1、1第四章 因式分解1 、因式分解学习目标：1了解因式分解的意义，理解因式分解的概念 2. 认识因式分解与整式乘法的相互关系互逆关系预习作业：1. 分解因式的概念:把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式2. 分解因式与整式乘法有什么关系？分解因式是把一个多项式化成 积的关系。整式的乘法是把整式化成 和的关系，分解因式是整式乘法的逆变形。例 1、99 399 能被 100 整除吗？还能被哪些数整除？你是怎么得出来的？计算下列式子：（1）3 x(x-1)= ； （2） m(a+b+c)= ；（3） （ m+4）( m-4)= ；（4） （ y-3） 2= ；（5） a(a+1)(
2、a-1)= 根据上面的算式填空：（1） ma+mb+mc= ；（2）3 x2-3x= ；（3） m2-16= ；（4） a3-a= ；（5） y2-6y+9= 议一议：两种运算的联系与区别：因式分解的概念： 2例 1：下列变形是因式分解吗？为什么？（1） a+b=b+a （2）4 x2y8xy2+1=4xy(xy)+1（3） a(ab)= a2ab （4） a22ab+b2=(ab)2区别与联系：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止例 2：
3、若分解因式 ，求 m 的值。215(3)xmxn变式训练：已知关于 x 的二次三项式 3x2 +mx-n=(x+3)(3x-5),求 m,n 的值。能力提高：1、已知 x-y=2010， 201,xyxy求 的 值2、当 m 为何值时， 有一个因式为 y-4？23ym3提公因式法（一）学习目标：1. 了解公因式的意义，并能准确的确定一个多项式各项的公因式；2. 掌握因式分解的概念，会用提公因式法把多项式分解因式.3进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法预习作业1、一个多项式各项都含有 _因式，叫做这个多项式各项的_2、公因式是各项系数的_与各项都含有的字母的_的积。3
4、、如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个_提出来，从而将这个多项式化成两个因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做_4、把首项系数变为正数。（1） （ ） （2） 2xy xyyx189722（ ） （3） （ ）babann221例 1、确定下列各题中的公因式：（1） ， ，324c238（2） ，)(3nma)(42a（3） ，18nmyxnmyx14例 2、用提公因式法分解因式（1） （2）cab32318xyx632（3） （4）m261431142kkkxx4例 3、利用分解因式简化计算： X k B 1 . c o m94957例 4、如果 ，求 的值)3()9(812x
5、xnn变式训练：1分解因式：（1） （2）x217 abcba32318（3） （4）xx281243 1212nnaa拓展训练： 1利用分解因式计算： 21)()2(0012. 已知多项式 可分解为 ，求 ， 值mx42 )()(nxm3证明： 能 被 整除。1275054 计算： 201209201363提公因式法小结：1、当首项系数为负时，一般要提出负号，使剩下的括号中的第一项的系数为正，括号内其余各项都应注意改变负号。2、公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项相同字母的最低次幂的积。3、提取公因式分解因式的依据就是乘法分配律的逆用4、当把某项全部提出来后余下的系
6、数是 1，不是 0（提公因式后括号内多项式的项数与原多项式的项数一致）本节我的收获：62.2 提公因式法（二）学习目标：1.掌握用提公因式法分解因式的方法2.培养学生的观察能力和化归转化能力3.通过观察能合理进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点预习作业1把 分解因式， 这里要把多项式 看成一个整体，则_)3(2)(xba )3(x是多项式的公因式，故可分解成_2请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号，使等式成立:（1）2 a=_（ a2） （2） y x=_（ x y）（3） b+a=_（ a+b） （4） _2)(ab2)(ba（5） _ （6） _nm)(ntsts（7）
7、_ （8） _3)(xy3yx2)(qp2)(qp3一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“ ”或“” ）：为 奇 数 ）（ 为 偶 数 ）nyxxyn)_()(例 1 )(ba例 2 把下列各式分解因式:（1） （2） 23)(1)(6mn3()()xynx（3） 324()()qp变式训练1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 （ ）A. B. C. D. yx2x2yx3222yx2. 下列因式分解中正确的是 （ ）B )13(13mm )1(232 ababaC. D. xyxyx 2222 482xyx73. 用提公因式法将下列各式分解因式（1） (2) )()(qp
8、nmqpn )()(2yxyx（3） (4) )5(2)3)(2yxyxy )()(ayxyax(5) 先分解因式，再计算求值 ，其中)23(1)23(1)23()12( xxx 23x拓展训练1若 ，则 _cba2 )()()( cbacba2. 长，宽分别为 ， 的矩形，周长为 14，面积为 10，则 的值为)(ba_3三角形三边长 ， ， 满足 ，试判断这个三abc 0222bcacba角形的形状新课 标第 一 网83、 运用公式法（一）学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用平方差公式进行因式分解；本节重难点：用平方差公式进行因式分解中考考点：正向、逆向运用平方差公式
