1、第三章 二维随机变量及其分布数学一：1（87，6 分） 设随机变量 X， Y 相互独立，其概率密度函数分别为其 他,01)(xxfX 0,)(yeyf求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数。2（91，6 分） 设二维随机变量（X ， Y）的概率密度为其 他,0,2),()(yxeyxfy求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数。3（92，6 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从正态分布 ，Y 服从-),(2N， 上均匀分布，试求 Z=X+Y 的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数 表示，其中 。)(21)(2dtexx4（94，3 分） 设相互独立的两个数随机变量 X 与 Y 具
2、有同一分布律，且 X 的分布律为 则随机变量 Z=maxX， Y的分布律为 。210pX5（95，3 分） 设 X 和 Y 为两个随机变量，且 740,730, PYXP则 。)max(6（98，3 分）设平面区域 D 由曲线 ，二维所 围 成及 直 线 2,11exyxy随机变量（X ， Y）在区域 D 上服从均匀分布，则（X ， Y）关于 X 的边缘概率密度在 x=2处的值为 。7（99，3 分） 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（0，1）和N（1，1） ，则（A） （B）210P 2P（C） （D ）YX 18（99，8 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，
3、下表列出了二维随机变量（ X，Y）联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。YX1y2y3yjipxP1x 812 81jjpyY619（02，3 分） 设 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密21X和度分别为 ，分布函数分别为 ，则)(21xf和 )(21xF和（A） 必为某一随机变量的概率密度；（B） 必为某一随机变量的概率密度；)(21xf（C） 必为某一随机变量的分布函数；F（D） 必为某一随机变量的分布函数。 )(21x10（03，4 分） 设二维随机变量（X ， Y）的概率密度为其 他01,6),(yxyf则 = 。1YX
4、P11（05，4 分） 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= .12（05，4 分） 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为YX 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则（A）a=0.2, b=0.3 （B） a=0.4, b=0.1（D）a=0.3, b=0.2 （D ）a=0.1, b=0.4 13（05，9 分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 其 他,0,20,1),( xyxyxf求：（I） （X，Y）的边缘概率密度 );(,fYX（II）Z=2X Y 的概率密度 ).(zfZ1
5、4（06，4 分）设随机变量 与 相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则= .max,1P15（06，9 分）随机变量 x 的概率密度为 为21,02,4xxf yFxy令其 他二维随机变量(X,Y)的分布函数.()求 Y 的概率密度 Yfy() 1,42F16（07,4 分）设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关，,XYXY分别表示 的概率密度，则在 的条件下， 的条件概率密度(),XYfxy, y为|(A) . (B) . ()Xfx()Yfy(C) . (D) . a Yfy()XYxf17 （07,4 分）在区间 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概0,1
6、12率为 34 .18 （07,11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY.2,01,(,)xyyfy其 他（I）求 ；PXY(II) 求 的概率密度.Z【解】 （I）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得.【详解】 （I） .1202 7dd24xxyxyy(II) 利用卷积公式可得(,)Zfzfz.2012d,0101()(),zxzz 其 他其 他【评注】 (II) 也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.19 （08,4 分）设随机变量 ,XY独立同分布且 X分布函数为 Fx,则max,ZXY分布函数为(A) 2F(B) Fxy(C) 21x (D) 120（08,11
7、 分）设随机变量 X与 Y相互独立, X的概率分布为,013PXi, 的概率密度为 0yfy其 它 ,记 ZXY,(1)求 2Z.(2)求 的概率密度.21（09,4 分）设随机变量 X与 Y相互独立,且 X服从标准正态分布 0,1N,Y的概率分布为 102PY,记 ZFz为随机变量 ZY的分布函数,则函数 ZFz的间断点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)322（09,11 分）袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与 3 个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以 ,XYZ分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求 0p.(2)求二维随机变量 ,概率分布.23（09,1
