1、重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 1高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学()fx生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量 表示原自变量 的代数式，从而求出 ，这也是证某些公式或等式常用的方x()fx法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例 1：已知 ,求 .()21xf()f解：设 ,则 u21u2()1xf2.凑合法：在已知 的条件下，把 并凑成以 表示的代数式，再利用代换即
2、可求()(fgxh()hxgu.此解法简洁，还能进一步复习代换法。 ()fx例 2：已知 ，求31()fxx()f解： 又2 2211()3f x1|1|xx ，(| |1)23()fxx3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例 3 已知 二次实函数，且 +2 +4,求 .()f 2(1)()fxfx()fx解:设 = ，则x2abc 211)()abcabxc= 比较系数得 22()4x2()43,2c213()fx4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例 4.已知 = 为奇函数 ,当 0 时, ,求y()fxx()lg
3、1)fx()fx解: 为奇函数， 的定义域关于原点对称，故先求 0,()f x,()lg1)lfxx重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 2 为奇函数， 当 0 时，00 的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。定义在 R 上的函数 满足： 且 ，求 的值。fx()fxf()4fxf()()220f()2解：由 ，220以 代入，有 ，txftf()为奇函数且有f()又由 xfx()4ffxf()()84故 是周期为 8 的周期函数，x()ff()200例 2 已知函数 对任意实数
4、 都有 ，且当 时，xxy， fxyfy()()x0，求 在 上的值域。fxf()()1， f()21，解：设 x2且 ，R1， 则 ，x20由条件当 时， fx()0fx()21又 fx()21fxf()(21为增函数，重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 11令 ，则yxffx()()0又令 得 f()，xf()故 为奇函数，f()，f12ff()()14上的值域为fx()在 ， 2，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。f例
5、3 已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足fx()，试确定 的取值范围。fafa()()2402a解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数，x在 上是减函数，f()，由 得 。214a35a（1）当 时，不等式不成立。faff()()(202（2）当 时，3ffafa()()4120432解 之 得 ，（3）当 时，25aff()()42重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 12faa()2240145解 之 得 ，综上所述，所求 的取值范围是 。a()()325， ，例 4 已知 是定义在 上的减函数，若 对 恒成立，fx()(， 1f
6、mxfxsin(cos)2 21R求实数 的取值范围。m解： xx222231sincoics对 恒成立xRmx2231incos对 恒成立xx2223154sincos(in)对 恒成立，xRm2315420为 所 求 。三. 解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ ”，f转化为代数不等式求解。例 5 已知函数 对任意 有 ，当 时， ，fx()yR， fxyfxy()()20fx()2，求不等式 的解集。f()3a)23解：设 且xR12、 x12则 20，fx()1即 ，2重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCAT
7、ION 13fxfxfff()()()22111故 为增函数，x()又 ffff)()()32112345faf()()321，即因此不等式 的解集为 。fa()2a|13四. 证明某些问题例 6 设 定义在 R 上且对任意的 有 ，求证： 是周期函数，并fx()xffxf()()2fx()找出它的一个周期。分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出 （T 为非零常数）则 为周期函数，且周期为 T。fxf()(fx()证明： xf)121fxf()()123得2x)由（3）得 ff()()364由（3）和（4）得 。x上式对任意 都成立，因此 是周
8、期函数，且周期为 6。Rfx()例 7 已知 对一切 ，满足 ，且当 时， ，fx()y， fxyfy()()0， x0fx()1求证：（1） 时， （2） 在 R 上为减函数。01fx()； )证明： 对一切 有 。yR， yfxy(且 ，令 ，得 ，f()xf)0现设 ，则 ， ，0x(1而 ffx()重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 14fxf()(1，0设 且 ，xR12， x12则 f()，xx)221fffx()()1，x)12即 为减函数。f(五. 综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把
9、握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号” ，三f是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。f例 8 设函数 定义在 R 上，当 时， ，且对任意 ，有yx()x0fx()1mn，当 时 。fmnfn()()mffn（1）证明 ；01（2）证明： 在 R 上是增函数；fx()（3）设 ，Ayffyf|)()， 21，若 ，求 满足的条件。BxfabcabcRa()|( ， ， ， ， ， 0ABabc， ，解：（1）令 得 ，mn0ff()()0或 。f()0f()1若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾，fmf()()0mnffn()。f()（2）设
