1、1南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式锥体的体积公式： ，其中 为底面积, 为高.13VShh一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在答 题 纸 的 指 定 位 置 上 ）1已知集合 ， ，则 = .20Ax1,2BAB2已知复数 （ 是虚数单位） ，则 .1iz|z3书架上有 本数学书， 本物理书，从中任意取出 本，则取出的两本书都是数学书的概率为 .4运行如图所示的伪代码，其结果为 .5某校高一
2、年级有学生 人，高二年级有学生 人，40360现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出 人，其中5从高一年级学生中抽出 人，则从高三年级学生中抽2取的人数为 .6在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴上，若曲线xOyCx经过点 ，则其焦点到准线的距离为 .C(1,3)P7已知实数 满足 则目标函数 的最小值为 .,50,2,yzxy8设一个正方体与底面边长为 ，侧棱长为 的正四棱锥的体积相等，则该正方体310的棱长为 .9在 中，设 分别为角 的对边，若ABC,abc,ABC， ， ，则边 = .5a4os5c10设 是等比数列 的前 项和， ，若nSn0na，则 的最小值
3、为 .63296S11如图，在 中， ， ，ABC31cos3BAC，则 的值为 .D12过点 的直线 与圆 相交于 两点，若点 恰好是线段(4,0)Pl2:(1)5xy,A的中点，则直线 的方程为 .S1For I From 1 To 7 step 2SS + IEnd ForPrint S第 4 题图AB CD第 11 题图213设 是定义在 上的奇函数，且 ，设 若()fxR()2xmf(),1,()fxg函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范围是 .ygtt14设函数 的图象上存在两点 ，使得 是以 为直角顶32,lnxea,PQO点的直角三角形（其中 为坐标原点） ，且斜边的中点恰
4、好在 轴上，则实数 的取值Oya范围是 .二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)设函数 的部分图象如图所示.(sin()0,)2fxAxxR（1）求函数 的解析式；yf（2）当 时，求 的取值范围.,2()fx16(本小题满分 14 分)如图，已知直三棱柱 的侧面 是正方形，点 是侧面1ABC1ACO的中心， ， 是棱 的中点.1AC2MB（1）求证： 平面 ；/O1（2）求证：平面 平面 .17(本小题满分 14 分)如图所示， 是两个垃圾中转站， 在 的正东方向 千米处， 的南
5、面为居,ABBA16AB民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在 的北面建一个垃圾发电厂 . 垃P圾发电厂 的选址拟满足以下两个要求（ 可看成三个点）：垃圾发电厂到P,P两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点 到直线 的距离要尽可能大）. O xy 56第 15 题图2 3A CBMOA1 C1B1第 16 题图3现估测得 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 吨和 吨，问垃圾发电,AB305厂该如何选址才能同时满足上述要求？18(本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系 中，设点 是椭圆 上一点，从xOy0
6、(,)Mxy2:14xCy原点 向圆 作两条切线分别与椭圆 交于点 ，直O2200:()()Mr,PQ线 的斜率分别记为 .,PQ1,k（1）若圆 与 轴相切于椭圆 的右焦点，求圆 的方程；xC（2）若 .5r求证： ；124k求 的最大值.OPQ19(本小题满分 16 分)已知函数 在 处的切线方程为 .(xafe0yx（1）求 的值；（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围；(,2)21()fkk（3）若函数 的两个零点为 ，试判断 的正负，并lngxfb1,x12()xg说明理由.BA 居民生活区第 17 题图北xO第 18 题图yM PQ420(本小题满分 16 分)设数列 共有
7、 项，记该数列前 项 中的最大项为 ，该数列na(3)mi12,ia iA后 项 中的最小项为 ， .i12,ia iB(,3,1)irAm（1）若数列 的通项公式为 ，求数列 的通项公式；n2n（2）若数列 是单调数列，且满足 ， ，求数列 的通项公式；1i na（3）试构造一个数列 ，满足 ，其中 是公差不为零的等差数列，nnnbcnb是等比数列，使得对于任意给定的正整数 ，数列 都是单调递增的，nc ir并说明理由.南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题（在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题
