1、2005 年高考理科数学全国卷试题及答案（四川 陕西 云南 甘肃等地区用）源头学子小屋 奎 屯王 新 敞新 疆本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.第 I 卷参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件 A、B 相互独立，那么P（AB）=P （A）P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率Pn(k)=C Pk(1P) nk 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 奎 屯王 新 敞新 疆 在每小题所给的四个答案中
2、有且只有一个答案是正确的）1.已知 是第三象限的角，则 是（ ）. 2A.第一或二象限的角 B.第二或三象限的角 C.第一或三象限的角 D.第二或四象限的角2. 已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为（ ）.A.0 B.-8 C.2 D.103.在(x-1)(x+1) 8 的展开式中 x5 的系数是( )A.-14 B.14 C.-28 D.284.设三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积是 V，P.Q 分别是侧棱 AA1.CC1 上的点，且 PA=QC1，则四棱锥 B-APQC 的体积为（ ）A. B. C. D.V61431V25. =（
3、 ）)3x2x3(lim21x A.- B. C.- D.161616.若 ,则( )5ln,3l,2lncbaA.abc B.cba C.cab D.bac7.设 0x2,且 =sinx-cosx, 则( )x2sin1A.0x B. x C. x D. x4745238. ( )2cos1sin2A.tanx B.tan2x C.1 D. 219.已知双曲线 的焦点为 F1.F2，点 M 在双曲线上且 ，则点 M 到 x 轴的距离为( )12yx 021F球的表面积公式S=4 2R其中 R 表示球的半径，球的体积公式V= ，34其中 R 表示球的半径A. B. C. D.343532310
4、.设椭圆的两个焦点分别为 F1.F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若三角形 F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.21211.不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有（ ）个A.3 B.4 C.6 D.712.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 09 和字母 AF 共 16 个计数符号 奎 屯王 新 敞新 疆 这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15例如用
5、十六进制表示：E+D=1B，则 AB=（ ）A.6E B.72 C.5F D.B0二、填空题: 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 奎 屯王 新 敞新 疆13.已知复数 z0=3+2i, 复数 z 满足 z z0=3z+z0，则 z= 奎 屯王 新 敞新 疆14.已知向量 ，且 A.B.C 三点共线，则 k= .),1k(OC),5(B),12k(OA15.设 为平面上过点(0,1) 的直线， 的斜率等可能地取-2 ,- ,- ,0, , , 2 , 用 表示坐标原点到 的距离，则随l l2353l机变量 的数学期望 E= 奎 屯王 新 敞新 疆16.已知在
6、ABC 中，ACB=90，BC=3 ，AC=4，P 是 AB 上的点，则 P 到 AC.BC 距离的的乘积的最大值是 奎 屯王 新 敞新 疆三、解答题（共 76 分）17.（本小题满分 12 分）甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响 奎 屯王 新 敞新 疆 已知在某一个小时内，甲.乙都需要照顾的概率是 0.05，甲.丙都需要照顾的概率是 0.05，乙.丙都需要照顾的概率是 0.125 奎 屯王 新 敞新 疆1）求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？18.（本小题满分 12 分）四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是
7、正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD 奎 屯王 新 敞新 疆1）求证 AB面 VAD；2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小A BCDV19.（本小题满分 12 分）中，内角 . . 的对边分别为 . . ，已知 . . 成等比数列，且 奎 屯王 新 敞新 疆ABCabcabcBcos43（1）求 的值；cott（2）若 ，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆23c20.（本小题满分 12 分）在等差数列a n中，公差 d0,且 a2 是 a1 和 a4 的等比中项,已知 a1,a3, 成等比数列，求数列 k1,k2,k3,kn,a,n321kk的通项 kn 奎
