1、光学教程 （姚启钧）习题解答第一章 光的干涉1、波长为 的绿光投射在间距 为 的双缝上，在距离 处的光屏50nmd0.2cm180cm上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长为 的红光投射到此7n双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第 2 级亮纹位置的距离。解： 150nm718501.409.2ry cmd改用 27702 .53.ry c两种光第二级亮纹位置的距离为：21.38cm2、在杨氏实验装置中，光源波长为 ，两狭缝间距为 ，光屏离狭缝的640n0.4m距离为 ，试求：光屏上第 1 亮条纹和中央亮纹之间的距离；若 P 点离中50cm央亮纹为 问两束光在 P 点的相
2、位差是多少？ 求 P 点的光强度和中央点的强.1度之比。解： 7056401.8.rycmd由光程差公式 210sinyrr04d中央点强度： 204IAP 点光强为： 21cos01()0.8542I3、把折射率为 的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第 5 级亮条纹1.5所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为 7610m解： ，设玻璃片的厚度为.nd由玻璃片引起的附加光程差为： 1nd15d76461010. mcn4、波长为 的单色平行光射在间距为 的双缝上。通过其中一个缝的能50m0.2量为另一个的 倍，在离狭缝 的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条
3、纹25c的可见度。解： 7001.25.2rycmd由干涉条纹可见度定义：12minMaxAIV由题意，设 ，即 代入上式得2112A0.943V5、波长为 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为 ，棱到光屏间的距70nm20cm离 为 ，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为 ，求双镜平面之间的夹L18c 1角 。解： 70,2,180,nmrcLmy由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式72sin2018i 0.35.ryLrsi.356.4:6、在题 1.6 图所示的劳埃德镜实验中，光源 S 到观察屏的距离为 ，到劳埃德1.5m镜面的垂直距离为 。劳埃德镜长 ，置于光源和屏之间的中央。若光波2m40cm
4、波长 ，问条纹间距是多少？确定屏上可以看见条纹的区域大小，此区50n域内共有几条条纹？（提示：产生干涉的区域 P1P2 可由图中的几何关系求得）解：由图示可知： 7 05010,4.,1.5nmcdmcrmc 701.85.9.4ryd在观察屏上可以看见条纹的区域为 P1P2间0.4m2m15SS P2P1P0题 1.6 图01.7521.6Pm2.345即 ，离屏中央 上方的 范围内可看见条纹。13.452.91.6m2.920.PNy7、试求能产生红光（ ）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜70nm折射率为 ，且平行光与法向成 300 角入射。1.3解： 270,1.3n由等倾干涉
5、的光程差公式： 221sind221sid23464in0om8、透镜表面通常镀一层如 MgF2（ ）一类的透明物质薄膜，目的是利用干1.38n涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（ ）处产生极50nm小的反射，则镀层必须有多厚？解： 1.38n物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消，光在介质上下表面反射时均存在半波损失。由光程差公式：12nh5509.6104.38nmc9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧，玻璃片 长 ，纸厚l10cm为 ，从 600 的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数0.5m目是多少？设单色光源波长为 50nm解：0
6、2cos62nh相邻亮条纹的高度差为： 605010cos621hnmn可看见总条纹数 6.51HN则在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目为：10nl即每 内 10 条。cm10、在上题装置中，沿垂直于玻璃表面的方向看去，看到相邻两条暗纹间距为。已知玻璃片长 ，纸厚 ，求光波的波长。1.417.9cm0.36解：当光垂直入射时，等厚干涉的光程差公式：2nh可得：相邻亮纹所对应的厚度差： 2hn由几何关系： ，即Hll40.1422360.51563.179nh cmn H=0.05mmHl11、波长为 的可见光正射在一块厚度为 ，折射率为 的薄4076nm: 61.20m1.5玻璃片上，试问从
