1、1分式的运算（一） 、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例 1】下列代数式中： ，是分式的有： .yxbayx1,21, 2题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当 有何值时，下列分式有意义x（1） （2） （3） （4） （5）4212x3|6xx1题型三：考查分式的值为 0 的条件【例 3】当 取何值时，下列分式的值为 0. x（1） （2） （3）42|x6532x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】 （1）当 为何值时，分式 为正；xx8（2）当 为何值时，分式 为负；2)1(35（3）当 为何值时，分式 为非负数.xx练习：1当 取何值时，下列分式有意义：x（1） （
2、2） （3）3|61)(32xx12当 为何值时，下列分式的值为零：x（1） （2）4|1|5562x3解下列不等式（1） （2）0|x 032（二）分式的基本性质及有关题型1分式的基本性质： MBA2分式的变号法则： baba题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1） （2）yx432ba04.32题型二：分数的系数变号【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1） （2） （3）yxbaba题型三：化简求值题【例 3】已知： ，求 的值.51yx2提示：整体代入， ，转化出 .yx31【例 4】已知： ，
3、求 的值.2121x【例 5】若 ，求 的值.0)3(|xyx y4练习：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1） （2）yx5.08.3ba10453.2已知： ，求 的值.31x2x3已知： ，求 的值.baab34若 ，求 的值.016255如果 ，试化简 .1xx2| x|1（三）分式的运算1确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例 1】将下列各式分别通分.（1） ；
4、（2） ；cbac25,32 ab2,（3） ； （4）,1,xxx a1,题型二：约分【例 2】约分：3（1） ；（3） ；（3） .206xynm262x题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（1） ； （2） ；422)()abccba 223)()()( xyxya（3） ； （4） ；mnnm 1a（5） ；87432111xxx（6） ；)5()()(（7） 1242xx题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（1）已知： ，求分子 的值；1x )12()4(812xxx（2）已知： ，求 的值；432zy223zy（3）已知： ，试求 的值.01a)1(aa题型五：求待定字母的值
5、【例 5】若 ，试求 的值.1132xNMx,练习：1计算（1） ； （2） ；)1(23)()1(25aa aba22（3） ； （4） ；bcbc （5） ； （6） ；)4)(4(aa 211xx（7） .)2(1)3(12)3(21xxx2先化简后求值4（1） ，其中 满足 .1242aaa02a（2）已知 ，求 的值.3:yx 232)()( yxyxyx3已知： ，试求 、 的值.12)12(45BxAAB4当 为何整数时，代数式 的值是整数，并求出这个整数值.a80539a（四） 、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（1） （2）312)()(bca
6、 23213)5()(zxyzyx（3） （4）4253)()(ba 6)()()(题型二：化简求值题【例 2】已知 ，求（1） 的值；（2）求 的值.5xx4x题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1） ；（2） .3)10.8()10(3223)10()104(练习：1计算：（1） 208702 4)5.()31(|)51(3( （2） 321)3(nmn（3） 2323)(ab（4） 21)()(yx2已知 ，求（1） ， （2） 的值.0521x2x第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析5题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程（1） ；（2） ；（3） ；（4）x30
7、1x12xx453提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例 2】解下列方程（1） ； （2）4x 56910867xx提示：（1）换元法，设 ；（2）裂项法， .yx17【例 3】解下列方程组)3(412)(xzyx题型三：求待定字母的值【例 4】若关于 的分式方程 有增根，求 的值.x312xmm【例 5】若分式方程 的解是正数，求 的取值范围.aa提示： 且 ， 且 .032ax2x4a题型四：解含有字母系数的方程【例 6】解关于 的方程x)0(dcxba提示：（1） 是已知数；（2） .b, 0dc题型五：列分式方程解
8、应用题练习：1解下列方程：（1） ； （2） ；021xx 342x（3） ； （4）3 1772x6（5） （6）213542x 41251xx（7） 879x2解关于 的方程：x（1） ；（2） .ba)(a)(1baxa3如果解关于 的方程 会产生增根，求 的值.x2k k4当 为何值时，关于 的方程 的解为非负数.k 1)2(3xkx5已知关于 的分式方程 无解，试求 的值.xa1a（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例 1解方程： 231
9、x二、化归法例 2解方程： 012三、左边通分法例 3：解方程： 87x四、分子对等法例 4解方程： )(1baba五、观察比较法例 5解方程： 47254x六、分离常数法例 6解方程： 839821xx七、分组通分法例 7解方程： 415（三）分式方程求待定字母值的方法例 1若分式方程 无解，求 的值。xmx21例 2若关于 的方程 不会产生增根，求 的值。1k k例 3若关于 分式方程 有增根，求 的值。x4321xx7例 4若关于 的方程 有增根 ，求 的值。x15122xkx1xk分式题型一：（1）1如果分式 无意义，则 x 应等于（ ）21xA. 1 B. 1 C. 2 D. 02.
