1、第 1 页 共 6 页 1初中因式分解详解一、提公因式法.如多项式 ),(cbamcba其中 m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用)(,2223baba三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： nm分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= )()(n= 每组之间还有公因式！ = a思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键
2、：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式： bxyx5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式=)()(bayx )510()2(byaa= =5 2yx= =2b练习：分解因式 1、 2、c（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： ayx2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式= )()(2yx= yx= a例 4、分解因式： 22cb解：原式= )(a= cb= (注意这两个例题的区别！练
3、习：分解因式 3、 4、yx3922yzx22综合练习：（1） （2）2 baxba2第 2 页 共 6 页 2（3） （4）1869622 ayx aba491262（5） （6）234a yxyx22（7） （8）22yzxy 122aba（9） （10）)1()(m)()(c（11） （12）abcabca2)(222 abc33四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两
4、个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5。 1 2解： = 1 3 x32)(2= 12+13=5x用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： 672解：原式= 1 -1 )()(1x= 1 -6 )(（-1）+（-6）= -7练习 5、分解因式(1) (2) (3)2423652a542x练习 6、分解因式(1) (2) (3)xy0（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a11（2） c22（3） 11b分解结
5、果： =x2 )(2cxa例 7、分解因式： 032分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： =2x)5(x练习 7、分解因式：（1） （2）67522732x（3） （4）10 10y第 3 页 共 6 页 3（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： 2218ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。b1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： =228ba )16(8)16(bab= )(练习 8、分解因式(1) (2) (3)3yx22nm2a（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、22
6、6732xy1 -2y 把 看作一个整体 1 -1 xy2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)3)(yx )(练习 9、分解因式：（1） （2）22475yx862ax综合练习 10、 （1） （2）1836x 2151yx（3） （4）0)()(2yx 34)(2ba（5） （6）226xy 2622 nmnm（7） （8）34422 yx 22 )(10)(3)(5baab（9） （10）10622xy 222yxxyx思考：分解因式： abcabc)(22五、主元法.例 11、分解因式： 5 -229103yxxy解法
7、一：以 为主元 2 -1 x解：原式= (-5)+(-4)= -9)()(22= 1 -(5y-2)5= 1 (2y-1) 1yxy= -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)(x解法二：以 为主元 1 -1解：原式= 1 2 )2(93102x= -1+2=1)(yy= 2 (x-1)1x= 5 -(x+2) )(5= 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)2)12(练习 11、分解因式(1) (2)642y6722yy第 4 页 共 6 页 4(3) (4)613622yxyx 365622 baba六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对 型多项式的分解因式。FEyDxCyBx
8、A22条件：（1） ， ，21a1c1fF（2） ， ，cf2fa121即： 22c2f， ，Bca121 Ef11 Df11则 FyDxCyxA )( 2fcxayxa例 12、分解因式（1） 90322（2） 636解：（1） 1应用双十字相乘法： xy521， ，y35294x2原式= )1)(x（2） 662x应用双十字相乘法： y3x32， ，y23194x原式= )(x练习 12、分解因式（1） 672yx（2） 22376zz七、换元法。例 13、分解因式（1） 05)105(22xx（2） 263)1(解：（1）设 2005= ，则原式=aa= )(= 05205x（2）型如
9、的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。ebcd原式= 22)6)(7(xx设 ，则A65A72原式= = x= =2)()(练习 13、分解因式（1） )(22yyx（2） （3）90843(2 x 22)3(45(1aa第 5 页 共 6 页 5例 14、分解因式（1） 26234xx观察：此多项式的特点是关于 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式” 。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式= =)1(22xx6)()1(2x设 ，则t1t原式= =6)2（ 02= =5tx 215xx= =212 1
10、2x= )()1(xx（2） 4234x解：原式= =11412x设 ，则yx122yx原式= =34231= =)( 122x练习 14、 （1） （2）6776234xx )(234x八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1） 解法 1拆项。 解法 2添项。原式= 原式=323x 43xx= =)1()(x )()(= = 11= =412 2= =)(x )(x（2） 369x解：原式= )1()(9= )1()()1( 333 = 36x= 2)(62x练习 15、分解因式（1） （2）893 424)()()(x（3） （4）724x 221ax第 6 页 共 6 页 6（5）
11、 （6）44)(yx 44222 cbacab九、待定系数法。例 16、分解因式 613622yxyx分析：原式的前 3 项 可以分为 ，则原多项式必定可分为)2(yx )2)(3(nyxmyx解：设 =(nm =)(nmm322 =61622yxyx yx)()对比左右两边相同项的系数可得 ，解得13n2n原式= )2)(3(yx例 17、 （1）当 为何值时，多项式 能分解因式，并分解此多项式。m652ymx（2）如果 有两个因式为 和 ，求 的值。8ba12ba（1）分析：前两项可以分解为 ，故此多项式分解的形式必为)( )(byxa解：设 =65yxbax则 =2yxy)(2比较对应的系数可得： ，解得： 或6ab13m2a当 时，原多项式可以分解；1m当 时，原式 = ；)(2(yx当 时，原式=3（2）分析： 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 的一823bax cx次二项式。解：设 = )(2)1(cx则 =23 233 ，解得 ，8cba47cba =21练习 17、 （1）分解因式 2910322yxxy（2）分解因式 67522x（3）已知： 能分解成两个一次因式之积，求常数 并且分解因式。pyxy14322 p（4） 为何值时， 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。k 2522kx