7、玻璃片反射的光中哪些波长的光最强。解： 61.2,1.5h由光正入射的等倾干涉光程差公式： 2nh使反射光最强的光波满：足 j417202nhnmjj5,6.j38n7,40.jm2512、迈克耳逊干涉仪的反射镜 M2 移动 时，看到条纹移过的数目为 个，0.5m90设光为垂直入射，求所用光源的波长。解：光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式： 2nh移动一级厚度的改变量为： 2h60.25190nm6.5.90nM1M213、迈克耳逊干涉仪的平面镜的面积为 ，观察到该镜上有 个条纹，当入24cm20射光的波长为 时，两镜面之间的夹角为多少？589nm解：由光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公
8、式： 2nh相邻级亮条纹的高度差： 2h由 和 构成的空气尖劈的两边高度差为：1M20Hh71589.4530.94rad 14、调节一台迈克耳逊干涉仪，使其用波长为 的扩展光源照明时会出现同心nm圆环条纹。若要使圆环中心处相继出现 条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的10距离？若中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。 （提示：圆环是等倾干涉图样，计算第一暗环角半径时可利用 的关系。 ）2sin,co解： 50nm出现同心圆环条纹，即干涉为等倾干涉对中心 2h7210510.50.5cm15、用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为 ，在它外边第 5 个亮环的3直径为 ，所用平凸透镜的凸面曲率半径
9、为 ，求此单色光的波长。4.6m1.0m解：由牛顿环的亮环的半径公式： 2rjR122132jRr224.6(5)j以上两式相减得：12.64R330.591590.5. mn16、在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第 2 级亮环与第 3 级亮环间距为，求第 19 和 20 级亮环之间的距离。1m解：牛顿环的反射光中所见亮环的半径为：21rjR即： 2537rR192204rR则： 2019 324190.1639 .4275rm第 2 章 光的衍射1、单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第 个带的半径。若极k点到观察点的距离 为 ，单色光波长为 ，求此时第一半波带的半径。
10、0r1m450nm解：由公式 201HRkr对平面平行光照射时，波面为平面，即： R20Hkr63145010.45R.Hm2、平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心 的 P 点的光强分别得到极大值和极小值；P 点最亮时，小孔直径4m应为多大？设此光的波长为 。50nm解： 0rc70140.1HRkkcm当 为奇数时，P 点为极大值P0r2k当 C 数时，P 点为极小值由 ， 为奇，取“+” ； 为偶，取“-”12kAak当 ，即仅露出一个半波带时，P 点最亮。k，10.4,()HR
11、cm0.28Dcm3、波长为 的单色点光源离光阑 ，光阑上有一个内外半径分别为 和5n10.5m的透光圆环，接收点 P 离光阑 ，求 P 点的光强 与没有光阑时的光强 之1m II比。解：1 232 90.5.5101HRmkr2 239014510HRkr即从透光圆环所透过的半波带为：2，3，4设 1234aaPA没有光阑时 11,2,0PkPakAP01rmS 1Rm光强之比：2041Ia4、波长为 的平行光射向直径为 的圆孔，与孔相距 处放一屏，试632.8nm2.76m1m问：屏上正对圆孔中心的 P 点是亮点还是暗点？ 要使 P 点变成与相反的情况，至少要把屏分别向前或向后移动多少？解
12、：由公式201HRkr对平面平行光照射时，波面为平面，即： R，2290.7633.81HRkr即 P 点为亮点。则 ， 注： 取 作单位0krR0,rm013向右移，使得 ，2k031.5,.10.5rr向左移，使得 ，4772mm0rP5、一波带片由五个半波带组成。第一半波带为半径 的不透明圆盘，第二半波带1r是半径 和 的透明圆环，第三半波带是 至 的不透明圆环，第四半波带是 至1r2 2r3 3r的透明圆环，第五半波带是 至无穷大的不透明区域。已知4 4r，用波长 的平行单色光照明，最亮的像点在距波1234:3:r50nm带片 的轴上，试求： ；像点的光强；光强极大值出现在哪些位置上。
13、m1r解： 由 1234:23:4r波带片具有透镜成像的作用，2HkRf219150,0.7rmrcm 224,4AaIa无光阑时，201Ia即： ， 为入射光的强度。06由于波带片还有 等多个焦点存在，即光强极大值在轴上 1,35f 1,35m6、波长为 的点光源经波带片成一个像点，该波带片有 个透明奇数半波带 0（1,3,5,199） 。另外 个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和10口径的透镜时该像点的强度比 。0:I解：由波带片成像时，像点的强度为：210Ia由透镜成像时，像点的强度为：20Ia即 014I7、平面光的波长为 ，垂直照射到宽度为 的狭缝上，会聚透镜的焦距8nm
14、0.4m为 。分别计算当缝的两边到 P 点的相位差为 和 时，P 点离焦点的距60cm/2/6离。解：对沿 方向的衍射光，缝的两边光的光程差为： sinb相位差为： 2si对使 的 P 点2sin2bsi461 4801tansi6.8.yfff mb对使 的 P点62sin6bsi164801tansi6.12.yfff mb:bP8、白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为的光波的第二个次最大值重合，求该光波的波长。60nm解：对 方位， 的第二个次最大位60nm1si2b对 的第三个次最大位1sin32b即： 572b6048.nm9、波长为 的平行光垂直地射在 宽
