1、辽宁省葫芦岛市 2018 年普通高中高三第二次模拟考试数学理第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出集合 ，即可得到 . 详解： ，的子集个数为 故选 C.点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题.2. 若复数 满足 （ 为虚数单位)，则 的共轭复数 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求
2、的共轭复数，即可得到 在复平面内对应的点所在的象限详解：由题意， 则 的共轭复数 对应的点在第二象限.故选 B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3. 已知实数 满足 ，则下列关系式中恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用指数函数即可得出 的大小关系，进而判断出结论详解：由题 ，对于 A，当 时，满足 ，但 不成立B若 ，则等价为 成立，当 时，满足 ，但不成立C当 时，满足 ，但 不成立D当 时， 恒成立，故选 D.点睛：本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键属于基础
3、题4. 已知双曲线 ，若过一、三象限的渐近线的倾斜角 ，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：求得双曲线的渐近线方程，由题意可得 ，再由离心率公式和 的关系，即可得到所求范围详解：双曲线 的渐近线方程为 由一条渐近线的倾斜角的取值范围 ，则 即为 即有 即则 即故选 A点睛：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题5. “ ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次 函数，就产生一个在区间内的随机数.我们产生 个样本点 ，其中 .在这 个样本点中，满足 的样本点的个数为 ，当 足够大时,可估算圆周率 的近似值为
4、（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题可知本题利用随机模拟实验的方法求任取 上的 ，求 的概率，计算 发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案详解： 发生的概率为 ，在这 个样本点中，满足 的样本点的个数为 ，当 足够大时,可估算圆周率 的近似值为， ，即 .故选 A点睛：本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，属中档题6. 已知函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数 的周期为B. 函数 为偶函数C. 函数 在 上单调递增D. 函数 的图象关于点 对称【答案】C【解析】分析：观察图象由最值求 ，然后由函数所过的点 ，求出 ，可求
5、函数的解析式，进而研究函数性质即可得出结论详解：观察图象可得，函数的最小值-2，所以 ，又由图像可知函数过 ，即 结合 可得 ，则 ，显然A 选项错误；对于 B， 不是偶函数；对于 D ,，当 故 D 错误，由此可知选 C.点睛：本题主要考查了由函数的部分图象求函数的解析式，进而研究函数性质，属于中档题7. 王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个 米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听
6、了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求， 据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】C【解析】分析：本题假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒的推测是正确的，从而排出出场顺序故跑第三棒的人是丙.选 C.点睛：本题考查合情推理，可以假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒，得到正确结果8. 在 中，内角 的对边分别为 .若 ，且 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据正弦定理可得 ，即 ，即 ，即 为锐角故选 A9. 条形码 是将宽度不等的多个黑条和空白，
7、按照一定的编码规则排列，用以表达一组信息的图形标识符。常见的条形码是“ ”通用代码，它是由从左到右排列的 13 个数字（用 表示）组成，其中 是校验码，用来校验前 12 个数字代码的正确性.下面的框图是计算第 13 位校验码的程序框图，框图中符号 表示不超过 的最大整数(例如).现有一条形码如图（1)所示 ,其中第 6 个数被污损， 那么这个被污损数字 是（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】分析：由已知中程序框图可得：S 是条件形码中前 12 偶数位数字的和，T 是条件形码中前 12 奇数位数字的和， 表示 的个数数字，结合 可得答案详解：由已知中程序框图可得：是条件
8、形码中前 12 偶数位数字的和，即 ，是条件形码中前 12 奇数位数字的和，即 ， ，表示 的个数数字， ，则 ，故 ，故选 B点睛：本题考查的知识点是程序框图，根据已知分析出框图中各个变量的意义，是解答的关键10. 某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为 1，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面，且底面是直角三角形的三棱锥，求出该三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积详解： 根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高 ，且侧面 底面 ， 的外接圆的圆心为斜边的
