1、线性代数 同济六版,一元一次方程 ax = b,一元二次方程,二元 、三元线性方程组,行列式 矩阵及其运算 矩阵的初等变换与线性方程组 向量组的线性相关性 矩阵的特征值和特征向量,一元一次方程 ax = b,当 a0 时，,二元 （三元）线性方程组,例 解二元线性方程组,得,于是,类似地，可得,于是,第一章 行列式,1 二阶与三阶行列式,线性方程组,消去 x2 ,的两边后,两式相加得,消元法,记,称它为二阶行列式，,于是，线性方组（1）的解可以写为,定义为,类似地，可得,类似的，我们还可以定义三阶行列式为,n 阶排列共有 n!个.,排列的逆序数,2 全排列及其逆序数,把 1, 2, , n 排
2、成一列，称为一个 n 阶全排列.,奇排列 逆序数为奇数的排列.,在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有,例 1 排列 1 2 n 称为自然排列，,所以是偶排列.,一个逆序.,偶排列,一个排列中所有逆序的总数.,逆序数为偶数的排列.,它的逆序数为0 ，,三 阶排列,共有321=3!个.,例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为,t (),例 3 排列 n ( n 1 ) 3 2 1 的逆序数为,t ( n (n 1) 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + + ( n 1 ) =,排列 3 2 5 1 4 为奇排列., 5,三阶行列式定义为,3 n 阶行列式的定义,三阶行列
3、式是,3 != 6 项,的代数和.,123,231,312,132,213,321,t(123)=0,t(231)=2,t(312)=2,t(132)=1,t(213)=1,t(321)=3,三阶行列式可以写成,定义 由 n2 个数组成的数表，,称为 n 阶行列式 ,项的代数和，,即,规定为所有形如,记成,例 1 下三角行列式,例2 下三角行列式,例 3 三阶行列式,例5 n 阶行列式,例4 四阶行列式,经对换 a 与 b ,得排列,所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.,4 对换,对换,定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,证 先证相邻对换的情形.,那么,设排列,经对换
4、a 与 b排列，得排列,相邻对换,再证一般对换的情形.,设排列,事实上，排列（1）经过 2m + 1 次相邻对换变为排列（2）.,定理 2 n 阶行列式也可以定义为,根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数，,性相反.,所以这两个排列的奇偶,53142,解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7,t(53412) = 0+1+1+3+3=8,53412,求这两个排列的逆序数.,经对换1与4 得排列,例 1 排列,1. 选择 i 与 k 使,（1）2 5 i 1 k 成偶排列;,（2）2 5 i 1 k 成奇排列.,若是，指出应冠以的符号,3.计算n 阶行列式,练习,行列式中的项.,1
5、.（1）i = 4, k = 3时，即排列 2 5 4 1 3 为偶排列；,（2）i = 3, k = 4时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列.,性质 1,性质 2,5 行列式的性质,推论 两行（列）相同的行列式值为零.,数 k ,推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号,性质4,性质 3,式等于零.,等于用数 k 乘此行列式 .,行列式与它的转置行列式相等.,互换行列式的两行（列），行列式变号.,行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个,行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列,外面.,若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和 ，,例如,则此行列式等于两个行列式
6、之和 .,性质 5,把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另,一行（列）的对应元素上去，,行列式的值不变.,性质 6,设,行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.,记,那么,=,设行列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i j ) 两行,得行列式,性质 2 的证明,其中，当 k i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp, bjp = aip ,其中, 1i j n 是自然排列,所以,于是,= D,例 3,r2 - r1,例5,=,= 0,例6,例7,解 r2 - r1, r3 - 3r1 , r4 - r1,例 8 计