10、若分式 的值为 0，则 的取值范围为 （ ）2()x(A) (B) (C) (D) 1或1x2x2x3把分式 的 x 系数化为整数，那么 = 0.3250.1354不改变分式的值，使 的分子和分母中 x 的最高次项的系数都是正数，237应该是（ ）A. B. C. D. 217x21x2172317x5将分式 化简，结果为（ ）342abA. B. C. D. ab342ab436ab436ab6、已知 ， ，则 y 等于（ ）mx1my1A、 B、 C、 D、2x1x1x7已知 ，那么分式 的值等于_；240xy8若 ，化简 得（ ）0|xxA. 2 B. 2 C. 0 D. 19 ，则 A
11、=_,B=_.531AxB10. 如果 0，那么 的值是 （ ）yyx(A) 0 (B) 正数 (C) 负数 (D) 不能确定题型二：1解下列方程：（1） （2）572x3211xxy8（3） （4） 12x 143x（5） （6）3xx 23（7） 关于 x 的方程 的解是 x = 1, 则 a = _34a题型三：1.若方程 无解，则 的值为_12mxm2若 无解，则 m 的值为_043关于 x 的方程 会产生增根，则 m 为_234x4若关于 x 的方程 产生增根，则 m _；15若分式方程 有增根，则 的值为_；xaa6 k取何值时，方程 xk212会产生增根？题型四：1计算（1）2a
12、b （2）23()ba224693aa（3） （4）4x 23()xx（5） （6）21a214a2计算（1） 先化简，再求值： ，其中 a=-1214a（2） 当 时，代数式 的值为多少？56,19xy4222xyx（3） 若 ，求 的值：2402x（4） 已知 ，则分式 的值为 3x21（5） 先化简，再求值：9，其中 a 满足：2142aa210a（6）有这样一道题“计算 的值，其中 ”。甲同学把条件 221xx25x“x=2005”错抄成”x=2050“，但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？试一试，你就会有收获。题型五：1、 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时 V1千米
13、，下坡时的速度为每小时 V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A、 千米 B、 千米 C、 千米 D、无法确定21v21v21v2赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完当他读了一半时，发现平均每天要多读 21 页才能在借期内读完他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读 x 页，则下面所列方程中，正确的是-（ ）A 14 B 142140 2180xC 14 D 1x3、 A、B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速
14、度为 x 千米/时，则可列方程（ ）A、 48xB、 98xC、9D、 946x4计算机生产车间制造 a 个零件，原计划每天造 x 个，后来供货要每天多造 b 个，则可提前几天完成？5甲、乙二人分别从相距 16 千米的 A、 B 两地同时相向而行甲出发 4 小时甲比乙每小时乙相遇，若甲的速度是乙的速度的 2 倍，那么甲，乙两人的速度各是多少？6有一项工作需要在规定日期内完成，如果甲单独做，刚好如期完成；如果乙单独做，就要超过规定日期 3 天。现在由甲、乙两人合做 2 天，剩下的工作由乙单独做，刚好如期完成，问规定日期是几天7.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付
15、甲工程队工程款 1.5 万元, 乙工程队工程款 1.1 万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 5 天；（3）若甲、乙两队合做 4 天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？8铭润超市用 5000 元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000 元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了 0.5 元，购进苹果数量是试销时的 2 倍（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?（2）如果超市将该品种苹果按每千克 7
16、元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的10400 千克按定价的七折（“七折” 即定价的 70）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？9金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做 10 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 30 天可以完成.(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为 0.84 万元，乙队每天的施工费用为 0.56 万元.工程预算的施工费用为 50 万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.10在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标经测算：甲队单独完成这项工程需要 60 天；若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合做 24 天可完成（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元若该工程计划在 70 天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程11
