1、八年级培优经典题型和专题训练11、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1） axbacxmm213（2） ba()()()322分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要
2、提出“”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“”号后，多项式的各项都要变号。解： axbacxaxbcxmmm21323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自然数时，是在因式分解过程中常用的因式变换。()()()()bbnnnn22121；解： aaa3)243)(222baba八年级培优经典题型和专题训练22. 利用提公因式法简化计算过程例：计算 13689752846139872613 分析：算式中每一项都含有 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。解：原式 )58(136987973. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组 ，求代数式 的
3、值。235xy()()232xyxy分析：不要求解方程组，我们可以把 和 看成整体，它们的值分别是 3 和5，观察代数式，发现每一项都含有 ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含22xy有 和 的式子，即可求出结果。xy53解： ()()()()223253xyxyxyxy把 和 分别为 3 和 带入上式，求得代数式的值是 。y264. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数 n， 一定是 10 的倍数。32nn分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10 的倍数即可。3222nnnn3105nn()()对任意自然数 n， 和 都是 10 的倍数。2八年级培优经
4、典题型和专题训练3一定是 10 的倍数32nn5、中考点拨：例 1。因式分解 32xx()()解：231x()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例 2分解因式： 42132qp()()解： 13()21122pq()()说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例 1. 计算： 201020精析与解答：设 ，则aa201020aaa()()10八年级培优经典题型和专题训练4说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001 重复
5、出现，又有 的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运201算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例 2. 已知： （b、c 为整数）是 及 的公因x2x426534285xx式，求 b、c 的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求 b、c，但比较麻烦。注意到 是 及 的因式。因而也是x236254()x34285xx的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。()3485解： 是 及 的公因式xbc242()x42xx也是多项式 的二次因式36385()而 25421424()()(xxxxb、c 为整数得： 225，说明：这是对原命题进行
6、演绎推理后，转化为解多项式 ，从而简便求142870x得 。xbc2例 3. 设 x 为整数，试判断 是质数还是合数，请说明理由。1052x()解： 1052()()x八年级培优经典题型和专题训练5都是大于 1 的自然数x25，是合数()说明：在大于 1 的正数中，除了 1 和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被 1 和本身整除的数叫质数。【实战模拟】1. 分解因式：（1） 4123mnn（2） （n 为正整数）axbacxd1（3） ba()()()32222. 计算： 的结果是（ ）110A. B. C. D. 202213. 已知 x、y 都是正整数，且 ，求 x、y。xy
7、x()()14. 证明： 能被 45 整除。8127913八年级培优经典题型和专题训练65. 化简： ，且当 时，求原式的值。111295xxx()()()x02、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式 abab2()完全平方公式 22立方和、立方差公式 3()补充：欧拉公式：abcabcacabc3322()( )八年级培优经典题型和专题训练712222()()()abcbca特别地：（1）当 时，有033（2）当 时，欧拉公式变为两数立方和公式。c0运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过
8、适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把 分解因式的结果是（ ）ab22A. B. ()()()ab2C. D. (a2分析： 。ab b22 2211()()再利用平方差公式进行分解，最后得到 ，故选择 B。()b说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式 有一个因式是
9、 ，求 的值。23xm21xm分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出 的值。m解：根据已知条件，设 22132xxaxb()则 213xa()八年级培优经典题型和专题训练8由此可得21023abm()()由（1）得 a1把 代入（2） ，得 b2把 代入（3） ，得b3. 在几何题中的应用。例：已知 是 的三条边，且满足 ，试判abc、 、 ABCabcabc220断 的形状。ABC分析：因为题中有 ，考虑到要用完全平方公式，首先要把 转成ab2、 、 。所以两边同乘以 2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为 0，从而得解。2ab解： cc2 022ab
10、()()()a ac2 20bc220()()()c2 20， ，aca， ，b为等边三角形。ABC4. 在代数证明题中应用八年级培优经典题型和专题训练9例：两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为 （ 为整数）213n， n则 ()()231n)()3481n由此可见， 一定是 8 的倍数。()()2312n5、中考点拨：例 1：因式分解： _。xy324解： xyxy32 2()()说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例 2：分解因式： _。28323xyxy解：
