1、2014-2015 学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题 3 分）1 （3 分）若 P=1，2，3，Q=1 ，3，9 ，则 PQ=2 （3 分）函数 y= 的定义域为3 （3 分）写出命题“若 a0 且 b0，则 ab0”的否命题：4 （3 分）设全集 U=2，3，a 2+2a3，集合 A=2，|a+1|，C UA=5，则 a=5 （3 分）若 f（x+1 ）=x 2，则 f（3）=6 （3 分）已知集合 M=y|y=x21，xR， ，则 MN=7 （3 分）若 x1，则 x+ 的最小值是8 （3 分）已知偶函数 f（x）在 x0 时的解析式为 f（x ）=x 3+x2
2、，则 x0 时，f （x）的解析式为9 （3 分）定义在 R 上的奇函数 f（x） 在0，+ ） 上的图象如图所示，则不等式 xf（x）0 的解集是10 （3 分）己知不等式 ax25x+b0 的解集是x| 3x2，则不等式 bx25x+a0 的解集是11 （3 分）定义：关于 x 的不等式|x A|B 的解集叫 A 的 B 邻域若 a+b2 的 a+b 邻域为区间（2， 2） ，则 a2+b2 的最小值是12 （3 分）给定集合 A，若对于任意 a，bA ，有 a+bA，且 abA，则称集合 A 为闭集合，给出如下四个结论：集合 A=4，2，0，2，4为闭集合； 集合 A=n|n=3k，kZ
3、为闭集合；若集合 A1，A 2 为闭集合，则 A1A2 为闭集合；若集合 A1，A 2 为闭集合，且 A1R，A 2R，则存在 cR，使得 c（A 1A2） 其中正确结论的序号是二、选择题：（每小题 3 分）13 （3 分）若 a、b、c R，且 ab 则下列不等式中，一定成立的是（）A a+bbc B acbc C D （ab）c 2014 （3 分）已知函数 f（x） = ，则 x=1 是 f（x）=2 成立的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件15 （3 分）下列命题中错误的是（）A B x2+C 的最小值为 2（xR） D 的最小值为 2（x
4、R）16 （3 分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数” ，那么函数解析式为 y=2x2+1，值域为5，19的“ 孪生函数” 共有（）A 4 个 B 6 个 C 8 个 D 9 个三、简答题：（第 17 题 8 分，第 18、19 题每题 10 分，第 20、21 题每题 12 分 ）17 （8 分）解不等式组 18 （10 分）已知函数 f（x） =ax2+2ax3，对任意实数 x 都有 f（x）0 成立，求实数 a 的取值范围19 （10 分）已知集合 A=x|2x5，集合 B=x|p+1x2p1，若 AB=B，求实数 p 的取值范围20 （12 分
5、）已知 ，H（x）=f（x）g（x） （1）画出函数 y=H（x 1）+2 的图象；（2）试讨论方程 H（x1）+2=m 根的个数21 （12 分）近年来，某企业每年消耗电费约 24 万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15 年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为 0.5为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费 C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积 x（单位：平方米）之间的函数关系是 C（x）= （x0，k 为常数） 记 F 为该村安装这
6、种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和（1）试解释 C（0）的实际意义，并建立 F 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？2014-2015 学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题 3 分）1 （3 分）若 P=1，2，3，Q=1 ，3，9 ，则 PQ=1，2，3，9考点： 并集及其运算 专题： 集合分析： 直接利用并集运算求解解答： 解：P=1，2，3，Q=1，3，9，则 PQ=1，2 ，3 1，3，9=1 ，2，3，9 故答案为：1，2，3，9点评： 本题考查了并集及其运算，是基础的
7、计算题2 （3 分）函数 y= 的定义域为x|x1考点： 函数的定义域及其求法 专题： 计算题分析： 由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于 0，列出不等式求出 x 即可解答： 解：要是函数有意义，须 x10，解得 x1，故函数的定义域为x|x1故答案为：x|x1点评： 本题考查了求函数定义域的主要方法，属于简单题3 （3 分）写出命题“若 a0 且 b0，则 ab0”的否命题： 若 a0 或 b0，则 ab0考点： 四种命题间的逆否关系 专题： 简易逻辑分析： 根据命题“若 p，则 q”的否命题是“若p，则q”，直接写出即可解答： 解：命题“ 若 a0 且 b0，则 ab0”，它的否命题
