1、高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室第三章 中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、 知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值
2、 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。3 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数 f(x)在点 x0 的某邻域 U(x0)内有定义 并且在 x0 处可导 如果对任意 xU(x0) 有f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0) 那么 f (x0)0 罗尔定理 如果函数 yf(x)在闭区间 a, b上连续 在开区间(a, b)内可导 且有 f(a)f(b) 那么在(a, b) 内至少在一点 使得 f ()0 简要证明 (1)如果
3、f(x)是常函数 则 f (x)0 定理的结论显然成立 (2)如果 f(x)不是常函数 则 f(x)在( a b)内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点 (a b) 于是 0)(limxffx li)(ff高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)在闭区间a b 上连续 在开区间(a b) 内可导 那么在(a b)内至少有一点 (a0 或 x0)或xx x (x0 则 f(x)在a b上的图形是凹的 (2)若在(a b)内 f (x)0 时 y 0
4、 所以曲线在 0 )内为凹的 例 3 求曲线 y2x 33x 22x14 的拐点 解 y6x 26x12 )1(1令 y0 得 2x因为当 时 y 0 当 时 y0所以点( )是曲线的拐点 121x210例 4 求曲线 y3x 44x 31 的拐点及凹、凸的区间 解 (1)函数 y3x 44x 31 的定义域为( ) (2) 21 )3(62x(3)解方程 y0 得 1x(4)列表判断 在区间( 0和2/3 )上曲线是凹的 在区间0 2/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 例 5 问曲线 yx 4 是否有拐点？解 y4x 3 y12x 2 当 x 0 时 y0 在
5、区间( )内曲线是凹的 因此曲线无拐点 例 6 求曲线 的拐点 3解 (1)函数的定义域为( ) (2) 321xy329xy(3)无二阶导数为零的点 二阶导数不存在的点为 x0 (4)判断 当 x0 当 x0 时 y 0 相反时 s0 于是 ds dx 这就是弧微分公式 21y因为当x0 时 s x 又s 与同号 所以MN2020 )(1lim|)(limli xyyxds x2因此ys21这就是弧微分公式 二、曲率及其计算公式曲线弯曲程度的直观描述 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室设曲线 C 是光滑的 在曲线 C 上选定一点 M 0 作为度量
6、弧 s 的基点 设曲线上点 M 对应于弧 s 在点 M 处切线的倾角为 曲线上另外一点 N 对应于弧 ss 在点 N 处切线的倾角为 我们用比值 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段 的平均弯曲程度|s记 称 为弧段 MN 的平均曲率K记 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率s0lim在 存在的条件下 sdds曲率的计算公式 设曲线的直角坐标方程是 yf(x) 且 f(x)具有二阶导数（这时 f (x)连续 从而曲线是光滑的） 因为 tan y 所以sec 2dydx dxyx221tan1sec又知 ds dx 从而得曲率的计算公式21y 23)(|dsK例 1 计算直线 ya xb
7、 上任一点的曲率 例 2 计算半径为 R 的圆上任一点的曲率 讨论 1 计算直线 ya xb 上任一点的曲率 提示: 设直线方程为 yax+b, 则 ya, y0. 于是 K0.2. 若曲线的参数方程为 x(t), y(t)给 那么曲率如何计算？提示 2/32)(|)|tK3 计算半径为 R 的圆上任一点的曲率 提示 圆的参数方程为 xR cos t yR sin t 例 1. 计算等双曲线 x y 1 在点(1 1)处的曲率 解 由 得y1 2x3因此 y| x11 y|x12 曲线 xy 1 在点(1 1)处的曲率为高等数学教案 3 中值定理与导数的应用内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学
8、教研室 23)1(|yK23)1(例 4 抛物线 ya x 2b xc 上哪一点处的曲率最大？解 由 ya x 2b xc 得y2a x b y2a 代入曲率公式 得 23)(1|K显然 当 2axb0 时曲率最大 曲率最大时 x 对应的点为抛物线的顶点 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 最大a曲率为 K|2a| 三、曲率圆与曲率半径设曲线在点 M(x y)处的曲率为 K (K0)在点 M 处的曲线的法线上 在凹的一侧取一点 D 使|DM| K1 以 D 为圆心 为半径作圆 这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 曲率圆的圆心D 叫做曲线在点 M 处的曲率中心 曲率圆的半径 叫做曲线在点 M 处的曲
9、率半径 设曲线在点 M 处的曲率为 K(K0)在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于 M 且半径为 K1的圆则这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 其圆心叫做曲率中心 其半径 叫做曲率半径曲线在点 M 处的曲率 K(K 0)与曲线在点 M 处的曲率半径 有如下关系 K 1例 3 设工件表面的截线为抛物线 y0.4x 2 现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得08 23)1(|K抛物线顶点处的曲率半径为帠K1 125 所以选用砂轮的半径不得超过 1.25 单位长 即直径不得超过 2.50 单位长