7、算行列式,r22,r3 + r2 , r4 - 2r2,r4( -3 ) , r3r4,r4+3r3,例 9 计算行列式,解 从第 4 行开始，后行减前行得，,例 10 计算行列式,解 各行都加到第一行，,各行都减第一行的 x 倍,第一行提取公因子( a+3x ),6 行列式按行（列）展开,在 n 阶行列式 det ( aij ) 中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列,Aij = ( 1 ) i+j Mij,记成 Mij ,称为元素 aij 的余子式.,称它为元素 aij 的代数余子式.,划去, 剩下的( n 1 )2 个元素按原来的排法构成的 n 1 阶行列式,记,例1 三阶行列
8、式,中元素 a23 的余子式为,元素 a23 的代数余子式为,例2 四阶行列式,中元素 x 的代数余子式为,= 5,行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应,或,的代数余子式乘积之和，即,素的代数余子式乘积之和等于零. 即,定理 3,推论,引理 在行列式 D 中，如果它的第 i 行中除 aij 外其余元素,都为0, 即,D = aij Aij,那么,证明 先证 aij 位于第 1 行，第 1 列的情形，即,由行列式的定义，得,再证一般情形，设,用互换相邻两行和相邻两列，把 aij 调到左上角，得行列式,利用前面的结果，得,于是,所以引理成
9、立.,定理 3 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应,证 因为,或,的代数余子式乘积之和，即,椐引理，就得到,类似地可得,例 3 计算四阶行列式,解 按第 1 列展开，有,例 4 计算四阶行列式,解 按第 1 行展开，有,对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得,解 c3 - c1 c4 - 2c1,例 5 计算四阶行列式,第1 行提取 2，第 2 行提取 1,按第 2 行展开得,按第 1 行展开,r2 + r1,= 24,c2 - c1 ，c3 - c1,例 6 证明范德蒙（Vandermonde ） 行列式,证 用数学归纳法.,所以当 n=2 时（*）式成立.,假设对于
10、 n 1 阶范德蒙,ri x1ri -1 , i = n , n 1 , 2 ,有,因为,对 n 阶范德蒙行列式做运算,行列式等式成立.,按第 1 列展开后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得,椐归纳法假设，可得,归纳法完成.,推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,元素的代数余子式乘积之和等于零. 即,例7 计算 行列式,解,先以 3 阶行列式为例，例如为了证得,因为,所以,又,设行列式 D = det (aij ) ，,因为行列式 D1中第 i 行与第 j 行元素对应相同，,把行列式 D1 按第 j 行展开，有,类似地，也可以证明另一个式子.,所以,推论的证明,取行
11、列式, 7 Cramer 法则,设线性方程组,定理4 （Cramer 法则 ）若线性方程组（1）的系数行列式不,即,等于零，,其中,则方程组有唯一解,证 先证（2）是（1）的解，即要证明,为此看 n+1 阶行列式,第1行展开，注意到，其第一行中 aij 的代数余子式为,首先，因为第 1 行与第 i+1 行相同,所以它的值为零. 再把它按,故有,因而,即,是线性方程组（1）解.,3 个恒等式,A12 , A22 , An2 分别乘以上的 3 个等式得,相加,得,设 x1= c1 , x2= c2 , x3= c3 是线性方程组（1）的解,于是有,类似的可得,于是,也就是,由于,例1 用 Cram
12、er 法则解线性方程组,解 因为,所以,定理 5 如果齐次线性方程组,的系数行列式 D0 ，那么它只有零解.,下述齐次方程组有非零解？,解 根据定理 5 ，若此齐次线性方程组有非零解，则其系,所述方程组确有非零解.,行列式必为 0 .而,第五章 相似矩阵及二次型,1 预备知识 向量的内积,定义 1 设有 n 维向量,令 x , y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ,称 x , y 为向量 x 与 y 的内积.,内积具有下列性质：,1. x , y = y , x ;,3. x + y , z = x , z + y , z ;,4. x , x 0,其中 x，y，z 是为向
13、量，,易知, x , y = xTy .,当且仅当时x = 0 时 x , x = 0.,定义 2 非负实数,称为 n 维向量 x 的长.,向量的长具有性质：,长为 1 的向量称为单位向量.,若向量 x 0 ,如果 x , y = 0 ，那么称向量 x 与 y 正交.,一组两两正交的非零向量.,正交向量组:,那么它应满足,由,得,规范正交向量组:,定理 1 正交向量组必线性无关.,证 设向量组 a1 , a2 , , ar 是正交向量组,类似的可证,于是向量组 a1 , a2 , , ar 线性无关.,但不为正交向量组.,向量组 e1 , e2 , , er 为规范正交向量组，当且仅当,若有一