8、 屯王 新 敞新 疆21.（本小题满分 14 分）设 . 两点在抛物线 上， 是 的垂直平分线 奎 屯王 新 敞新 疆1,yxA2,B2xylAB1）当且仅当 取何值时，直线 经过抛物线的焦点 ？证明你的结论；xlF2）当直线 的斜率为 2 时，求 在 轴上截距的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆l y22.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)= ,10x,274(1)求函数 f(x)的单调区间和值域；（2）设 a1, 函数 g(x)=x3-3a2x-2a, x0,1, 若对于任意 x10,1, 总存在 x00,1, 使得 g(x0) =f(x1)成立，求 a 的取值范围 奎 屯王 新 敞
9、新 疆2005 年高考理科数学全国卷试题及答案（必修 +选修）（四川 陕西 云南 甘肃等地区用）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B B C A C C B C D D A13. 奎 屯王 新 敞新 疆14. 奎 屯王 新 敞新 疆15. 奎 屯王 新 敞新 疆16.3 奎 屯王 新 敞新 疆3i717.（本小题满分 12 分）甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响 奎 屯王 新 敞新 疆 已知在某一个小时内，甲.乙都需要照顾的概率是 0.05，甲.丙都需要照顾的概率是 0.05，乙.丙都需要照顾的概率是 0.125 奎 屯王 新 敞新 疆1）
10、求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？解：记“甲机器需要照顾”为事件 A， “乙机器需要照顾”为事件 B， “丙机器需要照顾”为事件 C，由题意三个事件互不影响，因而 A，B，C 互相独立(1)由已知有：P（A B）= P(A) P(B)=0.05, P（A C）= P(A) P(C)=0.1P（C B）= P(B) P(C)=0.125解得 P（A）=0.2, P(B)=0.25, P(C)=0.5,所以甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率分别为 0.2;0.25;0.5.(2)记事件 A 的对立事件为 ，事件 B
11、 的对立事件为 ，事件 C 的对立事件为 ，BC则 P( )=0.8, P( )=0.75, P( )=0.5, C于是 P(A+B+C)=1-P( )=1-P( ) P( ) P( )=0.7.A故在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率为 0.7.18.（本小题满分 12 分）四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD 奎 屯王 新 敞新 疆1）求证 AB面 VAD；2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小证法一：（1）由于面 VAD 是正三角形，设 AD 的中点为 E，则 VEAD，而面 VAD底面 ABCD，则 VE
12、AB 奎 屯王 新 敞新 疆又面 ABCD 是正方形，则 ABCD，故 AB面 VAD 奎 屯王 新 敞新 疆（2）由 AB面 VAD，则点 B 在平面 VAD 内的射影是 A，设 VD 的 中点为 F，连 AF，BF 由VAD 是正，则 AFVD，由三垂线定理知 BFVD，故AFB 是面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的平面角 奎 屯王 新 敞新 疆设正方形 ABCD 的边长为 a，则在 RtABF 中，,AB=a, AF= a，tanAFB =2332aAFB故面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小为 奎 屯王 新 敞新 疆32arctn证明二：（）作 AD 的中点 O，则 VO
13、底面 ABCD1 分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，2 分则 A（ ，0，0） ，B（ ，1，0） ，C（- ，1，0） ，D（- ，0，0） ，V（0，0， ） ，1222232 3 分3(,)(,)(,)DAV由 4 分0,1,0ABB5 分3(,),)2V A BCDV yx OzEFA BCDV又 ABAV=A AB平面 VAD6 分（）由（）得 是面 VAD 的法向量7 分(0,1)AB设 是面 VDB 的法向量，则(1,)nyz9 分130 3(,),1)0(,1)23(xV nzBDyz ，11 分0,),)213cos, 721An又由题意知，面 VAD 与面 V
14、DB 所成的二面角，所以其大小为 12 分21arcos7（II）证法三：由（）得 是面 VAD 的法向量7 分(0,1)AB设平面 VDB 的方程为 mx+ny+pZ+q=0,将 V.B.D 三点的坐标代入可得解之可得 令 q= 则平面 VDB 的方程为 x-y+ Z+ =0023102qpmqnqpnm32,1321故平面 VDB 的法向量是 9 分),1(n ，11 分30,21cos, 721AB又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角，所以其大小为 12 分21arcos719.（本小题满分 12 分）中，内角 . . 的对边分别为 . . ，已知 . . 成等比数列，且
