1、15二、因式分解在 第 一 章 中 ， 我 們 知 道 兩 個 x 的 一 次 式 乘 積 展 開 後 成 為 x 的 二 次 多 項式 。 反 過 來 說 ， 如 果 能 將 一 個 x 的 二 次 式 寫 成 兩 個 x 的 一 次 式 的 乘 積 ，我 們 稱 這 樣 的 過 程 為 這 個 二 次 式 的 因 式 分 解 。 此 時 ， 這 兩 個 一 次 式 都 稱為 二 次 多項式的因式，而這個二次多項式則稱為這兩個一次式的倍式。在高中的課程中，我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這種過程也稱為這個多項式的因式分解。例如：= 2x(1)2x= 3261xx(1)2
2、(3)x在國中階段做因式分解時，我們只考慮因式的係數為有理數（整數或分數）的情形。但從此以後，我們將不再要求因式的係數一定是有理數。現在來介紹幾個常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式。2-1 提公因式【從各項提公因式】如果發現每一項都有共同的因式時，我們可先將此公因式提出。【範例 1】因式分解下列多項式：(1) (2) 25x2()()ab因式分解乘積展開因式分解乘積展開16(3) 23()()xyx【解】 (1) = = 5(5)(2) = (a b)( a b) 2( a b)2()()ab= (a b)(a b) 2= (a b)(a b 2)(3) = 23()()x
3、yx23(yx= )1)y= 2(【分組提公因式】當 各 項 沒 有 公 因 式 時 ， 可 嘗 試 分 組 或 去 括 號 重 新 分 組 ， 使 得 每 組 之 間有 公 因 式 。【範例 2】因式分解下列多項式：(1) (2) 321x25410xy(3) (4) 3ax22()()zxy【解】 (1) = 322()1= (2) 方法一：= 25410xy(25)(410)xy= = ()方法二：= （交換律）25410xy(24)(510)xyx= ()(2)= 5xy(3) 方法一：= 23ax2(3)()aax17= (23)()xax= 1方法二：= 23ax2()(3)axx
4、= 1= ()(4) 可嘗試去括號展開後，再重新分組。= 22(1)()xyzxy22xzy= ()()z= = xyzyx= ()從上面的例子我們可以看出，某些多項式可能有不只一種分組的方式來做因式分解。【拆項後分組提公因式】有時候，可嘗試先將多項式中某一項拆開後，再利用分組提公因式。【範例 3】因式分解下列多項式：(1) (2) 4321xx432xx【解】 (1) 432= 22()x= 22(1)()xx= (2) 243= xx22)(x= 22()(3)18= 22(3)(1xx= 1)= 2事實上，範例 3 的第(2)題也可用分組的方式來因式分解：= (x4 x2 2) (3x3
5、 3x)42x= (x2 1)(x2 2) 3x(x2 1)= (x2 1)(x2 3x 2)= (x 1)(x 1)(x 1)(x 2)= (x 1)2(x 2)(x 1)【類題練習】因式分解下列多項式：(1) (2) 43265xx432716xx【家庭作業】因式分解下列多項式：1. 2. 236ab(2)34()abab3. 4. 2()3)a 65. 6. 21(xyzxy25x7. 8. 432 xaba3)()(9. 10. )14)()( 123192-2 十字交乘法因 為 大 家 都 已 熟 悉 十 字 交 乘 法 ， 所 以 在 這 裡 只 舉 例 ， 而 不 做 文 字 說
6、 明 。【二次三項式】【範例 1】因式分解下列多項式：(1) (2) 290x2615xy【解】 (1) = ()10x(2) = 265xy(3)23yx【類題練習】因式分解下列多項式：(1) (2) 251x2380x【家庭作業】因式分解下列多項式：1. 2. 2510x2()axb3. 4. ()3()5yx93545. 6. 2274ab 2417. 8. ()1 7)()(2xx9. xyyx6910x35yx202-3 利用乘法公式對於某些多項式，我們可直接利用乘法公式來做因式分解。【完全平方】 22()abab【範例 1】因式分解下列各式： (1) (2) 269a22419xy
7、(3) ()(2)9()xyxy【解】 (1) = = 2 23a2a(2) = 24192()()(3)xy= 2(3) 2 2()6()9()xyxy= 3xy= 2()()= （或寫成 ）25xy2(5)y【平方差】 2()abab【範例 2】因式分解下列各式：(1) (2) (3) 22()xy29()a22xyz【解】 (1) = )xy= ()(= 2= ()xy= 421(2 ) = 29()a23()a= ()= = (5)1(3) = 22xyz22()xyz= = ()()= xyz【立方差、立方和】= 22()ab3ab= 【範例 3】因式分解下列各式：(1) (2) (
8、3) 31x38ab6xy【解】 (1) = 3= 22()1)x= (2) = 38ab33()= 22()ab= ()4(3) = 6xy3232y= ()x= 2222)()yxy【類題練習 1】因式分解下列各式：(1) (2) 32x64ab在範例 3 的第(3)題中，也可以將 寫成 ，因此得到：6xy2323()xy22= 6xy2323()y= 22()()xy= 244顯 然 的 ， 可 以 再 分 解 ， 我 們 將 在 下 一 個 單 元 裡 ， 介 紹 它 的424xy分解方法。【配方法】利 用 完 全 平 方 公 式 或 完 全 立 方 公 式 ， 再 配 合 平 方 差
9、 公 式 或 前 面 介 紹的 方 法 ， 可 以 處 理 一 些 特 殊 多 項 式 的 因 式 分 解 ， 這 裡 需 要 一 些 拆 項 (分 項 )或補 項 (加 減 項 )的 技 巧 ， 要 多 練 習 。【範例 4】因式分解下列多項式：(1) (2) 421a42951x【解】 (1) = 421a= 2= 2()= 21()aa= 2()1(2) = 4295x4296x= x= 22(31)= ()x= 22()1x事實上，在範例 4 的第(1)題中，所見到的= 22(1)()aa42也是一個常見的乘法公式。【類題練習 2】 因式分解下列各式：23(1) (2) 424ab42
10、91x【範例 5】因式分解下列多項式：(1) (2) 3xy4x【解】 (1) 雖然可以直接引用立方差公式來因式分解 ，我們也3xy可以用補項的概念來因式分解。= 3xy322322xyxy= ()()= 2= 3xyxy= 22()(2) 很顯然， 無法直接使用平方差公式來分解。所以，我4們嘗試用補項的方法來克服困難。= 4x422x= ()(= 22)x= x在 國 中 時 期 ， 因 為 我 們 要 求 因 式 分 解 後 的 各 個 因 式 的 係 數 皆 為 有 理 數 ，所 以 有 些 二 次 式 無 法 分 解 。如果允許因式的係數可為任意實數，那麼我們就可以用配方法來分解它。【範例 6】因式分解 。241x【解】 = 2 = 2()3= (= ()x【類題練習 3】利用配方法的技巧，來因式分解下列各式：(1) (2) (3) 3xy46x289x24【家庭作業】因式分解下列各式：1. 2. 218x 21(3)4a3. 4. 24()()bab6xy5. 6. 326x 42517. 8. 4481229z9. 10. 2()aba38x