14、组数,由单位向量构成的正交向量组.,设向量组 a1 , a2 , ar 线性无关，则必有规范正交向量组,正交化：,单位化：,于是，e1 , e2 , , er 是规范正交向量组，,且与 a1 , a2 , , ar,等价.,e1 , e2 , , er 与 a1 , a2 , , ar 等价.,e1 , e2 即为所求.,取它的一个基础解系,再把b2 , b3正交化即为所求a2 , a3 .,也就是取,定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , , er 是向量空间 V 的一个基,如果向量组 e1 , e2 , , er 为规范正交向量组，,则称 e1 , e2 , . ,向量组 a1 ,
15、a2 , a3 是所求正交向量组.,er 是 V 的一个规范正交基.,所以对齐次方程组,定义 4 如果 n 阶矩阵 A 满足,那么称 A 为正交矩阵.,n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向,设n 阶矩阵 A = ( a1 , a2 , , an ) , 其中 a1 , a2 , , an 是,或者说, n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列,A为正交矩阵，即是,ATA = E ,都是正交矩阵.,例 6,（行）向量组构成向量空间 Rn 的一个 规范正交基.,A的列向量组.,量组是规范正交向量组.,由此可见， A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量
16、,组是规范正交向量组.,定义 5 若 P 为正交矩阵，则线性变换 x = Py 称为正交变换.,线性变换的系数构成矩阵,于是线性变换（）,就可以记为,x = Py,都为正交变换.,例 7,若 线性变换 x = Py 为正交变换，,a , b 为任意两个向量.那么,这是因为,特别的，,2 方阵的特征值与特征向量,定义6 设 A 是 n 阶矩阵，,和 n 维非零列向量 p,非零向量 p 称为 A 的对于特征值,称为方阵 A 的特征多项式.,称为n 阶矩阵 A 的特征方程.,(1)式也可写成,使得,行列式,求 n 阶方阵 A 的特征值与特征向量的方法：,1 求出矩阵的 A 特征多项式,特征值.,它的
17、非零解都是,例1 求矩阵,的特征值和特征向量.,解 A 的特征多项式为,于是，,所以，A 的特征值为,得基础解系,解方程组(A - E)x = 0.由,其中k为任意非零数.,得基础解系,例 2 求矩阵,的特征值和特征向量.,解 A 的特征多项式为,其中k是任意非零数.,所以，A 的特征值为,解方程组(A - 3E)x = 0.由,得基础解系,的全部特征向量为 kp1 ,解方程组(A - E)x = 0. 由,其中k为任意非零数.,得基础解系,的全部特征向量为 k p2 + l p3 ,其中数,证 对特征值的个数 m 用数学归纳法.,由于特征向量是非零向量，,所以，m = 1 时定理成立.,量是
18、线性无关的，,令 p1 , p2 , pm 依次 为m 个不等的特征值,下面证明 p1 , p2 , pm,p1 , p2 , pm,k, l不同时为零.,依次是与之对应的特征向量,那么 p1 , p2 , pm 线性无关.,假设 m 1 个不同的特征值的特征向,线性无关.,设有一组数 x1 , x2 , , xm 使得,x1 p1 + x2 p2 + xm pm = 0 (1),成立.,以矩阵 A 左乘式 (1) 两端,得,（3）式减（2）式得,根据归纳法假设， p1 , pm -1 线性无关，,所以 , x1 = 0 , . , xm 1= 0.,这时（1）式变成， xm pm = 0 .
19、,因为 pm 0，,所以只有xm = 0 .,这就证明了p1 , p2 , pm 线性无关.,归纳法完成，定理得证.,于是,p1 , p2 依次是与之对应的,那么向量组 p1 , p2 线性无关,证 设有一组数 x1 , x2 使得,x1 p1 + x2 p2 = 0 (1),成立.,以矩阵 A 左乘式 (1) 两端,得,（3）式减（2）式得,所以 x1 = 0 .,这样（1）式变成， x2 p2 = 0 .,因为 p2 0，,所以只有x2 = 0 .,这就证明了p1 , p2 线性无关.,特征向量，,所以有向量 p 0 使，,于是，,求上三角矩阵,练 习,的特征值与特征向量.,的特征值,3
20、相似矩阵,定义 7 设 A , B 都是 n 阶矩阵，,P -1AP = B ,则称矩阵 A 与 B 相似，,可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换,则 A 与 B 的特征多项式相同,从而 A 与 B 的特征值也相同.,证 因为 A与 B 相似，,故,定理 3 若 n 阶矩阵 A与 B 相似，,所以有可逆矩阵 P，使 P -1AP = B ,若有可逆矩阵P ，使,证毕.,矩阵.,相似，,由定理 3 知，,定理 4 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是:,定理4的证明 如果可逆矩阵 P, 使,若记矩阵,也就是,n 个线性无关的特征向量.,推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵,推
