1、2015 年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1 （3 分） （2015 长沙）下列实数中，为无理数的是（ ）A 0.2 B C D 52 （3 分） （2015 长沙）下列运算中，正确的是（ ）A x3+x=x4 B （x 2） 3=x6 C 3x2x=1 D （ab） 2=a2b23 （3 分） （2015 长沙 ）2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2号线每天承动力约为 185000 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为
2、（ ）A 1.85105 B 1.85104 C 1.8105 D 18.51044 （3 分） （2015 长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A B C D 5 （3 分） （2015 长沙）下列命题中，为真命题的是（ ）A 六边形的内角和为 360 度 B 多边形的外角和与边数有关C 矩形的对角线互相垂直 D 三角形两边的和大于第三边6 （3 分） （2015 长沙）在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）A B C D 7 （3 分） （2015 长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的
3、（ ）尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25销售量/双 4 6 6 10 2 1 1A 平均数 B 中位数 C 众数 D 方差8 （3 分） （2015 长沙）下列说法中正确的是（ ）A “打开电视机，正在播放动物世界 ”是必然事件B 某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖C 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查9 （3 分） （2015 长沙）一次函数 y=2x+1 的图象不经过（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限10 （3 分） （2015 长沙
4、）如图，过 ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A B C D 11 （3 分） （2015 长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角ABO 为 ，则树 OA 的高度为（ ）A 米 B 30sin 米 C 30tan 米 D 30cos 米12 （3 分） （2015 长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润 500 元，其利润率为 20%现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）www.21-cn-A 562.5 元 B 875 元 C
5、550 元 D 750 元二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13 （3 分） （2015 长沙）一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1 个球，则摸出白球的概率是 2-1-c-n-j-y14 （3 分） （2015 长沙）圆心角是 60且半径为 2 的扇形面积为 （结果保留） 15 （3 分） （2015 长沙）把 + 进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号） 16 （3 分） （2015 长沙）分式方程 = 的解是 x= 17 （3 分） （2015 长沙）如图，
6、在 ABC 中，DEBC， ，DE=6，则 BC 的长是 18 （3 分） （201 5长沙）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上的一点，若BC=6，AB=10 ，ODBC 于点 D，则 OD 的长为 三、解答题（共 8 小题， 第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，满分 66 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19 （6 分） （2015 长沙）计算：（ ） 1+4cos60|3|+ 20 （6 分） （2015 长沙）先化简，再求值：（x+y） （xy） x（x+y）+2
7、xy，其中 x=（3 ）0，y=221 （8 分） （2015 长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写 ”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x/分 频数 频率50x60 10 0.0560x70 20 0.1070x80 30 b80x90 a 0.3090x100 80 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a= ，b= ；（2
8、）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段；（4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优” 等约有多少人？22 （8 分） （2015 长沙）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2， ABC=60，对角线 AC、BD相交于点 O，将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角 （090 ）后得直线 l，直线 l 与 AD、BC 两边分别相交于点 E 和点 F（1）求证：AOE COF；（2）当 =30时，求线段 EF 的长度23 （9 分 ） （2015 长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发
9、展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多 可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24 （9 分） （2015 长沙）如图，在直角坐标系中，M 经过原点 O（0，0） ，点A（ ，0）与点 B（0， ） ，点 D 在劣弧 上，连接 BD 交 x 轴于点 C，且COD=CBO（1）求M 的半径；（
10、2）求证：BD 平分ABO；（3）在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰好为M 的切线，求此时点 E 的坐标25 （10 分） （2015 长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“ 中国结 ”（1）求函数 y= x+2 的图象上所有“ 中国结”的坐标；（2）若函数 y= （k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结” ，试求出常数 k 的值与相应“中国结” 的坐标；（3）若二次函数 y=（k 23k+2）x 2+（2k 24k+1）x+k 2k（ k 为常数）的图象与 x 轴相交得到两个不同的“中国结” ，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形