11、43 2xy()2xy()说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例 1. 已知： ，ambcm1212123， ，求 的值。bc2八年级培优经典题型和专题训练10解： abacb222()()c2ambcm11123， ，原式()c2 ()()1123422m说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例 2. 已知 ，abcabc0033，求证： 55证明： abcabc3322()( )把 代入上式，abcabc003，可得 ，即 或 或若 ，则 ，abc550若 或 ，同理也有 abc550
12、说明：利用补充公式确定 的值，命题得证。， ，例 3. 若 ，求 的值。xyxy32279， xy2八年级培优经典题型和专题训练11解： xyxy3227()且 229)1(32yxyx，又 22两式相减得 xy0所以 29说明：按常规需求出 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过xy，程。【实战模拟】1. 分解因式：（1） （2）()()a2312xyx52()()（3） axyaxy2234()()()八年级培优经典题型和专题训练122. 已知： ，求 的值。x13x413. 若 是三角形的三条边，求证：abc， ， abc2204. 已知： ，求 的值。210201八年级培
13、优经典题型和专题训练135. 已知 是不全相等的实数，且 ，试求abc， ， abcbca033，（1） 的值；（2） 的值。()()()114、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察” ，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学
14、计算、化简、证明题中的应用例 1. 把多项式 分解因式，所得的结果为（ ）21142aa()ABaCD.().()22221分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。八年级培优经典题型和专题训练14解：原式 21142aa()aa4322211()()()故选择 C例 2. 分解因式 xx54321分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分xx54321和别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把 ，54分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。x321和解法 1：原 式 ()()()()xx543232211
15、解法 2：原 式 ()()()()()()xxxx5432422211112. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为 a、b、c，且满足 abcbac， 22证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明： ac22八年级培优经典题型和专题训练15acbacacbacbacabc2220000， 即又 ，即 以 、 、 为 三 边 能 构 成 三 角 形()()()3. 在方程中的应用例：求方程 的整数解xy分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有 x 与y，故可考虑借助因式分解
16、求解解： xyxyx0111即 是 整 数 或()(),xy02或4、中考点拨例 1.分解因式： _。122mn解： 212()()n说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在八年级培优经典题型和专题训练16一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式： _xy2解： ()()xy2()1说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3. 分解因式： _x3241解： 32x32()()4说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：例 1. 分解因式： mnn22141()解： 22()nnnmn
17、nm2224111()()()说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把 4mn 分成 2mn 和2mn，配成完全平方和平方差公式。例 2. 已知： ，求 ab+cd 的值。abcdacbd22110， ， 且解：ab+cd= 八年级培优经典题型和专题训练17abcdabcdbcadba()()()()2222ad0原 式说明：首先要充分利用已知条件 中的 1（任何数乘以 1，其值不abcd221，变） ，其次利用分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。例 3. 分解因式： x32分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发
18、现当 x=1 时，它的值为 0，这就意味着 的一个因式，因此变形的目的是凑 这个因式。13是 x1解一（拆项）：xxx33322112()()解二（添项）：xxx3322231()()说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1. 填空题：（ ） 分 解 因 式 ：（ ） 分 解 因 式 ：（ ） 分 解 因 式 ：132243123abxymnn()八年级培优经典题型和专题训练182. 已知： abcacbc03223， 求 的 值 。3. 分解因式： 15a4. 已知： ，xyzAxyzxyzxyzA22 330 ， 是 一 个 关 于
19、 的 一 次 多 项 式 ， 且, ()试求 A 的表达式。5. 证明： ()()()()abaabb21122八年级培优经典题型和专题训练195、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的xabxab2()两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项 （a、b、c 都是整数，且 ）来说，如果存在四个整数2 a0满足 ，并且 ，那么二次三项式ac12， ， ， 1212， cb121即 可以分解为 。这里要确xbaxcxxc2定四个常数 ，分析和尝试都要比首项
20、系数是 1 的类型复杂，因此一般要借12， ， ，助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例 1. 已知： ，求 x 的取值范围。x2140分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解： 八年级培优经典题型和专题训练20xx3803或或例 2. 如果 能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m 的值，xmx432并把这个多项式分解因式。分析：应当把 分成 ，而对于常数项-2，可能分解成 ，或者分解成 12，由此分为两种情况进行讨论。21解：（1）设原式分解为 ，其中 a、b 为整数，去括号，得：xaxb