9、。预习作业：请同学们预习作业教材 P54P55 的内容：1. 平方差公式字母表示: .2. 结构特征：项数、次数、系数、符号活动内容：填空：（1） （ x+3） （ x3） = ；（2） （4 x+y） （4 xy） = ；（3） （1+2 x） （12 x）= ；（4） （3 m+2n） （3 m2n）= 根据上面式子填空：（1）9 m24n2= ；（2）16 x2y2= ；（3） x29= ；（4）14 x2= 结论：a 2b2=（a+b） （ab）平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央例 1： 把下列各式因式分解：（1）2516 x2 （2）9 a2 41b9变式训练：（1）
10、 （2）240.69abmn219ab例 2、将下列各式因式分解：（1）9（ xy） 2（ x+y） 2 （2）2 x38x 变式训练：（1） （2）22()()xmny5a注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式2、公式中的 a 和 b 可以是单项式，也可以是多项式3、各项都有公因式，一般先提公因式。例 3：已知 n 是整数，证明： 能被 8 整除。2(1)n拓展训练：1、计算：2、分解因式： 21xy3、已知 a,b,c 为ABC 的三边，且满足 ，试判断ABC 的形状。224acba)1).(1)()( 2222 043103、 运用公
11、式法（二）学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用完全平方公式进行因式分解；xK b 1.C om（3）清楚优先提取公因式，然后考虑用公式中考考点：正向、逆向运用公式，特别是配方法是必考点。预习作业：1. 完全平方公式字母表示: .2、形如 或 的式子称为 22ab2ab3. 结构特征：项数、次数、系数、符号填空：（1） （ a+b） （ a-b） = ；（2） （ a+b） 2= ；（3） （ ab） 2= ；根据上面式子填空：（1） a2b2= ；（2） a22ab+b2= ；（3） a2+2ab+b2= ；结 论：形如 a2+2ab+b2 与 a22ab+b2的式子称为
12、完全平方式a22ab+b2=（ab） 2 a2+2ab+b2=（a+b） 2完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看前方。例 1： 把下列各式因式分解：（1） x24x+4 （2）9 a2+6ab+b2（3） m2 （4）911682nm例 2、将下列各式因式分解：（1）3 ax2+6axy+3ay2 （2） x24y2+4xy 11注：优先提取公因式，然后考虑用公式例 3： 分解因式（1） （2）（3） （4）点拨：把 分解因式时：1、如果常数项 q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数 P 的符号相同2、如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异
13、号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数 P 的符号相同3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数 P变式练习：（1） （2）（3） 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。拓展训练：1、 若把代数式 化为 的形式，其中 m,k 为常数，求 m+k 的值23x2()xmk2、 已知 ，求 x,y 的值24610y2x672x2142x152px28624x 223yx234123、 当 x 为何值时，多项式 取得最小值，其最小值为多少？21x回顾与思考学习目标：（1）提高因式分解的基本运算技能（2）能熟练进
14、行因式分解方法的综合运用学习准备：1、把一个多项式化成 的形式，叫做把这个多项式分解因式。要弄清楚分解因式的概念，应把握如下特点：（1）结果一定是 的形式； 新 课 标 第 一 网（2）每个因式都是 ；（3）各因式一定要分解到 为止。2、分解因式与 是互逆关系。3、分解因式常用的方法有：（1）提公因式法：（2）应用公式法：平方差公式： 完全平方公式： （3）分组分解法：am+an+bm+bn= (4)十字相乘法： = 2()xab4、分解因式步骤：（1）首先考虑提取 ，然后再考虑套公式；（2）对于二次三项式联想到平方差公式因式分解；（3）对于二次三项式联想到完全平方公式，若不行再考虑十字相乘法
15、分解因式；（4）超过三项的多项式考虑分组分解；（5）分解完毕不要大意，检查是否分解彻底。辨析题：1、下列哪些式子的变形是因式分解？（1） x24y2=（ x+2y） （ x2y） （2） x（3 x+2y）=3 x2+2xy （3）4 m26mn+9n2 =2m（2 m3n）+9 n2 （4） m2+6mn+9n2=（ m+3n） 22、把下列各式分解因式：13（1）7 x263 （2） （ x+y） 214（ x+y）+49（3） （4） （ a2+4） 216a224yx（5） （6）（7） （8）想一想计算：1、3 200432003 2、 （2） 101+（2） 1003、已知 ，求 的值aba2例 1： 把下列各式因式分解(分组后能提公因式)（1） a2-ab+ac-bc （2）2ax-10ay+5by-bx(3) 3ax +4by+4ay+3bx (4) m2+5n-mn-5m15616yxba 2234xyyx1032x 6132x)()12ba14点拨：1、用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续进行，完成因式分解，由此合理选择分组的方法2、运算律（如加法交换律、分配律）在因式分解中起着重要的作用