8、 10 分, 计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修 41：几何证明选讲）如图， 为 的直径，直线 与 相切于点 ，OOD， ， 、 为垂足，连接 . 若 ， ，E,AB4C3DE求 的长 .BA BDEO第 21(A)题图C5B.（选修 42：矩阵与变换）设矩阵 的一个特征值为 ，若曲线 在矩阵 变换下的方程为 01aM2CM，求曲线 的方程.2xyCC （选修 44：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点 的极坐标为 ，圆 的极坐标方程为A(2,)4E，cosin试判断点 和圆 的位置关系.ED(选修 45：不等式选讲）已知正实数 满足 .,abcd1bcd求证： .12
9、226必做题（第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22 （本小题满分 10 分）直三棱柱 中， ， ， ， ，1ABCABC24A12.D（1）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；1D1（2）若二面角 的大小为 ，求实数 的值.160BA CDB1A1 C1第 22 题图623 （本小题满分 10 分）设集合 ，记 的含有三个元素的子集个数为 ，同时将每1,23,()Mn MnS一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为 .nT（1）求 ， ， ， 的值；3TS456TS（2）猜想 的表达式，并证明之.n南京市、盐
10、城市 2016 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 11023173409238. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 7xy,1(0,e二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15解：（1）由图象知， ， 2A2 分又 ， ，所以 ，得 . 5463T02T14 分7所以 ，将点 代入，得 ，()2sin()fx(,2)32()3kZ即 ，又 ，所以 . 6kZ66 分所以 . ()2sin()
11、6fx8 分（2）当 时， ， ,2,3x10 分所以 ，即 . sin(),162x(),fx14 分16证明：（ 1）在 中，因为 是 的中点， 是 的中点，1ABCO1ACMBC所以 . /OM.4 分又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 11B/1A.6 分（2）因为 是直三棱柱，所以 底面 ，所以 ，ABCCCB又 ，即 ，而 面 ，且 ，2A1,11所以 面 . 1.8 分而 面 ，所以 ，1AB1又 是正方形，所以 ，而 面 ，且 ，C1AC,1AC1B1CA所以 面 . 1.12 分又 面 ，所以面 面 . A1B1B.14 分17解法一：由条件 ，得 . 503PA.2 分设
12、 ，则 ， 5,PAxB22()16(3)8cos5105xxBx.6 分所以点 到直线 的距离 28sin()105hPAxx842176x， 2(3)5.10 分所以当 ，即 时， 取得最大值 15 千米. 24xxh即选址应满足 千米， 千米. 53PA34PB.14 分解法二：以 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系. BxAy.2 分则 .(8,0)(,A由条件，得 . .4 分53PB设 ，则 ，(,)xy22(8)5(8)xyxy化简得， ， 21750y.10 分即点 的轨迹是以点（ ）为圆心、 为半径的圆位于 轴上方的半圆.P,15x则当 时，点 到直线
13、的距离最大，最大值为 千米.17xAB15所以点 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为 即可. (7,).14 分18解：（1）因为椭圆 右焦点的坐标为 ，所以圆心 的坐标为 ， C(3,0)M1(3,)2.2 分从而圆 的方程为 . M221(3)()4xy4 分（2） 因为圆 与直线 相切，所以 ，1:OPk102|5kxy即 ， 2 20100(45)45xky6 分同理，有 ，22xkyBA yxOP9所以 是方程 的两根， 12,k2 2000(45)145xky8 分从而 . 22200012()1xyxx10 分设点 ，联立 ，解得 ， 12(,)(,)Py124yk 222111