11、中（含边界） ，一共包含有多少个“中国结” ？26 （10 分） （20 15长沙）若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c（a0，c0，a，b，c 是常数）与 x 轴交于两个不同的点 A（ x1，0） ，B（x 2，0） （0x 1x 2） ，与 y 轴交于点 P，其图象顶点为点 M，点 O 为坐标原点（1）当 x1=c=2，a= 时，求 x2 与 b 的值；（2）当 x1=2c 时，试问ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当 x1=mc（m0）时，记MAB， PAB 的面积分别为 S1，S 2，若BPOPAO，且 S1=S2，求 m 的值2015 年湖南省长沙市中考数学
12、试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1 （3 分） （2015 长沙）下列实数中，为无理数的是（ ）A 0.2 B C D 5考点： 无理数分析： 有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可21cn jy解答： 解：5 是整数，5 是有理数；0.2 是有限小数，0.2 是有理数； ，0.5 是有限小数， 是有理数； 是无限不循环小数， 是无理数故选：C点评： 此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环
13、小数21 教育名师原创作品2 （3 分） （2015 长沙）下列运算中，正确的是（ ）A x3+x=x4 B （x 2） 3=x6 C 3x2x=1 D （ab） 2=a2b2考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式分析： 根据同类项、幂的乘方和完全平方公式计算即可解答： 解：A、x 3 与 x 不能合并，错误；B、 （x 2） 3=x6，正确；C、3x2x=x，错误；D、 （ab） 2=a22ab+b2，错误；故选 B点评： 此题考查同类项、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算3 （3 分） （2015 长沙）2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市
14、中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2号线每天承动力约为 185000 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为（ ）A 1.85105 B 1.85104 C 1.8105 D 18.5104考点： 科学记数法表示较大的数分析： 科学记数法的表示形 式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答： 解：将 185000 用科学记数法表示为 1.85105故选 A点评：
15、 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4 （3 分） （2015 长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A B C D 考点： 中心对称图形；轴对称图形分析： 根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案解答： 解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；故选：B点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称
16、图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合5 （3 分） （2015 长沙）下列命题中，为真命题的是（ ）A 六边形的内角和为 360 度 B 多边形的外角和与边数有关C 矩形的对角线互相垂直 D 三角形两边的和大于第三边考点： 命题与定理分析： 根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可解答： 解：A、六边形的内角和为 720，错误；B、多边形的外角和与边数无关，都等于 360，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确；故选 D点评： 本题考查命
17、题的真假性，是易错题注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握6 （3 分） （2015 长沙）在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）A B C D 考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可本题解不等式组得： ，再分别表示在数轴上即可得解解答： 解：由 x+20 得 x2，由 2x60，得 x3，把解集画在数轴上为：故选 A点评： 本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；， 向左画
18、） ，数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”， “”要用实心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示21cnjy com7 （3 分） （2015 长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25销售量/双 4 6 6 10 2 1 1A 平均数 B 中位数 C 众数 D 方差考点： 统计量的选择分析： 根据平均数、中位
19、数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据解答： 解：众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，鞋店最喜欢的是众数故选：C点评： 此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用8 （3 分） （2015 长沙）下列说法中正确的是（ ）A “打开电视机，正在播放动物世界 ”是必然事件B 某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖C 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查考点：