15、的缝上，若将焦距为 的透镜紧546.1nm110cm贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到第一最小值；第一最大值；第三最小值的距离分别为多少？解：第一最小值的方位角 为：11sinb611154.0tansi0.5yfff m第一最大值的方位角 为：11sin2b 6111 54.10tasin.4310.3.78yfff mb第 3 最小值的方位角 为：33i6333 54.10tansi10.5yfffb 10、钠光通过宽 的狭缝后，投射到与缝相距 的照相底片上。所得的第0.2m30cm一最小值与第二最小值间的距离为 ，问钠光的波长为多少？若改用 X 射线0.85c（ ）做此实
16、验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少？.1n解：单缝衍射花样最小值位置对应的方位 满足：sin,1,23,.kb则 1i22s1xLb40.85.910593bmn742xLc11、以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝与缝之间的干涉）图样。设缝宽为 ，相邻缝间的距离为 ， 。注bd3b30Lcm0.2bm 123Ndb意缺级问题。12、一束平行白光垂直入射在每毫米 条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和50第二光谱的始端的衍射角 之差为多少？（设可见光中最短的紫光波长为 ， 40nm最长的红光波长为 ）760nm解：每毫米 条刻痕的光栅，即510.25
17、dm第一级光谱的末端对应的衍射方位角 为1末1sindd红末 红末 末第二级光谱的始端对应的衍射方位角 为2始1sin2dd始 紫 紫2始 始663122407102. rad红始 末 紫13、用可见光（ ）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级7604nm:和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：光谱线对应的方位角 ：sikd2140760d始 末即第一级光谱与第二级光谱无重叠2 376524120d末 始即第二级光谱与第三级光谱有重叠由 2105, 6.7nmnmd末即第三级光谱的 的光谱与第二级光谱重叠。456.7n:14、用波长为 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第
18、二十级主589nm最大值之间的衍射角为 ，求该光栅 内的缝数是多少？011cm解：第 20 级主最大值的衍射角由光栅方程决定20sind20156803.4d解得 2cm1/Nd条15、用每毫米内有 条刻痕的平面透射光栅观察波长为 的钠光谱。试问：40 589nm光垂直入射时，最多功能能观察到几级光谱？光以 角入射时，最多能观察03到几级光谱？解： 61,5891040dmm光垂直入射时，由光栅方程： sindj6sin4.258910j即能看到 4 级光谱光以 角入射30osinodj0j1j2j3j1sin30462odj16、白光垂直照射到一个每毫米 条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角
19、为50处会出现哪些波长的光？其颜色如何？03解： 1250dm在 的衍射角方向出现的光，应满足光栅方程：o sin30odj11sin32250odmjjj,67j4n5,0jm17、用波长为 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽 为 ，不透624n b0.12m明部分的宽度 为 ，缝数 为 条。求：单缝衍射图样的中央角宽度；a0.9mN310单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？谱线的半宽度为多少？解： .12,.29ba0.4daN60210.4.radb 级光谱对应的衍射角 为：j11sindd:0123.4dkb即在单缝图样中央宽度内能看到 条（级）光谱2317由多缝干涉最小值位置决
20、定公式： sinjNd6512410.210.raNd第 3 章 几何光学的基本原理1、证明反射定律符合费马原理证明：设 A 点坐标为 ，B 点坐标为10,y2,xy入射点 C 的坐标为 ,光程 ACB 为： 221xyxy令 221 sin0d ix 即： sini*2、根据费马原理可以导出近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物像公式。3、眼睛 E 和物体 PQ 之间有一块折射率为 的玻璃平板（见题 3.3 图） ，平板的1.51(0,)Ay2(,)Bxyi厚度 为 。求物体 PQ 的像 PQ与物体 PQ 之间的距离 为多少？d30cm2d解：12s