10、 ，则 ，由已知得x12x10重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 15，因为 ， ，若 时， ，由fx()21x10f()1x10xfx11， ()f()0xfffxfR)()()1122110在 上 为 增 函 数 。（3）由 得fxfyf()(2y2()由 得 （2）abc1axbc0从（1） 、 （2）中消去 得 ，因为y()axcb2220AB，()4cc即 ab22例 9 定义在（ ）上的函数 满足（1） ，对任意 都有1， fx()xy， ，()1，fxyfxy()()1（2）当 时，有 ，0， fx()0（1）试判断 的奇偶性；（2）判断 的单调
11、性；fx()f()（3）求证 。fnf()511322分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。解：（1）对条件中的 ，令 ，再令 可得xy， 0yx，所以 是奇函数。ffxffx()()()()00f()（2）设 ，则12xffffxfx()()121212，x12120，由条件（2）知 ，从而有 ，即 ，1 fx()120fxf()120fxf()12故 上单调递减，由奇函数性质可fx()在 ，0知， 在（0，1）上仍是单调减函数。f重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 16（3） fn()132ff
12、n()(12fnffffnfnfffnf()()()()()()()12511323412011202，ffnfnf()()(2151322。抽象函数问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。1. 求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的 x 这一特性，问fgx()()f()题就会迎刃而解。例 1. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是_。yfx()(， 1yfxlog()2分析：因为 相当于 中的 x，
13、所以 ，解得log2f) 1或 。2xx例 2. 已知 的定义域为 ，则 的定义域是_。f()(0)， 1yfxafa()()|12重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 17分析：因为 及 均相当于 中的 x，所以xaf()011xa(1)当 时，则20a()，(2)当 时，则1xa， 12. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。fx()f)例 3. 已知 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足 ，求证： 是偶函数。fx() yfxy()(fx()分析：在 中，令 ，fyfy()()1得 110令 ，得xyfff()()()0于是
14、fxx()故 是偶函数。x例 4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数yfx()0yfx()是偶函数。yfx()证明：设 图象上任意一点为 P（ ）yfx()xy0，与 的图象关于原点对称，关于原点的对称点 在 的图象上，Pxy()0， ()xy0， fx()f00()又 yfx()(00即对于函数定义域上的任意 x 都有 ，所以 是偶函数。ffx()yfx()3. 判断单调性重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 18根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例 5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为 5，那
15、么 在区间 上是fx()37， fx()73，A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为5C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为分析：画出满足题意的示意图 1，易知选 B。图 1例 6. 已知偶函数 在 上是减函数，问 在fx()0)， fx()上是增函数还是减函数，并证明你的结论。()， 0分析：如图 2 所示，易知 在 上是增函数，证明如fx()，下：任取 x121200因为 在 上是减函数，所以 。f()， fxf()()12又 是偶函数，所以x，fffxf()()(1122，从而 ，故 在 上是增函数。x)， 0图 24. 探求周期性这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条
16、件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。例 7. 设函数 的定义域为 R，且对任意的 x，y 有fx()，并存在正实数 c，使 。试问 是否为周期函数？若是，fxyfy()()2f()20fx()求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条件，且 ，猜测yoscos20是以 2c 为周期的周期函数。fx()fcfxcfxcfxfff)()()(2220y 5 O -7 -3 3 7 x -5 y O x 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 19故 是周期函数，2c 是它的
17、一个周期。fx()5. 求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例 8. 已知 的定义域为 ，且 对一切正实数 x，y 都成立，若 ，fx()Rfxyfy()()f()84则 _。f(2)分析：在条件 中，令 ，得fxyfy()()xy4，f()8424又令 ，xy得 ，ff(4)2()1例 9. 已知 是定义在 R 上的函数，且满足： ，fx() fxfxf()()21，求 的值。f()9720分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，于是fx()fx()1，fxfx()()21fxfxfxf
18、f()()()()()42111所以 fxfxf()()84故 是以 8 为周期的周期函数，从而fff(201)()(2501976. 比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 20例 10. 已知函数 是定义域为 R 的偶函数， 时， 是增函数，若 ， ，且fx()x0fx()x102，则 的大小关系是_。|x12f(12，分析： 且 ，x0， |x12012又 时， 是增函数，xfx()f(21是偶函数，x)ff()11故 x27. 讨论方程根的问题例 11.