8、1 分）设二维随机变量 ()XY的概率密度为22(,)e,xyfyAxy求常数及 A条件概率密度 |().YXfyx24（12,4 分）25（13,11 分）设随机变量 X 的概率密度为 令随机变量21,03,()xfa其 他2,1,xY（1） 求 Y 的分布函数；（2） 求概率 .PX数学三：1（90，3 分） 设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为21mXP 21mYP则下列式子正确的是：（A） （B）Y 0X（C） （D ）21XP 1YP2（90，5 分） 一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时） ，已知 X 和 Y 的联合分布函数为：其
9、 他若,00,1),( )(55. yxeeyxFyxyx（1） 问 X 和 Y 是否独立？（2） 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。3（92，4 分） 设二维随机变量（X ， Y）的概率密度为其 他,0),(yxeyxfy（1） 求 X 的概率密度 ;fX求 。YP4（94，8 分） 设随机变量 相互独立且同分布，4321,。)(4.0)(,6.0)( iXXii求行列式 4321X的概率分布。5（95，8 分） 已知随机变量（X ， Y）的联合概率密度为其 他若,010,4),( yxxyf求（X，Y）的联合分布函数。6（97，3 分） 设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分
10、布，P（X=-1）=P（Y=-1）= ，P （X=1）= P（Y =1）= ，则下列各式成立的是221（A） （B）)( 1)(YXP（C） （D ） 40 47（98，3 分） 设 分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数。为使)(21xF与是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取)()()(21xbFax（A） （B）5, 3,ba（C） （D ）23 218（99，3 分） 设随机变量 ),(412410iXi且满足 等 于则 ,102121PXP（A）0 （B） （C） （D）1 429（01，8 分） 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形上的均匀分布。试求随机变量
11、32,1:,(yxyG。)(| upYXU的 概 率 密 度10（03，13 分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为7.03.21而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。11（05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= .12（05，4 分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为YX 0 10 0.4 a1 b 0.1若随机事件X =0与X+Y=1互相独立，则 a =_, b =_.13（05，13 分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 .,0,2,1),(其
12、 他 xyxyxf求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度 );(fYX（II）Z=2X-Y 的概率密度 );(zfZ（III ） .21YP14（06，4 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从区间 上的均匀分布,则03max,1_X15（11,11 分）设 在 上服从均匀分布， 由 ， 与(,)YGGxy2围成。0y求：()边缘密度 ；()Xfx() 。|Yfy16（12,4 分）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则（ ）+2他1（A） （B） （C） （D）428417（10,11 分）设二维随机变量 的概率密度为 ，()XY， 22()xyfx
13、yAe，, ,求常数 及条件概率密度xyAYX18（09,4 分）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概(0,1)NY率分布为 ，记 为随机变量 的分布函数，则函数102PY()zFZ的间断点个数为()ZFz(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.19（09,11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY0(,)xeyfy其 他（）求条件概率密度 ；YXfx（）求条件概率 .1P20（09,11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 、 、 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数 .XYZ（）求 ；10（）求二维随机变量
14、 的概率分布.(,)21（08,4 分）随机变量 独立同分布，且 分布函数为 ，则XYXFx分布函数为（ ）max,ZXY（A） . （B） .2Fxy（C） . （D） . 21x 1F22（08,11 分）设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为XYX， 的概率密度为 ，记,03PXi01yfy其 它 ZXY（）求 ；12ZX（）求 的概率密度 ()Zfz23（07,4 分）设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关，,YXY分别表示 X, Y 的概率密度，则在 条件下， 的条件概率密度(),xyf y为（）XY（A） (B) ()Xfx ()Yfy(C) (D) Yfy ()XYxf2