20、 概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件；概率公式分析： 根据随机事件，可判断 A；根据概率的意义，可判断 B、C；根据调查方式，可判断 D解答： 解：A、 “打开电视机，正在播放 动物世界 ”是随机事件，故 A 错误；B、某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B 错误；C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 ，故 C 错误；D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故 D 正确；故选：D点评： 本题考查了全面调查与抽样调查，正确区分全面调查与抽样调查是解题关键，注意概率时事件发生可能性的大小，并不一定发生9 （3 分
21、） （2015 长沙）一次函数 y=2x+1 的图象不经过（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限考点： 一次函数图象与系数的关系分析： 先根据一次函数 y=2x+1 中 k=2，b=1 判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论解答： 解：一次函数 y=2x+1 中 k=20，b=10，此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限故选 C点评： 本题考查的是一次函数的性质，即一次函数 y=kx+b（k0）中，当 k0，b0 时，函数图象经过一、二、四象限 【出处：21 教育名师】10 （3 分） （2015 长沙）如图，过 ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法
22、正确的是（ ）A B C D 考点： 三角形的角平分线、中线和高分析： 根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答解答： 解：为ABC 中 BC 边上的高的是 A 选项故选 A点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键11 （3 分） （2015 长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角ABO 为 ，则树 OA 的高度为（ ）A 米 B 30sin 米 C 30tan 米 D 30cos 米考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 根据题意，在
23、 RtABO 中，BO=30 米，ABO 为 ，利用三角函数求解解答： 解：在 RtABO 中，BO=30 米，ABO 为 ，AO=BOtan=30tan（米） 故选 C点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解12 （3 分） （2015 长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润 500 元，其利润率为 20%现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）A 562.5 元 B 875 元 C 550 元 D 750 元考点： 一元一次方程的应用分析： 设进价为 x 元，则该商 品
24、的标价为 1.5x 元，根据“按标价打八折销售该电器一件，则可获利润 500 元”可以得到 x 的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的利润解答： 解：设进价为 x 元，则该商品的标价为 1.5x 元，由题意得1.5x0.8x=500，解得：x=2500则标价为 1.52500=3750（元） 则 37500.92500=875（元） 故选：B点评： 此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售中的基本数量关系是解决问题的关键二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13 （3 分） （2015 长沙）一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完
25、全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1 个球，则摸出白球的概率是 21 世纪教育网版权所有考点： 概率公式分析： 由一个不透明的袋子中只装 有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，直接利用概率公式求解即可求得答案解答： 解：一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出 1 个球，则摸出白球的概率是： = 故答案为： 点评： 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14 （3 分） （2015 长沙）圆心角是 60且半
26、径为 2 的扇形面积为 （结果保留 ） 考点： 扇形面积的计算分析： 根据扇形的面积公式代入，再求出即可解答： 解：由扇形面积公式得：S= = 故答案为： 点评： 本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为 n，半径为 r 的扇形的面积为S= 15 （3 分） （2015 长沙）把 + 进行化简，得到的最简结果是 2 （结果保留根号） 考点： 二次根式的混合运算分析： 先进行二次根式的化简，然后合并解答： 解：原式= +=2 故答案为：2 点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简16 （3 分） （2015 长沙）分式方程 = 的解是 x= 5 考点： 解分式
27、方程专题： 计算题分析： 本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为 x（x2） ，去分母，化为整式方程求解解答： 解：去分母，得 5（x2）=7x，解得：x= 5，经检验：x=5 是原方程的解点评： 解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验17 （3 分） （2015 长沙）如图，在 ABC 中，DEBC， ，DE=6，则 BC 的长是 18 考点： 相似三角形的判定与性质分析： 由平行可得到 DE：BC=AD：AB，由 DE=6 可求得 BC解答： 解：DEBC ，DE：BC=AD ：AB= ，即 6：BC=1：3，BC=18故答案为：18点
28、评： 本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键18 （3 分） （2015 长沙）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上的一点，若BC=6，AB=10 ，ODBC 于点 D，则 OD 的长为 4 21世纪*教育网考点： 垂径定理；勾股定理分析： 根据垂径定理求得 BD，然后根据勾股定理求得即可解答： 解：ODBC ，BD=CD= BC=3，OB= AB=5，OD= =4故答案为 4点评： 题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握三、解答题（共 8 小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、2