19、 已知函数 对一切实数 x 都满足 ，并且 有三个实根，则这三个f()fxf()()1fx()0实根之和是_。分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。fxf()()1f()又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关于直线 对)0x1x23， x1称，所以 ，故 。x2321238. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例 12. 已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数 x，不等式fx()(， 1恒成立，求 k 的值。fkxfkx(sin)(sin)2分析：由单调性，脱去函数记号，得kxx222214sinsi()i()由题意知(1)(2)两式
20、对一切 恒成立，则有xR重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 21kxk222114941(sin)miax9. 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。例 13. 若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_对称。yfx()2yfx()分析： 的图象 的图象，而 是偶函数，对称轴是f()右 移 个 单 位左 移 个 单 位2f()2yfx()2，故 的对称轴是 。x0yxx例 14. 若函数 的图象过点（0，1） ，则 的反函数的图象必过定点_。f()fx()4分析： 的图象过点（0，1） ，从而 的图象过点 ，由原函数与其反函数图象间x (
21、)1，的关系易知， 的反函数的图象必过定点 。f()4()1，10. 求解析式例 15. 设函数 存在反函数， 与 的图象关于直线 对称，则函fx()gxfhx()()1， g()xy0数 hx()A. B. C. D. ffx()fx1()fx1()分析：要求 的解析式，实质上就是求 图象上任一点 的横、纵坐标之间yh)yhPy)0，的关系。点 关于直线 的对称点 适合 ，即 。Px()0， x()x0， yfx1()g00()又 ，gf(1xyfxyfx00000)()()即 ，选 B。hf()抽象函数的周期问题2001 年高考数学（文科）第 22 题：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于
22、直线 对称。fx()Rx1对任意 都有 。x120， ，fx(1212（I）设 求 ；f()， )4，重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 22（II）证明 是周期函数。fx()解析：（I）解略。（II）证明：依题设 关于直线 对称yfx()1故 fxR()2，又由 是偶函数知fxfx()，R()2，将上式中 以 代换，得fxx()，这表明 是 上的周期函数，且 2 是它的一个周期是偶函数的实质是 的图象关于直线 对称fx()fx()x0又 的图象关于 对称，可得 是周期函数1f()且 2 是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设 是定义在 上的偶函
23、数，其图象关于直线 对称，证明 是周期函fx()Rxa()0fx()数，且 是它的一个周期。a证明： 关于直线 对称f()axx2，又由 是偶函数知f()ffxR()，xax，将上式中 以 代换，得f R()2，是 上的周期函数x且 是它的一个周期a思考二：设 是定义在 上的函数，其图象关于直线 和 对称。证明 是f() xab()fx()周期函数，且 是它的一个周期。2b重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 23证明： 关于直线 对称fx()axb和aRfbxfx()(2， ，将上式的 以 代换得fafR()()2，xbxabfxafxR()()22，是 上的
24、周期函数f()R且 是它的一个周期2a若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数” ， 还是不是周期函数？经过探索，我们得到fx()思考三：设 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且fx()R1fx()4 是它的一个周期。 ，证明： 关于 对称 f()1fxxR()2，又由 是奇函数知 fxff()()， ，将上式的 以 代换，得ffxRxffx()()()242，是 上的周期函数 且 4 是它的一个周期fx()R是奇函数的实质是 的图象关于原点（0，0）中心对称，又 的图象关于直线 对fx() fx()x1称，可得 是周期函数，且 4 是它的一个周期。由此进行一般化推
25、广，我们得到fx()思考四：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 中心对称，且其图象关于直线RMa()， 0对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。xba()fx()4()b证明： 关于点 对称fx()Ma()， 0 faxfxR()(2，重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 24关于直线 对称fx()bxRfbfa)(2， ，将上式中的 以 代换，得fbxfaxRffbxafR()()()()2242，是 上的周期函数 且 是它x4()ba的一个周期由上我们发现，定义在 上的函数 ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则Rfx()是 上的周期函