21、论 如果 n 阶矩阵A的特征值互不相等，,则A与对角矩阵相似,A 有,P = ( p1，p2 , , pn ) ,A( p1 , p2 , , pn ) = ( p1 , p2 , , pn ),即为 (A p1 , A p2 , , A pn ) =,再由 P 是可逆矩阵便可知，,反之，如果 n 阶矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 p1 , p2 , ,于是，应有数,以向量组 p1 , p2 , , pn 构成矩阵 P = ( p1，p2 , , pn ) ,则P,矩阵，,即 A与对角矩阵相似.,p1 ,p2 , , pn 就是 A 的 n 个线性,其中 p1 , p2 , , pn
22、是 P 的列向量组, 就有,为可逆矩阵，,无关的特征向量.,pn ,2 例1中的 3 阶矩阵,只有 2 个线性无关的特征向量，,2 例2中的矩阵,是 A 的特征值 3 的线性无关的特征向量,所以它不可能与对角矩阵相似.,是 A 的特征值 1 的线性无关的特征向量.,P = ( p1 , p2 , p3 ) =,于是， 3 阶矩阵A 恰有 3 个线性无关的特征向量 p1 , p2 , p3 ，,则 P 为可逆矩阵，且,P -1A P =,所以它能与对角矩阵相似.,令,例 1 判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相似,解 A 的特征多项式为,因此 A 的特征值为,变换矩阵和对角矩阵,得基础解
23、系,解方程组(A - E)x = 0.由,得基础解系,令,则 可逆矩阵 P 为所求相似变换矩阵, 且,于是，3 阶矩阵 A有 3个线性无关的特征向量，,所以它能与对角,矩阵相似.,例2 设 2 阶矩阵 A 的特征值为1, 5, 与特征值对应的特征,求 A .,解 因为 2 阶矩阵 A 有2个互异的特征值，,取,应有,所以,据定理 4 的推论，,A 能与对角矩阵相似.,向量分别为,例3 社会调查表明，某地劳动力从业转移情况是：在从农,解 到2001年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳,如果引入 2 阶矩阵,表示每年非农从业,人员中有1/20改为从农工作.,表示每年从农人员中有,3/4改为从
24、事非农工作.,于是有,业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势,员各占全部劳动力的1/5和4/5，试预测到2005年底该地劳动力从,人员中每年有3/4改为从事非农工作，在非农从业人员中每年有,1/20改为从农工作. 到2000年底该地从农工作和从事非农工作人,动力的百分比分别为,和,再引入 2 维列向量,其分量依次为到某年底从农工作和从事非农,表示到2000年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳,如向量,那么，2001年底该地从农工作和从事非农工作,于是，到2005年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部,劳动力的百分比应为,k 年后该地劳动力的从业情况可由,矩阵A的特征多项
25、式,Ax,工作人员各占全部劳动力的百分比,动力的1/5 和4/5,人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出,对应的特征向量，,对应的特征向量，,则 P 为可逆矩阵，,所以,矩阵相似.,据定理4的推论， A 能与对角,且使得,类似的，第 k 年底该地劳动力的从业情况为,按此规律发展，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占,全部劳动力的百分比趋于,例 4 如果,于是 A 与 B 的特征多项式 相同，但 A 与 B 不相似.,特征多项式相同的矩阵未必相似.,即 ，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动,力的6/100 和 94/100.,那么,4 对称矩阵的相似矩阵,定理5 实对称
26、矩阵的特征值为实数.,p 为 对应的特征向量.,于是有,两式相减，,因为 p0,则 p1 与 p2 正交.,p1, p2 依次,是它们对应的特征向量.,即,定理 6,定理 7 设 A 为 n 阶对称矩阵 ,线性无关的特征向量.,即 p1与 p2 正交.,恰有 r 个,因为 A 是实对称矩阵，,所以,于是,证 由已知有,r 重根,左乘（2）式的两端得,重数依次为 r1 , r2 , , rm ,于是, r1 + r2 + + rm= n .,恰有 ri 个线性无关的实特征,向量, 把它们正交单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量, i =1,2，, , m .由 r1 + r2 + + rm=
