1、昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,第3章 线性系统的时域分析,3.1 自动控制系统时域响应的基本概念3.2 自动控制系统的稳定性和代数稳定判据3.3 一阶系统的阶跃响应3.4 二阶系统的阶跃响应3.5 二阶系统的时域指标3.6 高阶系统3.7 误差分析,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,3.1自动控制系统时域响应的基本概念,1 典型输入信号,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,2 瞬态响应 指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程或过渡过程。 瞬态响应可以提供关于系统稳定性、响应速度及阻尼情况等信息。,3 稳态响应 指系统在典型输
2、入信号作用下，当时间t 趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态响应又称稳态过程。 稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。,3.1自动控制系统时域响应的基本概念,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,4 稳定性 若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定；反之，不稳定。 控制系统能在实际中应用，其首要条件是保证系统具有稳定性。不稳定的控制系统，当受到外界或其内部一些因素的扰动，如负载或电源的波动，系统的变化等，就会使系统的输出量越来越偏离其平衡状态，即使扰动因素消失，也不可能再恢复到原平衡状态。控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，与外
3、加信号无关。,3.1自动控制系统时域响应的基本概念,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,5 误差和稳态误差 控制系统在输入信号的作用下，其输出量中包含瞬态分量和稳态分量两个分量。对于稳定的系统，瞬态分量随时间的推移而逐渐消失，稳态分量则从输入信号加入的瞬时起就始终存在，其表现方式就是稳态响应。稳态响应反映了控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和精度。这种能力或精度称为系统的稳态性能。一个系统的稳态性能是以系统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价的。,3.1 自动控制系统时域响应的基本概念,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,第3章 线性系统的时域分析,3.1 自动控制系统时域
4、响应的基本概念3.2 自动控制系统的稳定性和代数稳定判据3.3 一阶系统的阶跃响应3.4 二阶系统的阶跃响应3.5 二阶系统的时域指标3.6 高阶系统3.7 误差分析,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,3.2 稳定性和代数稳定判据,1 稳定性定义（1）当系统受到有界输入作用时，输出也是有界的，称为有界输入有界输出稳定；（2）系统没有输入作用，仅在初始条件作用下输出能随时间趋于平衡状态，称为渐近稳定。,系统在有界输入作用下稳定的充分必要条件是系统传递函数分母多项式的根具有负实部。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,2 劳斯胡维茨(Routh -Hurwitz)判据,劳斯胡维茨判据
5、就是可以不用求系统特征根而可以判断系统特征根是否具有负实部的方法。,3.2 稳定性和代数稳定判据,（1）劳斯(Routh)判据,一般地，系统特征方程具有如下形式编写劳斯表如下 ：,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,劳斯表,3.2 稳定性和代数稳定判据,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-8,劳斯表介绍,劳斯表特点,2 每两行个数相等,1 右移一位降两阶,3 行列式第一列不动,4 次对角线减主对角线,5 分母总是
6、上一行第一个元素,6 一行可同乘以或同除以某正数,2+8/,3.2 稳定性和代数稳定判据,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,劳斯 (Routh)判据如下：,系统特征方程的根全部具有负实部（位于左半 s 平面即系统稳定）的充分必要条件，是该方程式的系数都是正的，且由该方程系数作出的劳斯表第一列元素全部为正数；否则，第一列元素符号改变的次数，等于特征方程正实部根（位于右半 s 平面）的个数。,3.2 稳定性和代数稳定判据,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,劳斯判据,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系
7、统不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,3.2 稳定性和代数稳定判据,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,设系统特征方程为：,S4：,S3：,S2：,S1：,S0：,1 2 1,2 4,0,1,？,用无穷小代替0,然后继续完成劳斯表,1,3.2 稳定性和代数稳定判据,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,劳斯表出现零行,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以
8、系统稳定?,由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,例：一单位负反馈系统，控制对象的传递函数为,控制器采用简单比例控制，增益为k，试确定使系统稳定的k值范围。 解：据题意可得系统的闭环传递函数为,所以系统的特征方程为,列出Routh表：,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,根据Routh判据，欲使系统稳定，则应有,所以使系统稳定的k值范围是 0k15,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,补充：相对稳定性和稳定裕量,应用代数稳定判据只能给出系统是稳定还是不稳定，即只解决了绝对稳定性的问题。在处理实际问题时，得到的参数值往往是近似的，并