14、4,kxyk12 分同理， ，所以2224,11kxyk22222114()()kOPQ 124)46kk14 分， 当且仅当 时取等号. 所以 的最大值为 . 2150()54k12kOPQ5216 分19. 解：（ 1）由题意得 ，因函数在 处的切线方程为 ，()xafe0xyx所以 ，得 . (0)af14 分（2）由（ 1）知 对任意 都成立，2()xfekx(0,2)所以 ，即 对任意 都成立，从而 . 20k 0k6 分又不等式整理可得 ，令 ，2xk2()xeg所以 ，得 ， 2 2(1)()10x xeg18 分当 时， ，函数 在 上单调递增，(,)0(g,)同理，函数 在
15、上单调递减，所以 ，x(,1min()kgxe综上所述，实数 的取值范围是 . k,1e10 分（3）结论是 . 12()0g11 分10证明：由题意知函数 ，所以 ，()lngxb1()xgx易得函数 在 单调递增，在 上单调递减，所以只需证明 即()0,1(1,12可. 12 分因为 是函数 的两个零点，所以 ，相减得 ，12,x()gx1122lnxb221lnx不妨令 ，则 ，则 ，所以 ，1t21t1lt1lt，2lntx即证 ，即证 ， t()ln01tt14 分因为 ，所以 在 上单调递增，所以2214()()ttt()t,)，()0t综上所述，函数 总满足 成立. gx120x
16、16 分20解：（1）因为 单调递增，所以 ， ，2naiiA12iiB所以 ， . 1iiir1m4 分（ 2）若 单调递减，则 ， ，所以 ，n1iaim10imra不满足 ，i所以 单调递增. na6 分则 ， ，所以 ，即 ， ，iiA1iiB12iira12iia1i所以 是公差为 2 的等差数列， ， . n ()nn10 分（3）构造 ，其中 ， . ()nnanb2nnc12 分下证数列 满足题意.n证明：因为 ，所以数列 单调递增，1()2ana所以 ， ， iiiA11()2iiiB14 分所以 ， ，11()2iiiraim因为 ，121()0i iiii 11所以数列
17、单调递增，满足题意. ir16 分（说明：等差数列 的首项 任意，公差 为正数，同时等比数列 的首项 为nb1dnc1负，公比 ，这样构造的数列 都满足题意 .）(0,)qna附加题答案21. A、解：因为 与 相切于 ，所以 ， CDO:CDAB2 分又因为 为 的直径，所以 .ABO:90B又 ，所以 ，所以 ，所以 . DEEEABE4 分又 ， ，所以 .90C所以 ，所以 ， 425AD 6 分又 ，所以 . EBD14EB10 分B、由题意，矩阵 的特征多项式 ，M()(fa因矩阵 有一个特征值为 2， ，所以 . 024 分所以 ，即 ， 01xxyyxy代入方程 ，得 ，即曲线
18、 的方程为222()1C. 10 分284C、解：点 的直角坐标为 ， A,2 分圆 的直角坐标方程为 ， E22()()8xy6 分则点 到圆心 的距离 ，42dr所以点 在圆 外. A10 分D、解：因 ，2(1212)(112)abcdabcd6 分又 ，所以 ，bcd 2( )4abcd即 . 610 分22解：分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 .1,ABC,xyz则 ， ， ， ， ， (0,)(20)(,40)1(,2)A1(,0)B1(,42)C2 分（1）当 时， 为 的中点，所以 ，D,D12， ， ，设平面 的法向量为1(,2)DB1(0,4)AC1(,2)AD1A
19、CDnxyz则 ，所以取 ，又 ，401(2,)n114cos, 51|3Bn所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 1DB1AC456 分（2） ， ， ，24(,0)1(0,)AC，14(,)1A设平面 的法向量为 ，则 ，CD1(,)nxyz4201yxz所以取 . 1(,0)n8 分又平面 的一个法向量为 ，由题意得 ，1AB2(0,)n12|cos,|n所以 ，解得 或 （不合题意，舍去） ，2()313所以实数 的值为 . 3110 分23.解：（ 1） ， ， ， . 32TS453TS6724 分（2）猜想 . n5 分下用数学归纳法证明之.证明：当 时，由（1）知猜想成立；3假设当 时，猜想成立，即 ，而 ，所以得()nk12kTS3kSC. 6 分32kkTC则当 时，易知 ，131kSC而当集合 从 变为 时， 在 的基础上增加了 1M,2, ,2,1k 1kT个 2，2 个 3，3 个 4，和 个 ， ()8 分所以 1kT3()133222341k kCC 312kkC31k，1()2kS即 .1()kT所以当 时，猜想也成立.n综上所述，猜想成立. 10 分（说明：未用数学归纳法证明，直接求出 来证明的，同样给分. ）nT