26、数。进一步我们想到，定义在 上的函数 ，其图象如果有两个对称中心，那fx()RRfx()么 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 和 对称。证明fx()RMa()， 0Nba()， 是周期函数，且 是它的一个周期。fx()2ba证明： 关于 对称f()MN()()， ， ，0axfxRfbf()()2， ，将上式中的 以 代换，得xfaxfbxRaf()()()()22，是周期函数fx且 是它的一个周期2()ba抽象函数解法例谈抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数
27、值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题,一:函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用
28、奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知 4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等.重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 25二:特殊化方法1 在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将 x 换成-x 或将 x 换成等2 在求函数值时,可用特殊值代入3 研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明
29、又一村的快感.1 已知函数 f(x)对任意 x、yR 都有 f(x+y)f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且 f(1)=1若 t 为自然数,(t0)试求 f(t)的表达式满足 f(t)=t 的所有整数 t 能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理由若 t 为自然数且 t4 时, f(t) mt 2+(4m+1)t+3m,恒成立,求 m 的最大值.2 已知函数 f(x)= ,且 f(x),g(x)定义域都是 R,且 g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) 1)(xg g(n)= g(m+n)(m、nR) 求证：f(x)是 R 上的增函数当 n N,n3
30、时,f(n)1n解: 设 x1x2g(x)是 R 上的增函数, 且 g(x)0g(x1) g(x2) 0g(x1)+1 g(x2)+1 0 0)(2xg1)(x- 0)(2)(1f(x1)- f(x2)= - =1- -(1- )(1xg1)(2)(1xg1(2xg= - 0)(2)(1f(x1) f(x2)f(x)是 R 上的增函数 g(x) 满足 g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 且 g(x)0g(n)= g(1)n=2n重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 26当 n N,n3 时, 2 nnf(n)= 1- ， 1-1nn1n2n（1+1
31、） n1+n+ +n+12n+1inC2n+12n+21-112n当 n N,n3 时,f(n)3 设 f1(x) f2(x)是(0,+)上的函数,且 f1(x)单增,设f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+)上的任意两相异实数 x1, x2恒有| f 1(x1) f 1(x2)| | f2(x1) f 2(x2)|求证：f (x)在(0,+)上单增.设 F(x)=x f (x), a0、b0.求证：F(a+b) F(a)+F(b) .证明:设 x 1x20f1(x) 在(0,+) 上单增f1(x1) f 1(x2)0| f1(x1) f1(x2)|= f1(x1) f 1(x
32、2)0| f1(x1) f 1(x2)| | f2(x1) f 2(x2)|f1(x2)- f1(x1) f1(x2)+ f2(x2)f(x1) f(x2)f (x)在(0,+)上单增 F(x)=x f (x), a0、 b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+) 上单增F(a+b)af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4 函数 yf(x)满足f(a+b)f (a)f (b)，f(4)16, m、n 为互质整数，n0求 f( )的值nm重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 27f(0
