1、1第 7 讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆 （ 0）中，若直线 与椭圆相交于 M、N 两点，点12byaxabl是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为 ，则 .),(0yxPlMNk20abxy证明：设 M、N 两点的坐标分别为 、 ，),(1yx),(2则有 )2(.1,221 byax，得)(1.02121y.21212abxyxy又 .,212xykMN.2abkMN同理可证，在椭圆 （ 0）中，若直线 与椭圆相交于 M、N 两点，点2abx l是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为 ，则 .),(0yxPlMNk20baxy典题妙解例 1 设椭
2、圆方程为 ，过点 的142yx)1,0(直线 交椭圆于点 A、B，O 为坐标原点，点 P 满足l，点 N 的坐标为 .当 绕点()2OP2,lM 旋转时，求：（1）动点 P 的轨迹方程；（2） 的最大值和最小值.|解：（1）设动点 P 的坐标为 .由平行四边形法则可知：点 P 是弦 AB 的中点 .),(yx2焦点在 y 上， 假设直线 的斜率存在1,42bal由 得：2xkAB .4xy整理，得： .04当直线 的斜率不存在时，弦 AB 的中点 P 为坐标原点 ，也满足方程。l )0,(O所求的轨迹方程为.2yx（2）配方，得： .14)(162.41x127)6(34)2()(|22xyx
3、NP当 时， ；当 时，441|minNP6x.621|maxNP例 2 在直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不xOy)2,0(kl12yx同的交点 P 和 Q.（1）求 的取值范围；k（2）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 ，使得向量xy k与 共线？如果存在，求 的取值范围；如果不存在，请说明理由.OQABk解：（1）直线 的方程为l2x由 得：.2,yxk .04)12(2kk直线 与椭圆 有两个不同的交点，l20.解之得： 或 .)1(8322kkk3的取值范围是 .k ,2,（2）在椭圆 中，焦点在 轴上， ，12yxx1,2ba
4、).,(),0(,(AB设弦 PQ 的中点为 ，则0yxM).,(10yxO由平行四边形法则可知： 2QP与 共线， 与 共线.OQPABAB，从而120yx.20x由 得： ，20abxkPQ 1k.2k由（1）可知 时，直线 与椭圆没有两个公共点， 不存在符合题意的常数 .l k例 3 已知椭圆 （ 0）的左、右焦点分别为 、 ，离心率 ，右12byaxab1F22e准线方程为 .() 求椭圆的标准方程；() 过点 的直线 与该椭圆相交于 M、N 两点，且 ，求直线 的方1Fl 36|2NFl程.解：（）根据题意，得. 所求的椭圆方程为 .2,caxe1,cb 12yx（）椭圆的焦点为 、
5、 . 设直线 被椭圆所截的弦 MN 的中点为 .)0,(1F),(2l ),(yxP由平行四边形法则知： .PNM2由 得： . 36|2NF6|2.926)1(2yx4若直线 的斜率不存在，则 轴，这时点 P 与 重合，l xl)0,1(F，与题设相矛盾，故直线 的斜率存在.4|2| 12FNMF l由 得： 2abxyk .21xy).(2x代入，得 .96)()1(整理，得： .解之得： ，或 .074592x317x2x由可知， 不合题意. ，从而 .32y.1yk所求的直线 方程为 ，或 .l1xy1x例 4 已知椭圆 （ 0）的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 与 C 相交:2ba
6、Cab3l于 A、B 两点. 当 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 的距离为 .l l2（1）求 的值；ba,（2）C 上是否存在点 P，使得当 绕 F 转到某一位置时，有 成立？若存在，l OBAP求出所有点 P 的坐标与 的方程；若不存在，说明理由.l解：（1）椭圆的右焦点为 ，直线 的斜率为 1 时，则其方程为 ，即)0,(cl cxy. 原点 O 到 的距离： ， .0cyxl 22| cd1c又 ， . 从而 . ， .3aeb3ab（2）椭圆的方程为 . 设弦 AB 的中点为 . 由 可知，点 Q12yx ),(yxQOBAP是线段 OP 的中点，点 P 的坐标为 . .),(1
