1、1 / 10到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！二次函数与直线、一元二次方程的关系一、二次函数与直线的关系（1）抛物线 与 轴的交点是 ；2yaxbcy0,c（2）抛物线 与 轴的交点，因为 轴上的点的纵坐标都为 0，2xx所以令 ，代入得 ，解这个一元二次方程得 ，所0y20axbc 24bac以抛物线与 轴的交点坐标是 和 ；x24,0ac24,0bac（3）一次函数 的图象与二次函数 的图象0ykxb2yxc的交点的个数，由方程组 的解的数目确定：2axc方程组有两组不同的解 两函数图象有两个交点；方程组只有一组解 两函数图象只有一个交点；方程组无解 两函数图象没有交点。例 1、已知：抛
2、物线的解析式为 。221yxmx（1）求证：此抛物线与 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线 的一个交点在 轴上，求 的值。34yxym2 / 10到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！变式 1-1、在直角坐标平面中， 为坐标原点，二次函数 的图象与 轴交于点O214yxky，与 轴的负半轴交于点 ，且 。AxB6ABS（1）求点 与点 的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点 在 轴上，且 是等腰三角形，求点 的坐标。PxABPP二、二次函数与一元二次方程的关系方程 的两个实数根为 ，与 轴的交点为 ，如下表：20axbc12x、 xAB、3 / 10到了初三还不努力，拿什么与
3、中考拼搏！判别式的情况 000抛物线与 轴2yaxbcx的交点有两个交点 有一个交点 无交点二次方程的实根20axbc有两个不相等的实根 1212,xABx、 有两个相等的实 根 12x无实根例 2、（2011 潍坊）已知一元二次方程 的两个实数根 满足 20axbca12x、和 ，那么二次函数 的图象有可能是（ ）。124x123x 20yaxbc变式 2-1、（2011 呼和浩特）已知一元二次方程 的一根为 ，在二次函数23x3的图象上有三点 ，则 的大小关系是 23yxb123451,6yy、 、 123y、 、。4 / 10到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！例 3、如图所示，抛物线
4、与 轴交于 两213yxmxAB、点，则 ，则 = 。:1OBA变式 3-1、设函数 的图象如图所示，它与 轴交2145yxkx于 两点，且线段 与 的长的比为 ，则 = 。AB、 OAB:k例 4、已知抛物线 。求：2143ykxk（1） 为何值时，抛物线与 轴相交于两点；k（2） 为何值时，抛物线与 轴的两个交点分别在原点的两侧？x5 / 10到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！变式 4-1、已知抛物线 。25yxm（1）求证：不论 为何实数，抛物线与 轴都有两个不同的交点？x（2）当 为何值时，抛物线与 轴的交点分别都在原点左侧？m（3）当 为何值时，抛物线与 轴的交点分别在 两侧？x1
5、,0例 5、已知二次函数 的图象经过点 ，对称轴是直线 ，在 轴上截得的2yaxbc2,32x线段长为 ，求这个二次函数的解析式。2106 / 10到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！变式 5-1、已知二次函数 的顶点为 ，且抛物线在 轴上截得的线段长为 4，求2yaxbc1,4x抛物线的解析式。变式 5-2、如图，二次函数的图象经过点 ，且顶点70,39D的横坐标为 4，该图象在 轴上截得的线段 的长为 6.CxAB（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点 ，使 最小，求出PD点 的坐标。P7 / 10到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！例 6、关于 的一元二次方程 。x2
6、1210mxx（1）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根；m（2）点 是抛物线 上的点，求抛物线的解析式；,1A2121yxx（3）在（2）的条件下，若点 与点 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点 的BA B直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。思考：1、函数 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的值和交点坐标。231yaxxa2、已知抛物线 （ 为常数，且 ）。2234yxk0k（1）证明：此抛物线与 轴总有两个交点；8 / 10到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！（2）设抛物线与 轴交于 两点，若这两点到原点的距离分别为 ，且xMN、 OMN、，求 的值。1
7、3ONMk二次函数与直线、一元二次方程的关系习题练习1、在二次函数 中，若 与 异号，则其图象与 轴的交点个数为 。2yaxbcacx2、不论 为何实数，抛物线 （ ）。m2yxm在 轴上方 与 轴只有一个交点 与 轴有两个交点 在 轴下方.Ax.B.Cx.Dx3、若抛物线 与 轴有两个交点，则 的取值范围是 。21ykxxk4、已知函数 的图象和 轴有交点，则 的取值范围是 。27ykxxk9 / 10到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！5、如果一个二次函数的图象经过点 ，与 轴交于 两点，点 的横坐标分别为6,10AxBC、 、，且 ，求这个二次函数的解析式。12x、 12126,5x6、
8、已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，试判断直线x2210mx能否经过点 ，并说明理由。2347ym,4A7、如图所示，已知抛物线 与 轴交于 两2:0PyaxbcxAB、点（点 在 轴的正半轴上），与 轴交于 点 ，矩形 的一条边 在AxCDEFGE线段 上，顶点 分别在线段 上，抛物线 上的部分点的横坐BFG、 BA、 P标对 应的纵坐标如下。 x 321 2 y 5450 10 / 10到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！（1）求 三点的坐标；ABC、 、（2）若点 的坐标为 ，矩形 的面积为 ，求 与 的函数关系式，并指出 的取值D,0mDEFGSmm范围；（3）当矩形 的面积 最大时，连接 并延长至点 ，使 ，若点 不在抛EFGSMFkDM物线 上，求 的取值范围；Pk（4）若点 的坐标为 ，求矩形 的面积。D1,0DEFG