8、是：a0 或 b0，则 ab0故答案为：若 a0 或 b0，则 ab0点评： 本题考查了四种命题之间的关系，解题时应根据四种命题的相互关系进行解答，是基础题4 （3 分）设全集 U=2，3，a 2+2a3，集合 A=2，|a+1|，C UA=5，则 a=4 或 2考点： 集合关系中的参数取值问题 专题： 计算题分析： 根据补集的性质 A（C UA）=U，再根据集合相等的概念列方程组，从而可得结论解答： 解：由题意，根据补集的性质 A（C UA）=U， ， a=4 或 2故答案为：4 或 2点评： 本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念是基础题5
9、 （3 分）若 f（x+1 ）=x 2，则 f（3）=4考点： 塞瓦定理；函数的值 专题： 函数的性质及应用分析： 本题可以先求出函数 f（x）的解析式，再求出 f（3）的值，也可以直接令 x+1=3 去求解，得到本题结论解答： 解：f（x+1）=x 2，令 x+1=t，则 x=t1，f（t）=（t1） 2，f（3）=（31） 2=4故答案为：4点评： 本题考查了函数解析式和函数值的求法，本题难度不大，属于基础题6 （3 分）已知集合 M=y|y=x21，xR， ，则 MN=考点： 交集及其运算 专题： 计算题分析： 先求出集合 M=y|y=x21，x R=y|y1， =x| ，再由并集的运算
10、法则计算 MN解答： 解：集合 M=y|y=x21，x R=y|y1，=x| ，MN= 故答案为： 点评： 本题考查集合的交集的运用，解题时要认真审题，先求出集合 M=y|y=x21，x R=y|y1， =x| ，再由并集的运算法则计算 MN7 （3 分）若 x1，则 x+ 的最小值是 3考点： 基本不等式 专题： 计算题；不等式的解法及应用分析： x+ =x1+ +1，利用基本不等式可求函数的最值解答： 解：x1，x+ =x1+ +1 +1=3，当且仅当 x1= 即 x=2 时取等号，x=2 时 x+ 取得最小值 3，故答案为：3点评： 该题考查基本不等式求函数的最值，属基础题，熟记基本不等
11、式求最值的条件是解题关键8 （3 分）已知偶函数 f（x）在 x0 时的解析式为 f（x ）=x 3+x2，则 x0 时，f （x）的解析式为 f（x）= x3+x2考点： 函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法 专题： 计算题分析： 设 x0，则x0，利用 x0 时，函数的解析式，求出 f（ x）的解析式，再利用偶函数的定义求即得 x0 时的解析式解答： 解：由题意，设 x0，则x0 x 0 时的解析式为 f（x）=x 3+x2，f（ x）= x3+x2，f（ x）是偶函数 f（ x）=x 3+x2，故答案为 f（x）= x3+x2点评： 本题的考点是函数奇偶性的性质，主要考查偶函数的
12、定义，求函数的解析式，应掌握求哪设哪9 （3 分）定义在 R 上的奇函数 f（x） 在0，+ ） 上的图象如图所示，则不等式 xf（x）0 的解集是（， 2）（2，+） 考点： 奇偶性与单调性的综合 专题： 图表型分析： 由 f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出 y 轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出 f（x）的正负，由图象可求出 x 的范围得结果解答： 解：（1）x0 时，f（x）0， x2，（2）x0 时，f（x）0，x 2，不等式 xf（x）0 的解集为（ ，2）（2，+ ） 故答案为：（， 2）（2，+） 点评： 本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用奇函数的
13、图象关于原点对称，偶函数的图象关于 Y 轴对称10 （3 分）己知不等式 ax25x+b0 的解集是x| 3x2，则不等式 bx25x+a0 的解集是x| 或 考点： 一元二次不等式的应用 专题： 不等式的解法及应用分析： 根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集解答： 解：ax 25x+b0 的解集为x|3x 2，ax25x+b=0 的根为3、 2，32= ， （3）（ 2）=a=1，b=6不等式 bx25x+a0 可化为 6x25x106x2+5x+10 或故答案为：x| 或 点评： 本题考查的知识点是一
14、元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出 a，b 的值，是解答本题的关键11 （3 分）定义：关于 x 的不等式|x A|B 的解集叫 A 的 B 邻域若 a+b2 的 a+b 邻域为区间（2， 2） ，则 a2+b2 的最小值是 2考点： 绝对值不等式的解法 专题： 计算题分析： 根据新定义由题意得：|x （a+b2）| a+b 的解集为区间（2，2） ，从而得到关于 a，b 的等量关系，再利用基本不等式求得 a2+b2 的最小值解答： 解：由题意得：|x （ a+b2）|a+b 的解集为区间（ 2，2） ，|x（a+b2）| a+b （2，2（a+b）2）