29、4 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，满分 66 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19 （6 分） （2015 长沙）计算：（ ） 1+4cos60|3|+ 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值分析： 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果 【版权所有：21 教育】解答： 解：原式=2+4 3+3=4点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20 （6 分） （2015 长沙）先化简，再求值：（x+y） （xy
30、） x（x+y）+2xy，其中 x=（3 ）0，y=2考点： 整式的混合运算化简求值；零指数幂分析： 首先去掉括号，然后合并同类项，最后把 x=1，y=2 代入化简式进行计算即可解答： 解：（x+y） （x y）x（x+y）+2xy=x2y2x2xy+2xy=xyy2，x=（3） 0=1，y=2，原式 =24=2点评： 本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大 【来源：21cnj*y.co*m】21 （8 分） （2015 长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 3000
31、名学生参加的“汉字听写 ”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：21*cnjy*com成绩 x/分 频数 频率50x60 10 0.0560x70 20 0.1070x80 30 b80x90 a 0.3090x100 80 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a= 60 ，b= 0.15 ；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在 80x90 分数段；（4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为
32、“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优” 等约有多少人？ 【来源：21世纪教育网】考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数分析： （1）根据第一 组的频数是 10，频率是 0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得 a 的值，用第三组频数除以数据总数可得 b 的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数 3000 乘以“优”等学生的所占的频率即可解答： 解：（1）样本容量是：100.05=200
33、，a=2000.30=60，b=30200=0.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有 200 个数据，按照从小到大的顺序排列后，第 100 个与第 101 个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在 80x90 分数段；（4）30000.40=1200（人） 即该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等的大约有 1200 人故答案为 60，0.15；80 x90；1200点评： 本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题也考查了中位数和利用样本估计总体ww
34、w-2-1-cnjy-com22 （8 分） （2015 长沙）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2， ABC=60，对角线 AC、BD相交于点 O，将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角 （090 ）后得直线 l，直线 l 与 AD、BC 两边分别相交于点 E 和点 F（1）求证：AOE COF；（2）当 =30时，求线段 EF 的长度考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析： （1）首先证明 AE=CF，OE=OF，结合 AO=CO，利用 SSS 证明AOECOF；（2）首先画出 =30时的图形，根据菱形的性质得到 EFAD，解三角形即可求出 OE 的长，进而得
35、到 EF 的长解答： 解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ADBC，AO=OC， ，AE=CF，OE=OF，在AOE 和 COF 中，AOECOF（2）当 =30时，即 AOE=30，四边形 ABCD 是菱形，ABC=60，OAD=60，AEO=90，在 RtAOB 中，sinABO= = = ，AO=1，在 RtAEO 中，cosAOE=cos30= = ，OE= ，EF=2OE= 点评： 本题主要考查了菱形的性质以及解三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质，解答（2）问时需要正确作出图形，此题难度不大23 （9 分） （ 2015长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高
36、度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？考点： 一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用专题： 增长率问题分析： （1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定
37、该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年 6 月份的快递投递任务，再求出 21 名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年 6 月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数解答： 解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据题意得10（1+x） 2=12.1，解得 x1=0.1，x 2=2.2（不合题意舍去） 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10%；（2）今年 6 月份的快递投递任务是 12.1（1+10%）=13.31（万件） 平均每人每月最多可投递 0.6 万件，21 名快递投递业务员能完成的快递
38、投递任务是：0.621=12.6 13.31，该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务需要增加业务员（13.3112.6） 0.6=1 2（人） 答：该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务，至少需要增加 2 名业务员点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解24 （9 分） （2015 长沙）如图，在直角坐标系中，M 经过原点 O（0，0） ，点A（ ，0）与点 B（0， ） ，点 D 在劣弧 上，连接 BD 交 x 轴于点 C，且COD=CBO（1