21、ini由图： 12121tatnsinsinBdiidid1300tnsi .5CEcm4、玻璃棱镜的折射角 A 为 ，对某一波长的光其折射率 为 ，计算：最小06n1.6偏向角；此时的入射角；能使光线从 A 角两侧透过棱镜的最小入射角。解： 由 1212121iiiiiA当 时偏向角为最小，即有 30o1iA21sn.60.815308oi41od2dA BC EDB CA1i2i1 15308oi5、 （略）6、高 的物体距凹面镜顶点 ，凹面镜的焦距是 ，求像的位置及高度，cm12cm10cm（并作光路图）解：由球面成像公式：12sr代入数值 0得： 60scm由公式： ys60521sy
22、cm7、一个 高的物体放在球面镜前 处成 高的虚像。求此镜的曲率半径；5cm10c此镜是凸面镜还是凹面镜？解： ,ycs， 虚像 1m0由 ys150得： 2scm由公式 12sr20（为凸面镜）5rcm8、某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为，眼睛距凸面镜顶点的距离为 ，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？10cm40cm解：由题意，凸面镜焦距为 ，即10cm210r12sr408cPm玻璃板距观察者眼睛的距离为 124dPcm9、物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂
23、直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为 ，折射率为 。试证明：放入该玻璃板后使像1dn移动的距离与把凹面镜向物体移动 的一段距离的效果相同。/证明：4P PdPPs设物点 不动，由成像公式P12sr2rs由题 3 可知： 110Pdn入射到镜面上的光线可视为从 发出的，即加入玻璃板后的物距为1 sd12sdr12反射光线经玻璃板后也要平移 ，所成像的像距为d1sd放入玻璃板后像移量为： 122rdrss凹面镜向物移动 之后，物距为 （ ）dsd0,21sr1d1Psp 1dno2rsd相对 点距离2so2rsds2 2rdssr10、欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处
24、，问这透明球体的折射率应为多少？解：,1,2snsr由球面折射成像公式： n2r解得： n11、有一折射率为 、半径为 的玻璃球，物体在距球表面 处，求：物1.54cm6cm所成的像到球心之间的距离；像的横向放大率。解： 由球面 成像为 ，P1oPn1o2oPnsr1.5.1643cm由 球面成像P2oP684sc21.51.， 在 的右侧，离球心的距离scmP2o145cm球面 成像1（利用 P194： ）1ysn ysn球面 成像2o212ys122361.54s12、一个折射率为 、直径为 的玻璃球内有两个小气泡。看上去一个恰好.5320cm在球心，另一个从最近的方向看去，好像在表面与球
25、心连线的中点，求两气泡的实际位置。解： 12,P1o设气泡 经球面 成像于球心，由球面折射成像公式：1P1onsr1.53.00s， 即气泡 就在球心处cm1P另一个气泡 221.53.10s， 即气泡 离球心6.cm2P106.53.9cm13、直径为 的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，1求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。解：由球面折射成像公式： nsr1.31.50s解得 ，在原处cm.3.1ns14、玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为 。将它水平地浸入折射率为 的水2cm1.3中，沿着棒的轴线离球面顶点 处的水中有一物体，利用计算和作图法求像的位8c置
26、及横向放大率，并作光路图。解：由球面折射成像公式： nsr1.5oP1.53.182s.scm051n15、有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为 。一10cm物点在主轴上距镜 处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求像点20cm的位置。设玻璃的折射率为 ，水的折射率为 。1.51.3解：由薄透镜的物像公式： 2112nnsr对两表面均为凸球面的薄透镜：1.3.53.52010s 4.9cm对两表面均为凹球面的薄透镜：1.3.53.152010s.c16、一凸透镜在空气的焦距为 ，在水中时焦距为 ，问此透镜的折射率40cm136.8cm为多少（水的折射率为 ）？若将此
27、透镜置于 CS2 中（CS 2 的折射率为 ） ，其1.3 1.62焦距又为多少？12nn解： 薄透镜的像方焦距： 212nf nr时，12n112fnr在空气中： 112fr在水中： 212.3.fnr两式相比： 12.4036.8f解得 .54n 12612fnr而： 112fr则： .640.5437.5f cm12nn第 4 章 光学仪器的基本原理1、眼睛的构造简单地可用一折射球面来表示，其曲率半径为 ，内部为折射5.m率等于 的液体，外部是空气，其折射率近似地等于 1。试计算眼球的两个焦距。4/3用肉眼观察月球时月球对眼的张角为 ，问视网膜上月球的像有多大？01解：由球面折射成像公式： nsr令43, 5.2.1sfrcm令 , .16.743nf 25.0.19.8ymc2、把人眼的晶状体看成距视网膜 的一个简单透镜。有人能看清距离在2到 间的物体。试问：此人看远点和近点时，眼睛透镜的焦距是多少？10cm3为看清 远的物体，需配戴怎样的眼镜？5解：对于远点： 1130,2scms由透镜成像公式： 11f11230.987ffcm对于近点： 22.61ffcyo