9、且有的参数会随着条件的变化而变化，这样就给得到的结论带来了误差。因此，我们往往希望知道系统距离稳定边界有多少余量，这就是相对稳定性和稳定裕量的问题。,在s平面中，用特征根负实部的位置来表示相对稳定性较为方便。例如，要检查系统是否具有1的裕量，相当于把纵座标轴向左位移距离1 ，然后再判断系统是否稳定。即是说，以s=z- 1代入系统特征方程式，写出z的多项式，然后用代数判据判定z的多项式的根是否都在新的虚轴的左侧。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,例如，系统特征方程式为 s3+5s2+8s+6=0 其Routh表为,可以看出，第一列中各项符号没有改变，所以没有根在s平面的右侧，系统是稳定
10、的。,检查该系统是否有1=1的稳定裕量。将s=z-1代入原特征方程式，得 (z-1)3+5(z-1)2+8(z-1)+6=0新的特征方程为 z3+2z2+z+2=0 列出Routh表,由于零()上面的系数符号与零()下面的系数符号相同，表明没有在右半平面的根，但由于z1行的系数为零，故有一对虚根。这说明，原系统刚好有1=1的稳定裕量。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,3.2 稳定性和代数稳定判据,(2)胡维茨(Hurwitz)判据,根据系统的特征方程构造一个n阶Hurwitz行列式,则有Hurwitz稳定判据：系统稳定的充分必要条件是该n阶行列式的各阶主子行列式均为正。,昆明理工大学
11、信息工程与自动化学院自动化系,第3章 线性系统的时域分析,3.1 自动控制系统时域响应的基本概念3.2 自动控制系统的稳定性和代数稳定判据3.3 一阶系统的阶跃响应3.4 二阶系统的阶跃响应3.5 二阶系统的时域指标3.6 高阶系统3.7 误差分析,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,3.3 一阶系统的时间响应,1 一阶系统的数学模型,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,结构图和闭环极点分布图为：T是表征系统惯性大小的重要参数。,3.3 一阶系统的时间响应,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,2 一阶系统的单位阶跃响应,3.3 一阶系统的时间响应,昆明理工大学信息工程与自动化
12、学院自动化系,3.3 一阶系统的时间响应,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,一阶系统时域分析,单位脉冲响应,K(0)=T,单位阶跃响应,h(t)=1-e-t/T,h(0)=1/T,h(T)=0.632h(),h(3T)=0.95h(),h(2T)=0.865h(),h(4T)=0.982h(),单位斜坡响应,c(t)=t-T+Te-t/T,T,r(t)= (t) r(t)= 1(t) r(t)= t,k(0)=1/T2,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,第3章 线性系统的时域分析,3.1 自动控制系统时域响应的基本概念3.2 自动控制系统的稳定性和代数稳定判据3.3 一阶系统的
13、阶跃响应3.4 二阶系统的阶跃响应3.5 二阶系统的时域指标3.6 高阶系统3.7 误差分析,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,3.4 二阶系统分析,1 二阶系统的数学模型,二阶系统传递函数的标准形式式中，为系统的阻尼比 n为无阻尼振荡角频率，简称固有频率（也称自然振荡角频率）,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为1）当0 1时，特征方程具有两个不相等 的负实根，称为过阻尼状态。(如图c)4）当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。 (如图d) 下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括
14、零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,当=0时(无阻尼情况)：此时，s1,2=jn显然，这是一个频率等于n、振幅为1的等幅振荡。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,当01时(过阻尼情况)：此时，即s1=-p1,s2=-p2,且p1、 p2均大于零。显然，系统响应也单调地趋于稳态值1。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,3.4 二阶系统的阶跃响应,二阶系统单位阶跃响应定性分析,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振
15、荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,第3章 线性系统的时域分析,3.1 自动控制系统时域响应的基本概念3.2 自动控制系统的稳定性和代数稳定判据3.3 一阶系统的阶跃响应3.4 二阶系统的阶跃响应3.5 二阶系统的时域指标3.6 高阶系统3.7 误差分析,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,时域指标及其计算,为了评价一个二阶系统的阶跃响应特性，下面根据二阶系统当00,K0,闭环系统稳定。系统误差为,而,所以系统稳态误差为,若选取=1/K，则可以使系统的稳态误差为零。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,4 减小稳态误差的方
16、法,设如图所示系统中Gc(s)是控制器的传递函数,假设系统满足nm,系统的给定稳态误差为,当,时，则显然,当,时，则,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,从上分析可见，如果控制器中增加因子1/s，或者说在系统的开环传递函数中增加积分环节，可以消除系统的稳态误差。但如此会增加系统的型别，可能导致系统不稳定，所以首先要满足系统的稳定条件。为了进一步减小给定和扰动稳态误差，可以采用补偿的方法。所谓补偿是指作用于控制对象的控制信号中，除了偏差信号外，还引入与扰动或给定量有关的补偿信号，以提高系统的控制精度，减小误差。这种控制称为复合控制或前馈控制。,（1）按输入补偿的复合控制,此时系统的误差为,如果让前馈补偿控制器的传递函数等于,则系统的误差为零，称为完全补偿。此式也称为按给定作用的不变性条件。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,（2）按扰动补偿的复合控制此时，可得到扰动作用下系统的输出为,如果取,则,即扰动对系统输出没有影响。实现了按扰动作用的完全补偿。也称为按扰动的不变性条件。,实际上要实现完全补偿是困难的，但即使能做到部分补偿，也可以减小系统的误差。,昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系,The End,