15、，2（ a+b） 2=2，a+b=2 ，a2+b2 （a+b） 2=2，当且仅当 a=b 时取等号，则 a2+b2 的最小值是 2故答案为：2点评： 本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想属于基础题12 （3 分）给定集合 A，若对于任意 a，bA ，有 a+bA，且 abA，则称集合 A 为闭集合，给出如下四个结论：集合 A=4，2，0，2，4为闭集合； 集合 A=n|n=3k，kZ为闭集合；若集合 A1，A 2 为闭集合，则 A1A2 为闭集合；若集合 A1，A 2 为闭集合，且 A1R，A 2R，则存在 cR，使得 c（A 1A2） 其中
16、正确结论的序号是考点： 集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断 专题： 压轴题；新定义分析： 本题考查的是新定义和集合知识综合的问题，在解答时首先要明确闭集合是什么，然后严格按照题目当中对“闭集合”的定义逐一验证即可解答： 解：对于：4+ （2）=6A ，故不是闭集合，故错；对于：由于任意两个 3 的倍数，它们的和、差仍是 3 的倍数，故是闭集合，故正确；对于：假设 A1=n|n=3k，kZ ，A 2=n|n=5k，k Z，3A 1，5A 2，但是，3+5A 1A2，则 A1A2 不是闭集合，故错对于：设集合 A1=A2=R，都为闭集合，但不存在 cR，使得 c（A 1A2） ；故不正
17、确正确结论的序号是故答案为：点评： 本题考查的是集合知识和新定义的问题在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳二、选择题：（每小题 3 分）13 （3 分）若 a、b、c R，且 ab 则下列不等式中，一定成立的是（）A a+bbc B acbc C D （ab）c 20考点： 不等关系与不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： 利用不等式的性质即可得出解答： 解：ab，ab0又 c20，（ ab）c 20故选：D点评： 本题考查了不等式的性质，属于基础题14 （3 分）已知函数 f（x） = ，则 x=1 是 f（x
18、）=2 成立的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 根据分段函数的表达式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：当 x=1 时，f（x）=2，成立，当 x=4 时，满足 f（4）=2，但 x=1 不成立，x=1 是 f（x）=2 成立的充分不必要条件，故选：A点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础15 （3 分）下列命题中错误的是（）A B x2+C 的最小值为 2（xR） D 的最小值为 2（xR）考点： 基本不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： 利
19、用基本不等式的性质即可判断出，使用时注意“一正二定三相等”的法则解答： 解：A. =|x|+ =2，当且仅当|x|=1 时取等号，正确；B. ，当且仅当 |x|=1 时取等号，正确；C. = 2，当且仅当 x=0 时取等号，正确；D. = 2，因此最小值大于 2，不正确故选：D点评： 本题考查了基本不等式的性质、使用时注意“一正二定三相等”的法则，属于基础题16 （3 分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数” ，那么函数解析式为 y=2x2+1，值域为5，19的“ 孪生函数” 共有（）A 4 个 B 6 个 C 8 个 D 9 个考点： 函数的表示方法；
20、函数的定义域及其求法；函数的值域 分析： 读懂“孪生函数”的定义本题就很简单了，所谓的“ 孪生函数”无非就是利用相同的函数值和相同的解析式解个方程罢了解答： 解：令 2x2+1=5 得 x= ，令 2x2+1=19 得 x=3，使得函数值为 5 的有三种情况，即 x= ， ， ，使得函数值为 19 的也有三种情况，即 x=3， 3，3，则“孪生函数” 共有 33=9 个故选 D点评： 新定义问题一般都是表面翻新，但解决问题的知识点不变，解决新定义问题的关键就是读懂定义，考查的是学生对知识应变迁移能力属于中低档题较多三、简答题：（第 17 题 8 分，第 18、19 题每题 10 分，第 20、
21、21 题每题 12 分 ）17 （8 分）解不等式组 考点： 其他不等式的解法 专题： 计算题分析： 解好不等式组 里边每一个不等式，最后取其交集即可解答： 解：由原不等式组 x2原不等式组的解集为（2， +）点评： 本题考查不等式组的解法，着重考查分式不等式与一元二次不等式的解法，考查集合的运算，属于中档题18 （10 分）已知函数 f（x） =ax2+2ax3，对任意实数 x 都有 f（x）0 成立，求实数 a 的取值范围考点： 函数恒成立问题 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 直接分二次项系数为 0 和不为 0 求解，当二次项系数不为 0 时，由 a0，且判别式小于 0
