29、.32,(OBA（I）求椭圆 C 的离心率；（II）若椭圆 C 的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 上，求椭圆52yxC 的方程 .5 已知定点 A（2，0） ，动点 B 是圆 （F 为圆心）上一点，64)2(:xF线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P。（1）求动点 P 的轨迹方程；20（2）直线 交 P 点的轨迹于 M， N 两点，若 P 点的轨迹上存在点13xyC，使 求实数 m 的值；,OCNM6 已知椭圆 的右焦点为 F，短轴长 ，直线)0(12bayx 2轴相交于点 A，且 ，过点 A 的直线与椭圆相交于cal与2:|2|P、Q 两点。（）求椭圆的方程；（）若以 PQ 为直径的圆恰好经过原点，求直线 PQ 的方程。