1、角平分线的判定,O,D,E,P,P到OA的距离,P到OB的距离,角平分线上的点,知识回顾,几何语言描述：, OC平分AOB，且PDOA， PEOB, PD= PE,A,C,B,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,角平分线的性质：,不必再证全等,如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？,议一议,到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,已知：如图， ， ，垂足分别是A、B，PD=PE ，求证：点P在 的角平分线上。,到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。,已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE，求证：点P在 的角平分线上。,证明：
2、,作射线OP, 点P在 角的平分线上,在 RtPDO 和RtPEO 中，,（ HL）,（全等三角形的对应角相等）,OP = OP （公共边）,PD = PE （ 已 知 ）,角平分线的判定,角平分线的判定的应用书写格式：,OP 是 的平分线,PD= PE,（到一个角的 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）,角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,PD = PE,用途：证线段相等,用途：判定一条射线是角平分线,练一练,填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,
3、DEAB ,DC=DE _ (_ _),1= 2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,例1.如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F， 且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。,已知：如图，BEAC于E， CFAB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分BAC 。,课堂练习,拓展与延伸,3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,3、已知PA=PB， 1+ 2=1800，求证：OP平分AOB,A,O,B,P,1,2,E,F,
4、E,D,F,M,N,例题2.如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在A的平分线上。,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知） PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边 AB、BC、CA的距离相等,随堂练习3,已知：如图，ABC的B的外角的平分线BD和C的外角平分线CE相交于点P。 求证：点P在BAC的平分线上。,D,E,练习： 8、如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油
5、站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？,3、 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等,在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上,练一练：,1、如图所示，BF与CE相交于D，BD=CD，BFAC于F，CEAB于E。求证：点D在BAC的角平分线上。,例、如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点，求证：点到三边B，BC，CA的距离相等。,证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F。 是ABC的角平分线， 点P在BM上 PD=PE 同理 PD=PE=PF 即点P到三边，CA的距离相等。,证明：三角形三条角平
6、分线相交于一点,4、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,G,H,P,2、如图：AD是ABC的角平分线，DEAB、DFAC，垂足分别为E、F连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？,课内拓展延伸,如图，ABC中，点O是BAC与ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E已知ABC的周长为15，BC的长为6，求ADE的周长.,小结:,1：画一个已知角的角平分线；,及画一条已知直线的垂线；,2：角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,3：角平分线的判定结论：,到角的两边的距离相等的点在角平分线上。,判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,用数学语言表示为：,性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,用数学语言表示为：,