7、234x若直线 的斜率不存在，则 轴，这时点 Q 与 重合， ，点 P 不在椭圆上，ll)0,(F)0,2(故直线 的斜率存在.5由 得： .2abxykAB .321xy)(2x由和解得： .4,3当 时， ，点 P 的坐标为 ，直线 的方程为2,4yx 21xykAB )2,3(l；02当 时， ，点 P 的坐标为 ，直线 的方程为42,3yx 21xykAB )2,3(l.02金指点睛1. 已知椭圆 ，则以 为中点的弦的长度为（ ）42yx)1,(A. B. C. D. 33302632.（06 江西）椭圆 （ 0）的右焦点为 ，过点 F 的一动直线 m 绕点1:2byaxQab),(c
8、F 转动，并且交椭圆于 A、B 两点，P 为线段 AB 的中点.（1）求点 P 的轨迹 H 的方程；（2）略.3 （05 上海） （1）求右焦点坐标是 且过点 的椭圆的标准方程；)0,2()2,(（2）已知椭圆 C 的方程为 （ 0）.设斜率为 的直线 ，交椭圆 C 于 A、B12byaxabkl两点，AB 的中点为 M. 证明：当直线 平行移动时，动点 M 在一条过原点的定直线上；l（3）略.4. (05 湖北)设 A、B 是椭圆 上的两点，点 是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直23yx)3,1(N平分线与椭圆相交于 C、D 两点.（1）确定 的取值范围，并求直线 AB 的方程；6（2
9、）略.5. 椭圆 C 的中心在原点，并以双曲线 的焦点为焦点，以抛物线 的准线124xy yx62为其中一条准线.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，使 A、B 两点关于直线)0(2:kxyl对称，求 的值.1 m参考答案1. 解：由 得 ， .42yx12yx2,42ba弦 MN 的中点 ，由 得 ， 直线 MN 的方程为 .)1,(2bxkMNMNk )1(2xy即 . 32yx.2由 得： .40516y设 ，则 .),(),(21xNyM65,211y30)4(54| 21yk故答案选 C.2. 解：（1）设点 P 的坐标为 ，由 得： ，),(y
10、x2abxykAB 2abxyc整理，得： .022cbaxb点 P 的轨迹 H 的方程为 .02cxbyax3解：（1） 右焦点坐标是 ， 左焦点坐标是 . .),(),(2c由椭圆的第一定义知， ，24)()2(2 7.2a.42cb所求椭圆的标准方程为 .182yx（2）设点 M 的坐标为 ，由 得： ，整理得： .),(2abxkAB 2abxyk 02kyaxba、b、 k 为定值，当直线 平行移动时，动点 M 在一条过原点的定直线 上.l 02ky4. 解：（1） 点 在椭圆 内， ，即 12.)3,1(N2yx31的取值范围是 .2由 得 ， ，焦点在 y 轴上.23yx13x3
11、,2ba若直线 AB 的斜率不存在，则直线 AB 轴，根据椭圆的对称性，线段 AB 的中点 N 在 x 轴上，x不合题意，故直线 AB 的斜率存在.由 得： ， .2baxykAB 31ABk1ABk所求直线 AB 的方程为 ，即 .)(xy04y从而线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为 ，即 .)1(x02y5. 解：（1）在双曲线 中， ，124xy 6,2,2bacba焦点为 .)6(,),0(1F在抛物线 中， ， 准线为 .yx2p26y在椭圆中， . 从而6ca.3,ba所求椭圆 C 的方程为 .192xy8（2）设弦 AB 的中点为 ，则点 P 是直线 与直线 的交点，且直线 . ),(0yxPlll.km1由 得： ， .20baxyAB 30xyk03xky由 得： .1k由、得： .2,00yx又 ，0y，即 .23k12.1在 中，当 时， ，即直线 经过定点 .而定点 在椭圆的内xy0x2yl)2,0(M)2,0(部，故直线 与椭圆一定相交于两个不同的交点.l的值为 .k