9、中点 ，设该几何体的外接球的球心为 底面 ，设 外接球的半径为 则 解得 ，外接球的表面积 故选 C点睛：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图还原出几何体的结构特征，是基础题11. 在长方体 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 为矩形内部（含边界）一点， 为 中点， 为空间任一点且 ，三棱锥 的体积的最大值记为 ，则关于函数 ，下列结论确的是（ ）A. 为奇函数 B. 在 上不单调；C. D. 【答案】D【解析】分析：根据 RtADPRtPMC，PD=2PC，利用体积公式求解得出 POCD，求解OP 最值，根据勾股定理得出：3h 2=-3x2+48x-144，0x6，利
10、用函数求解即可，则 在以 为球心的球面上，而 到面 的距离为 ，则由此可知 A,B,C 选项都不正确，而 .故选 D.点睛：本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题12. 已知函数 ，在区间 上任取三个数 均存在以 为边长的三角形，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由 得 ，由导数性质得由题意得 且由此能求出 的取值范围详解：函数 ， ， ，由 得 x=1，时， 时， ，在区间 上任取三个数 均存在以 为边长的三角形，联立，得 故选 D点睛：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数
11、性质的合理运用第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 ，则在 的展开式中， 的系数是_(用数字作答）【答案】84【解析】分析：由定积分的求出积分值，从而求出 的值，再用展开式的通项求常数项详解：由题 ，则 的展开式的通项公式为，令 则 的系数是即答案为 84.点睛：本题考点是定积分，以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法14. 已知 满足约束条件 当目标函数 在该约束条件下取到最小值 4, 的最小值为_【答案】【解析】分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到 ， 再由乘 1 法和
12、基本不等式，即可得到所求的最小值详解： 由约束条件 ，作可行域如图，联立 解得： 由图可知，当目标函数过点 时， 最小则 ，即有 （当且仅当 取得最小值） 即答案为 .点睛：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了基本不等式的应用，是中档题15. 下列说法：线性回归方程 必过 ；命题“ ”的否定是“ ” 相关系数 越小，表明两个变量相关性越弱；在一个 列联表中，由计算得 ，则有 的把握认为这两个变量间有关系；其中正确的说法是_(把你认为正确的结论都写在横线上）本题可参考独立性检验临界值表：【答案】【解析】分析：根据性回归方程，独立性检验，相关关系，以及
13、命题的否定等知识，选出正确的，得到结果详解：线性回归方程 必过样本中心点 ，故正确命题“ ”的否定是“ ” 故错误相关系数 r 绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；在一个 列联表中，由计算得 ，则有 的把握认为这两个变量间有关系，正确.故答案为.点睛：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、独立性检验、回归直线方程等知识点，属于中档题16. 如图，已知 为 中点，以 为直径在 同侧作半圆， 分别为两半圆上的动点， （不含端点 )，且 ，则 的最大值为_【答案】【解析】分析：以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以 为直径的半圆
14、方程，以 为直径的半圆方程，设出 的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得 ，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值详解： 以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得以 为直径的半圆方程为 以 为直径的半圆方程为（ ，设 可得 即有 即为 即有 可得 ，即 ，则 可得 即 时，的最大值为 ，故答案为 点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设等差
15、数列 的前 项和为 ，且 成等差数列， .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) a n=2n-1 (2) 【解析】分析：设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由 成等差数列，可知, 由 得： ， 由此解得 ， ，即可得到数列的通项公式；令 ，利用错位相减法可求数列 的前 项和 .详解：设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由 成等差数列，可知 , 由得： ，解得: 因此: (2)令 .则 ， ,得所以点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用18. 如图，在多面体 中，底面 是梯形， ,，平面
16、 平面 ，四边形 是菱形， .（1）求证： ；（2）求二面角 的平面角的正切值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：(1 依题意，在等腰梯形 中， ， ，利用勾股定理可证 ，又平面 平面 ，故 ，即得 ，由四边形ACEF 是菱形， ，可证 即可证明 ；(2 取 的中点 ，可证 ，以 、 、 分别为 、 、轴建立空间直角坐标系，求得平面 BEF 和平面 DEF 的一个法向量，由向量夹角公式得到二面角 的平面角的余弦值，进而得到二面角 的平面角的正切值.详解：(1 题意，在等腰梯形 中， ， ， ， 连接 ，四边形 ACEF 是菱形， ，(2 取 的中点 ，连接 ，因为四边形 是菱形，且 .