15、奎 屯王 新 敞新 疆ABCBCabcabcBcos43（1）求 的值；cott（2）若 ，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆23ca解：（1）由 得：Bcos4347sin由 及正弦定理得：ab2 CAsii2于是： BCACA 2sinsincoincosicott 奎 屯王 新 敞新 疆74sin1i2B（2）由 得： ，因 ，所以： ，即： 奎 屯王 新 敞新 疆3 23cosBacos432ac2b由余弦定理 得：b22 5os2Bba于是： 945cca故： 奎 屯王 新 敞新 疆320.（本小题满分 12 分）在等差数列a n中，公差 d0,且 a2是 a1和 a4的等比中项,已知
16、 a1,a3, 成等比数列，求数列,a,n321kkk1,k2,k3,kn的通项 kn 奎 屯王 新 敞新 疆解：由题意得： 1 分 412a即 3 分)()(1dda又 4 分 0,1又 成等比数列, ,213nkka该数列的公比为 ，6 分 313dq所以 8 分1nkan又 10 分1)(aknnn所以数列 的通项为 12 分13k13n21.（本小题满分 14 分）设 、 两点在抛物线 上， 是 的垂直平分线 奎 屯王 新 敞新 疆1,yxA2,yB2xylAB（1）当且仅当 取何值时，直线 经过抛物线的焦点 ？证明你的结论；xlF（2）当直线 的斜率为 2 时，求 在 轴上截距的取值
17、范围 奎 屯王 新 敞新 疆lly注：本小题主要考察直线与抛物线等基础知识，考察逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力 奎 屯王 新 敞新 疆解法一：（1） 、 两点到抛物线的准线的距离相等FBAl因为：抛物线的准线是 轴的平行线， ，依题意 、 不同时为 0x0iy2,11y2所以，上述条件等价于 ；02121 xxy注意到： ，所以上述条件等价于 奎 屯王 新 敞新 疆21x2即：当且仅当 时，直线 经过抛物线的焦点 奎 屯王 新 敞新 疆0lF（2）设 在 轴上的截距为 ，依题意得 的方程为 ；过点 、 的直线方程可写为 ，所以lybbxyABmxy21、 满足方程 ，即1x21mx41
18、21x、 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ，也就是： 奎 屯王 新 敞新 疆 设 的中点 的坐标为AB 08m3ABH为 ，则有：0,yx，81210mxy1620由 得： ，于是： 奎 屯王 新 敞新 疆lHbm46 329165即： 在 轴上截距的取值范围是 奎 屯王 新 敞新 疆ly,329.解法二：（）抛物线 ，即 ，xy41,py焦点为 1 分1(0,)8F（1）直线 的斜率不存在时，显然有 3 分l 021x（2）直线 的斜率存在时，设为 k， 截距为 b即直线 ：y=kx+b 由已知得：l5 分 121212kbyx 211212kbx7 分 12kbx 2104bx
19、14即 的斜率存在时，不可能经过焦点 8 分l 1(0,)8F所以当且仅当 =0 时，直线 经过抛物线的焦点 F9 分12xl(II)解：设直线 的方程为：y=2x+b, l故有过 AB 的直线的方程为 ，代入抛物线方程有 2x2+ =0, 得 x1+x2=- .mx21y mx14由 A.B 是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式 ，即0843由直线 AB 的中点为 = ，)2,(11yx)16,()x21,8(0则 于是,b4m16 .3965m即得 l 在 y 轴上的截距的取值范围是 奎 屯王 新 敞新 疆),2(22.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)= ,10x,274(
20、1)求函数 f(x)的单调区间和值域；（2）设 a1, 函数 g(x)=x3-3a2x-2a, x0,1, 若对于任意 x10,1, 总存在 x00,1, 使得 g(x0) =f(x1)成立，求 a 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆解： （1）对函数 f(x)= 求导，得 f(x)= ，令 f(x)=0 解得 x= 或 x= . ,10x,74 ,)2(71)2(764 27当 x 变化时，f(x), f(x)的变化情况如下表所示：x 0 (0, )21)1,(1f(x) - 0 +f(x) 27 -4 -3所以，当 时，f(x)是减函数；当 时，f(x)是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆)1
21、,0(x)1,2(x当 时，f(x)的值域是-4，-3 奎 屯王 新 敞新 疆,（II）对函数 g(x)求导，则 g(x)=3(x2-a2).因为 ，当 时，g(x)5(1-a 2)0,1a)1,0(x因此当 时，g(x)为减函数，,从而当 x0,1时有 g(x)g(1),g(0),又 g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即当 x0,1时有 g(x)1-2a-3a 2,-2a,任给 x10,1,f(x 1)-4,-3,存在 x00,1使得 g(x0)=f(x1), 则1-2a-3a 2,-2a ，3,4即 ,3a2412解式得 a1 或 a , 35解式得 ，2又 ,故 a 的取值范围内是 .123a1