39、）求M 的半径；（2）求证：BD 平分ABO；（3）在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰好为M 的切线，求此时点 E 的坐标考点： 圆的综合题分析： （1）由点 A（ ， 0）与点 B（0， ） ，可求得线段 AB 的长，然后由AOB=90，可得 AB 是直径，继而求得M 的半径；（2）由圆周角定理可得：COD=ABC，又由COD=CBO，即可得 BD 平分ABO；（3）首先过点 A 作 AEAB，垂 足为 A，交 BD 的延长线于点 E，过点 E 作 EFOA 于点 F，易得AEC 是等边三角形，继而求得 EF 与 AF 的长，则可求得点 E 的坐标解答： 解：（1）点 A
40、（ ，0）与点 B（0， ） ，OA= ，OB= ，AB= =2 ，AOB=90，AB 是直径，M 的半径为： ；（2）COD=CBO ， COD=CBA，CBO=CBA，即 BD 平分ABO；（3）如图，过点 A 作 AEAB，垂足为 A，交 BD 的延长线于点 E，过点 E 作 EFOA于点 F，即 AE 是切线，在 RtAOB 中， tanOAB= = = ，OAB=30，ABO=90OAB=60，ABC=OBC= ABO=30，OC=OBtan30= = ，AC=OAOC= ，ACE=ABC+OAB=60，EAC=60，ACE 是等边三角形，AE=AC= ，AF= AE= ，EF= A
41、E= ，OF=OAAF= ，点 E 的坐标为：（ ， ） 点评： 此题属于一次函数的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识注意准确作出辅助线是解此题的关键25 （10 分） （2015 长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“ 中国结 ”（1）求函数 y= x+2 的图象上所有“ 中国结”的坐标；（2）若函数 y= （k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结” ，试求出常数 k 的值与相应“中国结” 的坐标；（3）若二次函数 y=（k 23k+2）x 2+（2k 24k+1）x+k 2k（ k 为常数）的图象与 x 轴相交得
42、到两个不同的“中国结” ，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界） ，一共包含有多少个“中国结” ？考点： 反比例函数综合题分析： （1）因为 x 是整数，x0 时， x 是一个无理数，所以 x0 时， x+2 不是整数，所以 x=0，y=2，据此求出函数 y= x+2 的图象上所有“中国结”的坐标即可（2）首先判断出当 k=1 时，函数 y= （k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结” ：（1，1） 、 （1、 1） ；然后判断出当 k1 时，函数 y= （k 0，k 为常数）的图象上最少有 4个“中国结” ，据此求出常数 k 的值与相应“ 中国结”的坐标即可（3）首先
43、令（k 23k+2）x 2+（2k 24k+1）x+k 2k=0，则（k 1）x+k （k 2）x+（k1）=0 ，求出 x1、x 2 的值是多少；然后根据 x1、x 2 的值是整数，求出 k 的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界） ，一共包含有多少个“中国结”即可解答： 解：（1）x 是整数，x0 时， x 是一个无理数，x0 时， x+2 不是整数，x=0，y=2，即函数 y= x+2 的图象上“中国结”的坐标是（0，2） （2）当 k=1 时，函数 y= （k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“ 中国结”
44、：（1，1） 、 （1、 1） ；当 k=1 时，函数 y= （k 0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结” ：（1，1 ） 、 （ 1， 1） 当 k1 时，函数 y= （k0，k 为常数）的图象上最少有 4 个“ 中国结”：（1，k） 、 （1， k） 、 （k，1） 、 （k，1） ，这与函数 y= （ k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结” 矛盾，21 教育网综上可得，k=1 时，函数 y= （k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结” ：（1，1） 、 （1、 1） ；k=1 时，函数 y= （k0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1） 、（1
45、 、1 ） （3）令（k 23k+2）x 2+（2k 24k+1）x+k 2k=0，则（k 1）x+k （k2）x+ （k1）=0，k= ，整理，可得x1x2+2x2+1=0，x2（x 1+2）=1，x1、x 2 都是整数， 或 或当 时， ，k= ；当 时， ，k=k1，无解；综上，可得k= ，x 1=3，x 2=1，y=（k 23k+2）x 2+（2k 24k+1）x+k 2k= 23 +2x2+2（ ） 24 +1x+（ ） 2= x2 x当 x=2 时，y= x2 x= （ 2） 2 （2）+=当 x=1 时，y= x2 x= （ 1） 2 （1）+=1当 x=0 时， y= ，综上，
46、可得若二次函数 y=（k 23k+2）x 2+（2k 24k+1）x+k 2k（k 为常数）的图象与 x 轴相交得到两个不同的“中国结” ， 21*cnjy*com该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界） ，一共包含有 6 个“中国结” ：（ 3，0） 、（2 ，0 ） 、 （ 1， 0） （1，1） 、 （0，0） 、 （1，0） 点评： （1）此题主要考查了反比例函数问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握反比例函数的图象和性质（2）此题还考查了对新定义“中国结”的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”26 （10 分） （2015 长沙）若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c（a0，c0，a，b，c 是常数）与 x 轴交于两个不同的点 A（ x1，0） ，B（x 2，0） （0x 1x 2） ，与 y 轴交于点 P，其图象顶点为点 M，点 O 为坐标原点（1）当 x1=c=2，a= 时，求 x2 与 b 的值；（2）当 x1=2c 时，试问ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当 x1=mc（m0）时，记MAB， PAB 的面积分别为 S1，S 2，若BPOPAO，且 S1=S2，求 m 的值考点： 二次函数综合题分析： （1）设 ax2+bx+