17、所以由平面几何易知 ， ，. 故此可以 、 、 分别为 、 、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：设平面 BEF 和平面 DEF 的法向量分别为同理，故二面角 的平面角的正切值为点睛：本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题19. 海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位: )，其频率分布直方图如图：定义箱产量在 (单位: )的网箱为“稳产网箱” ， 箱产量在区间 之外的网箱为“非稳产网箱”.（1）从该养殖场（该养殖场中的网箱数量是巨大的）中随机抽取 3 个网箱.将频率视为概率，设其中稳产网箱的个数为 ，求 的分布列与期望
18、 ；（2）从样本中随机抽取 3 个网箱，设其中稳产网箱的个数为 ，试比较 的期望 与的大小.【答案】(1) E(X)= (2)相等【解析】分析：(1)设事件 “从该养殖场中随机取出 1 个稳产网箱”则由此可得 的分布列与期望 ；（2）稳产网箱的频数为 100 =60依题意 YH(100,60,3)，由此可得详解：(1)设事件 A=“从该养殖场中随机取出 1 个稳产网箱”则，易知则P(X=k)=C ( )k( )3k= (k=0,1,2,3) 故 X 的分布列为X 0 1 2 3PX 的期望 E(X)=3 =(2)稳产网箱的频数为 100 =60依题意 YH(100,60,3)故 E(Y)= =
19、 =E(X)点睛：本题考查了频率分布直方图与二项分布列的应用问题，是基础题20. 已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，圆 ， 是椭圆的左右顶点， 是圆 的任意一条直径， 面积的最大值为 2.（1）求椭圆 及圆 的方程；（2）若 为圆 的任意一条切线， 与椭圆 交于两点 ，求 的取直范围.【答案】(1) 椭圆方程为 ，圆的方程为 (2)【解析】分析：(1)易知当线段 AB 在 y 轴时， ， ，结合可求 ，可求椭圆 方程和圆的方程；（2）设直线 L 方程为：y=kx+m,直线为圆的切线， ，直线与椭圆联立， ，得 ，利用弦长公式可得 ，然后利用换元法求其范围即可.详解：解：(1) 设 B 点到 x
20、 轴距离为 h,则 ，易知当线段 AB在 y 轴时，所以椭圆方程为 ，圆的方程为（2）设直线 L 方程为：y=kx+m,直线为圆的切线， ，直线与椭圆联立， ，得判别式 ，由韦达定理得： ， 所以弦长 ，令 ， 所以点睛：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题21. 已知函数 ，其中常数 .（1）当 时，讨论 的单调性；（2）当 时，是否存在整数 使得关于 的不等式 在区间 内有解？若存在，求出整数 的最小值；若不存在，请
21、说明理由.参考数据: ， .【答案】(1) f(x)在(0,1),(1,+)(2) 1【解析】分析：(1)求导 ，设，讨论其值域，可得 的单调性；(2)当 时,设 ， ，在 ,且 可知在(0, )内, 唯一 x0( , ),使得 lnx0= x02并且 F(x)在(0,x 0),(x 0,e),(e,+)当 x(0,e)时,F(x) min =e3( x x0)因(0,e), 使 2mF(x)成立,故需 2mF(x) min=e3( x x0)由此可求 m 的最小整数值.详解：解：(1) 求导 ，设 明显g(x)在(0,+),且 g(1)=0故 f(x)在(0,1),(1,+)当 时,设 ，
22、，在 ,且注意 F( )=30故在(0, )内, 唯一 x0( , ),使得 lnx0= x02并且 F(x)在(0,x 0),(x 0,e),(e,+)当 x(0,e)时,F(x) min =F(x0)=e3(x0lnx0 x +x0)=e3( x x0)因(0,e), 使 2mF(x)成立,故需 2mF(x) min=e3( x x0)当 x0( , )时,F(x) min=e3( x x0)( , e)( 3.32,2.51)因 2m 为偶数,故需 2m2m 1,即 m 的最小整数值为1点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题请考生在 2
23、2、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为. （1）求圆 的直角坐标方程；（2）设圆 与直线 交于点 ，若点 的坐标为 ，求 的最小值.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）将 两边同乘 ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出详解：（1）由 ，化为直角坐标方程为 ，即（2）将 l 的参数方程带入圆
24、C 的直角坐标方程，得因为 ，可设 ，又因为（2，1）为直线所过定点，所以点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集非空，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）求出 的分段函数的形式，解不等式 可分 与 ，三类讨论即可解得不等式 的解集；（2）原式等价于存在 ，使 成立，即 ，设 ，求出 的最大值即可得到 的取值范围.详解：（1）当 时， ，无解当 时， 当 时， 综上所述 的解集为 . （2）原式等价于存在 ，使成立，即 设由（1）知 当 时， ，其开口向下，对称轴为 x= -1,所以 g(x) g(-1)=-8,当-1x5,开口向下，对称轴 x= ,所以 g(x)g( )=-当 x 5 时，开口向下，对称轴 x= 5，所以 g(x)g(5)=-14，综上所述，t 的取值范围为（-，- .点睛：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用