15、4（07,4 分）在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 的概率为12_.25（07,11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY2,01,.,xyyfy其 他（）求 ；2PXY（）求 的概率密度 。Z()Zfz数学四：1（90，6 分） 甲、乙两人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为 0.2，乙的命中率为 0.5，以 X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求（X ， Y）的联合概率分布。2（93，3 分） 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布， XN （，4 2） ，YN （ ，5 2） ，记 p1=PX-4， p2=PY+5，则（A） 对任何实数 ，都有 p1=p
16、2。（B） 对任何实数 ，都有 p1=p 2。（C） 只对 的个别值，才有 p1=p2。对任何实数 都有 p1=p 2。3（96，7 分） 设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 0的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间 T 的概率分布。4（97，3 分） 设随机变量服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量 Y 服从参数为（3，p）的二项分布，若 PX0= ，则 PY1= 。955（98，3 分） 设 分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数。为使 F(x)(21xF与=aF1(x)-bF2(x
17、)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A） （B）5,ba 3,ba（C） （D ）3216（99，9 分） 设二维随机变量（X ， Y）在矩形 G=(X,Y)0x2,0y1上服从均匀分布，试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f(s)。7（99，8 分） 已知随机变量 X1 和 X2 的概率分布 210,42021而且 P X1X2 =0=1。（1） 求 X1 和 X2 的联合分布：（2） 问 X1 和 X2 是否独立？为什么？8（02，3 分） 设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 ，分布函数分别为 。则)(21xf和
18、 )(21xF和（A） 必为某一随机变量的概率密度。 （B） 必为某一随机变量的分布函数。)(21xF（C） 必为某一随机变量的分布函数。（D） 必为某一随机变量的概率密度。)(21xf9（04，13 分） 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，在X)1,0(的条件下，随机变量 在区间 上服从均匀分布，求)0(xXY),0(x() 随机变量 和 的联合概率密度；Y() 的概率密度； () 概率 1P10（05，4 分） 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= .11（05，4 分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为YX 0 10 0
19、.4 a1 b 0.1若随机事件X =0与X+Y=1互相独立，则A、a=0.2, b=0.3 B、a=0.1, b=0.4C、a=0.3, b=0.2 D、a=0.4, b=0.1 12（05，13 分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 .,0,2,1),(其 他 xyxyxf求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度 );(fYX（II）Z=2X-Y 的概率密度 ;zfZ（III ） .21XYP13（06，4 分） 设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，Y1,3则max(,)1Py14（06，13 分） 设二维随机变量（ ）的概率分布为,XYYX -1 0 1-1 a0
20、0.20 0.1 b0.21 0 0.1 c其中 为常数，且 的数学期望 ， ，记,abcx.2EX0,.5PxyZXY求：（1） 的值,（2） 的概率分布Z（3） PX第三章数学一：1. 2)1(200)(ZeZfz2. 00)(ZFZ3. )()(21uu4. 431pZ5. 6. 7. (B)7518. YX 12Y3Yip12481124128343jp 612319. (D) 10. 411. 12. B 481313. ，其 他,012)(xXxdyf 其 他,021)(2/yY ydxf其 他,21)(zzfZ14. 1/915. 16. 其 他,0418,3)( yyFfYY
21、1数学三：1. (C) 2. 独立； 3. ; 1-210exe12e4. 013472.134.0pX5. 1,10,),(2yxyyxxF6. (A) 7. (A) 8. (A)9. 10. 其 他0221)(uuf ）（）（ 27.013.0ufuf11. 12. a=0.4, b=0.1 481313. ，其 他,012)(xXxdyf 其 他,021)(2/yY ydxf，其 他,21)(zzfZ 432XP14. 1/9 数学四：1. XY0 1 2 ip0 0.16 0.32 0.16 0.641 0.08 0.16 0.08 0.322 0.01 0.02 0.01 0.04jp0.25 0.5 0.25 12. (A) 3. 4. 5. (A)003)(tetftT27196. 20)ln2(1)( SSSf 或7. (1)1X2-1 0 1 ip0 410 4211 0 210jp 4121411(2) 不独立8. (B) 9. (1) (2) (3) xyxyf他他01,1),( yyfY他01,ln)( 2ln10. 11.D 481312. ，其 他,012)(xXxdyf 其 他,021)(2/yY ydxf，其 他,21)(zzfZ 432XP13. 1/9 14. ; 1.0,.,.0cba.0Z