33、) =f(0+0)=f(0) f(0)=f2(0)f(0) =0 或 1.若 f(0)=0 则 f(4)=16=f(0+4)=f(0) f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2) f(2)=f(1) f(1) f(1) f(1)=16f(1)=f2( )01f(1)=2.仿此可证得 f(a)0. 即 y=f(x)是非负函数.f(0)=f(a+(-a)=f(a) f(-a)f(-a)= )(1afnN *时 f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f( + + )=fn( )=211f( )= n2f( )=f( )m= 1n5 定义在（-1，1）上的函数 f (x)满
34、足 任意 x、y（-1，1）都有 f(x)+ f(y)f ( )，x（-1，0）时，xy1有 f(x) 01) 判定 f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由2) 判定 f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明3) 求证：f ( )f ( )f ( )32n12n或 f ( )+f ( )+f ( ) f ( ) (nN *)5321解:1) 定义在（ -1，1）上的函数 f (x)满足任意 x、y（-1，1）都有 f(x)+ f(y)f ( ),则当 y=0 时, f(x)+ f(0)f(x)xyf(0)=0当-x=y 时, f(x)+ f(-x)f(0)重 庆 书 之 香 教 育
35、CHONG QING EDUCATION 28f(x)是（ -1，1）上的奇函数2) 设 0x1x2-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=)1(2xf0x1x2-1 ,x（-1， 0）时，有 f(x) 0,1-x1 x20, x1-x200)(21f即 f(x)在（-1，0）上单调递增.3) f ( )=f( )32n1232n=f( )=f( )2(1n21n=f( )-f( )f ( )+f ( )+f ( )51132n=f( )-f( )+f( )-f( )+f( )+f( )-f( )23421n= f( ) -f( )=f( )+f(- )n2x（-1， 0）时
36、，有 f(x) 0f(- )0, f( )+f(- )f( )11n2即 f ( )+f ( )+f ( ) f ( )53211) 6 设 f (x)是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x=1 对称, 对任意 x1、x 2 0, 都有 f (x1+ x2)12f(x 1) f(x2), 且 f(1)=a0.求 f ( )及 f ( );12 14证明 f(x)是周期函数记 an=f(2n+ ), 求 (lnan)12n lim解: 由 f (x)= f ( + )=f(x)2 0,f(x)x2 x2 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 29a= f(1
37、)=f(2n )=f( + + )f ( )212n 12n12n 12n 12n解得 f ( )=12n af ( )= ,f ( )= .12 14 f(x)是偶函数 ,其图像关于直线 x=1 对称,f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).f(x+2)=f1+(1+x)= f1-(1+x)= f(x)=f(-x).f(x)是以 2 为周期的周期函数. an=f(2n+ )= f ( )=12n 12n a(lnan)= =0limli7 设 是定义在 R 上的恒不为零的函数，且对任意 x、yR 都有)(xfyf(x+y)f(x)f(y)求 f(0)，设当 xf(0)证明当 x0
38、时 0f(x)1,设 a1= ,an=f(n)（nN * ） ，s n为数列a n前 n 项和，求 sn.2 limn解：仿前几例，略。 anf(n) ，a1f(1)2an+1f(n+1)=f(n)f(1) an21数列a n是首项为 公比为 的等比数列sn1- 21sn1lim8 设 是定义在区间 上的函数，且满足条件：)(xfy1,（i） ;0（ii）对任意的 .|)(|, vufvu都 有重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 30（）证明：对任意的 ;1)(,1 xfxx都 有（）证明：对任意的 |, vuvu都 有（）在区间1，1上是否存在满足题设条件的
39、奇函数 ，且使得)(xfy.1,2,|)(| .,0.| vuvfu当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.（）证明：由题设条件可知，当 时，有1,x ,1|)(|)(| xfxf 即 .1)(xf（）证法一：对任意的 .|v-u|f()-|,|,有时当 vuvu当 不妨设 则0,|v-u| 时 1,u0且所以， |)(|)1(|)(| vfvff综上可知，对任意的 都有.21uv ,.1|)(|vfu证法二：由（）可得，当 所以，|)(|,01x,-f(),0 xfxfx 时时当 因此，对任意的.|1)(|,fx时 ,vu当 时， 当 时，有|vu.|vuf|0且 .2|1v所以 .1)|(2|1|)()( vufff综上可知，对任意的 都有,u.)f（）答：满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数 满足条件，则由)(xf ,12,|)(| vufu得 又 所以 .21|)(21| f ,0.21|f又因为 为奇数，所以 由条件x.)(f ,0,|)(|v得 与矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.|0)(| ff