21、221xabb43将它与原式的各项系数进行对比，得：mam12， ，解得： ab01， ，此时，原式 xx22（2）设原式分解为 ，其中 c、d 为整数，去括号，得：cd21xcdxx432将它与原式的各项系数进行对比，得：mcdm12， ，解得： c01， ，此时，原式 xx222. 在几何学中的应用例. 已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足八年级培优经典题型和专题训练21，求长方形的面积。xyxy220分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解： 22xyxy2 01()或xy0xy又 8xyxy2108或解得： 或534.长方形的面积为 15cm
22、2 或 632cm3、在代数证明题中的应用例. 证明：若 是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则 是 49 的倍数。4xy810322xy分析：要证明原式是 49 的倍数，必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式。证明一： 8103242xyxy3467 是 7 的倍数，7y 也是 7 的倍数（y 是整数）xy 是 7 的倍数2而 2 与 7 互质，因此， 是 7 的倍数，所以 是 49 的倍数。23xy810322xy证明二： 是 7 的倍数，设 （m 是整数）4y4八年级培优经典题型和专题训练22则 yxm47又 8103242yxy4712493xmxxmx，m 是整数， 也是整
23、数x所以， 是 49 的倍数。810322y4、中考点拨例 1.把 分解因式的结果是_。22495yxy解： yxx2422913说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。例 2. 因式分解： _6752x解： 13x说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型展示例 1. 若 能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（ ）xym256A. 1 B. -1 C. D. 21解： xyxy2 56-6 可分解成 或 ，因此，存在两种情况：3八年级培优经典题型和专题训练23（ 1） x+y -2 （ 2） x+y -3 x-y 3 x-y 2 由（1）
24、可得： ，由（1）可得：mm1故选择 C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。例 2. 已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足 。acbac24求证： bc证明： ab24accbca22 2220440说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例 3. 若 有一因式 。求 a，并将原式因式分解。xxa3257x1解： 有一因式当 ，即 时，1032570axxxx3222574131说明：由条件知， 时多项式的值为零，代入求得 a，再利用原式有一个因式是x1八年级培优经典题型和专题训练24，分解时尽量
25、出现 ，从而分解彻底。x1x1【实战模拟】1. 分解因式：（1） （2）ab26391574212xynnn（3） xx22372. 在多项式 ，哪些是多项xxxxx123232123， ， ， ， ，式 的因式？x24093. 已知多项式 有一个因式，求 k 的值，并把原式分解因式。2133xxk4. 分解因式： 352942xyxy八年级培优经典题型和专题训练255. 已知： ，求 的值。xyxy05312， 1292xy7、因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知
26、识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提” 、二“公” 、三“分” 、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数
27、法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 xx54321八年级培优经典题型和专题训练26分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分xx54321和别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 ，54， 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。x321解一：原式 ()()xx54321xx322211()()解二：原式= ()543xx2422111()()()()(2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x324解一：将 拆成 ，则有2
28、原 式 xx32221()()()解二：将常数 拆成 ，则有 43原 式 xxx322114()()()八年级培优经典题型和专题训练273. 在证明题中的应用例：求证：多项式 的值一定是非负数()xx24102分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明： ()xx24102()(xx371075145622设 ，则y原 式无 论 取 何 值 都 有 的 值 一 定 是 非 负 数() ()()()yyyxx1460816422224. 因式分解中的转化思想例：分解因式： ()()()abcabc2333分析：本题若直接用
29、公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B原 式 ()()()ABABabcabc3322332说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。八年级培优经典题型和专题训练28中考点拨：例 1.在 中，三边 a,b,c 满足ABCabcabc221610求证： acb2证明： 160acbbacacbac22295358082即 ， 即于 是 有即 ()()说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2. 已知： _xx1213， 则解： 3()
30、x1212说明：利用 等式化繁为易。xx221()题型展示：1. 若 x 为任意整数，求证： 的值不大于 100。()()7342xx解： 104)3(72八年级培优经典题型和专题训练29()()()()()()xxxx72321051456807341222说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2. 将 aa222 221 674()()分 解 因 式 ， 并 用 分 解 结 果 计 算 。解：aa22221()()67436143892()说明：利用因式分解简化有理数的计算。【实战模拟】1. 分解因式：（ ）（ ）1308310825542xxxaa()()（ ）（ ）47623yyx2. 已知： 的值。xyxy613， ， 求 ：八年级培优经典题型和专题训练303. 矩形的周长是 28cm，两边 x,y 使 ，求矩形的面积。xy32304. 求证： 是 6 的倍数。 （其中 n 为整数）n355. 已知： a、b、c 是非零实数，且 ，求abcabcacb21113， ()()()a+b+c 的值。6. 已知：a、b、c 为三角形的三边，比较 的大小。abcab2224和10、分式的运算