22、 联立不等式组得答案解答： 解：当 a=0 时， 30 恒成立； 当 a0 时，要使对任意实数 x 都有 f（x）0 成立，则 ，解得3 a0a（3 ，0点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用“三个二次”求解参数的范围问题，是中档题19 （10 分）已知集合 A=x|2x5，集合 B=x|p+1x2p1，若 AB=B，求实数 p 的取值范围考点： 集合关系中的参数取值问题 专题： 计算题；分类讨论分析： 根据题意，由集合的性质，可得若满足 AB=B，则 BA，进而分：p+12p1，p+1=2p1， p+12p1，三种情况讨论，讨论时，先求出 p 的取值范围，进而可
23、得 B，讨论集合 B 与 A 的关系可得这种情况下 p 的取值范围，对三种情况下求得的 p的范围求并集可得答案解答： 解：根据题意，若 AB=B，则 BA；分情况讨论：当 p+12p1 时，即 p2 时，B=，此时 BA，则 AB=B，则 p2 时，符合题意；当 p+1=2p1 时，即 p=2 时，B=x|3x3=3，此时 BA，则 AB=B，则 p=2 时，符合题意；当 p+12p 1 时，即 p2 时，B=x|p+1x2p1，若 BA，则有 ，解可得3p3，又由 p2，则当 2p3 时，符合题意；综合可得，当 p3 时，A B=B 成立点评： 本题考查集合的包含关系的运用，涉及参数取值的问
24、题，易错点为遗漏 B=的情况20 （12 分）已知 ，H（x）=f（x）g（x） （1）画出函数 y=H（x 1）+2 的图象；（2）试讨论方程 H（x1）+2=m 根的个数考点： 根的存在性及根的个数判断；函数的图象 专题： 作图题；数形结合分析： （1）根据表达式，得出函数 f（x）的定义域是（2，+） ，将 H（x）化成分段函数的形式从而得出函数 y=H（x1）+2 的分段表达式，进而可以作出它的图象；（2）根据图象可以得到，当 m=2 或 m10 时，直线 y=m 与函数 y=H（x1）+2 图象有且仅有一个公共点；当 2m10 时，直线 y=m 与函数 y=H（x1）+2 图象有两个
25、公共点；当m2 时，直线 y=m 与函数 y=H（x1）+2 图象没有公共点由此则不难得出方程根的个数了解答： 解：（1）H（x）的定义域为 x|x 2y=H（x 1）+2=图象如下：（2）在同一坐标系里作出直线 y=m，观察它与函数 y=H（x）图象的交点的个数，可得当 m=2 或 m10 时，直线 y=m 与函数 y=H（x1）+2 图象有且仅有一个公共点；当2m10 时，直线 y=m 与函数 y=H（x1）+2 图象有两个公共点；当 m2 时，直线y=m 与函数 y=H（x1）+2 图象没有一个公共点由此可得：当 m210，+）时，方程 H（x1）+2=m 有且仅有一个实数根；当 m2，
26、10）时，方程 H（x1）+2=m 有且仅有两个实数根；当 m（，2 ）时，方程 H（x1）+2=m 有 0 个实数根点评： 本题考查了函数的图象与根的分布等等知识点，属于中档题利用图象观察，得到方程根的个数，是数学常用的思想方法，也是这类问题的常用解法21 （12 分）近年来，某企业每年消耗电费约 24 万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15 年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为 0.5为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费 C（单位：万元
27、）与安装的这种太阳能电池板的面积 x（单位：平方米）之间的函数关系是 C（x）= （x0，k 为常数） 记 F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和（1）试解释 C（0）的实际意义，并建立 F 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？考点： 函数最值的应用 专题： 应用题；函数的性质及应用分析： （1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用，依题意，C（0）= =24，可求得 k，从而得到 F 关于 x 的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得 F 取得的最小值及 F 取得最小值时 x 的值解答： 解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费（2 分）由 C（0）= =24，得 k=2400 （3 分）所以 F=15 +0.5x= +0.5x，x 0（7 分）（2）因为 +0.5（x+5 ）2.52 2.5=57.5，（10 分）当且仅当 =0.5（x+5 ） ，即 x=55 时取等号 （13 分）所以当 x 为 55 平方米时，F 取得最小值为 57.5 万元（14 分）点评： 本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题