27、 n .,知这样的特征向量恰有 n 个.,又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交( 根据定理6 )，,故这 n 个特征向量构成规范正交向量组.,以它们为列构成矩阵 P ,它们的,定理 5及定理 7 知，,根据,则为 P 正交矩阵，,并有,恰 是 A的n 个特征值.,定理 8 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使,是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵.,为对角矩阵,于是得正交矩阵,P = ( p1, p2, p3 ),且使得,将其规范正交化.,解 A 的特征多项式为,为对角矩阵,再单位化得,正交化： 取,于是得正交矩阵,P = ( p1 , p2 , p3 ),且使
28、得,5 二次型及其标准形,定义 8 n 个变量 x1 , x2 , , x n 的二次齐次函数,f (x1 , x2 , , xn ) =,称为二次型.,于是（1）式可写成,f (x1 , x2 , , xn ),对二次型 (1) ，记,则二次型 (1) 又表示为,f (x1 , x2 , , xn )=,其中 A 为对称矩阵，,叫做二次型 f (x1 , x2 , , xn ) 的矩阵，,也把 f (x1 , x2 , , xn ) 叫做对称矩阵 A 的二次型.,对称矩阵 A 的秩，,叫做二次型 f (x1 , x2 , , xn ) = xTA x 的秩.,二次型 f (x1 , x2 ,
29、 , xn )经过可逆的线性变换,即用(3) 代入 (1) ，,还是变成二次型.,那么新二次型的矩阵与,原二次型的矩阵 A 的关系是什么？,可逆线性变换 (3),记作,x = C y ,f (x1 , x2 , , xn ),g(y1 , y2 , , yn ),x = C y,可逆线性变换,( AT = ) A,B ( = BT ),C TAC =,把可逆的线性变换 x = C y 代入二次型 f = xTA x , 得二次型,f = xTA x = (C y)TA(C y) = yT(C TAC ) y,就是说，若原二次型的矩阵为 A ，,那么新二次型的矩阵为,其中 C 是所用可逆线性变换
30、的矩阵,定理 9 设有可逆矩阵 C ,使 B = CTAC ,如果 A为对称矩阵，,则B也为对称矩阵，,且R(A) = R(B) .,CTAC ,即 B 为对称矩阵.,因为 B = CTAC ，,所以R(B) R(AC) R(A) .,因为,所以 R(A) R( BC -1) R(B) ,故得 R(A) = R(B).,A=( CT )1BC 1，,证 因为 A 是对称矩阵,即 AT = A，,所以,BT = ( CTAC )T,= CTAT(CT )T,= CTATC,= B ,主要问题：求可逆的线性变换,将二次型 (1) 化为只含平方项，,即用(3) 代入 (1) ，能使,f (x1 ,
31、x2 , , xn ),称（4）为二次型的标准形.,总有正交变换,x = Py，,使 f 化为标准形,定理 8 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使,是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵.,定理 10,也就是说，已知对称矩阵A ，求一个可逆矩阵C 使,为对角矩阵.,例 1 用矩阵记号表示二次型,例 2 求一个正交变换 x = Py，把二次型,解 二次型的矩阵为,那么,化为标准形.,解 二次型的矩阵为,它的特征多项式为,于是正交变换为,例 3 求一个正交变换 x = Py，把二次型,化为标准形.,解 二次型的矩阵为,它的特征多项式为,正交化： 取,再单位化得,于是正交变
32、换为,例4 已知在直角坐标系 o x1 x2中, 二次曲线的方程为,试确定其形状,解 先将曲线方程化为标准方程，,也就是用正交变换把二次型,化为标准形,二次型 f 的矩阵为,A的特征多项式为,于是 A 的特征值为,可求得对应的特征向量为,将它们单位化得,令,就有,故在新坐标系o y1 y2中该曲线的方程为,这是一个椭圆,其短、长半轴长分别为,y1,y2,x1,x2,0,6 用配方法化二次型成标准形,例1 化二次型,为标准形,并求所用的变换矩阵.,就把 f 化成标准形,例2 化二次型,为标准形,并求所用的变换矩阵.,解 令,代入，再配方可得,所用线性变换矩阵为,所用变换矩阵为,7 正定二次型,定
33、理 11 设实二次型 f = xTAx的秩为 r , 若有实可逆变换,x = Cy 及 x = Pz,使,定义 9 实二次型 f = xTAx 称为正定二次型，如果对任何,xTAx 0 .,正定二次型的矩阵称为正定矩阵.,定理 12 n 元实二次型 f = xTAx 为正定的充分必要条件是：,它的标准形的 n 个系数全为正.,则k1 ,k2 , kr中正数的个数与,中正数的个数相等,证 设可逆变换 x = Cy 使,x 0 , 都有,和,因为 C 是可逆矩阵,故,即二次型为正定的.,再证必要性.,用反证法. 假设有 ks0 ,则当 y = es 时，,其中es 是第 s 个分量为 1 其余分量都为 0 的 n 维向量.,这与 f 为正定相矛盾,因而 ki 0 , i = 1 ,2 , n .,推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全,定理13 对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是：,阶主子式都为正. 即,为正,A 的各,先证充分性 .,设 ki 0 , i = 1 ,2 , n .,任给 x 0 ,
