1、导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题） 、主观题（解答题） 、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题【例 1】函数 f(x)=x(x-1) (x-2)(x-100)在 x=0 处的导数值为A.0 B.1002 C.200 D.100！解法一 f (0)= = xffx)0(lim0 xx0)1()2(1li= (x-1)(x -
2、2)(x -100)=（-1） （-2）（-100）=100！ 选 D.li0解法二 设 f(x)=a101x101+ a100x100+ a1x+a0，则 f (0)= a1，而 a1=（-1） （-2）（-100）=100！. 选 D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例 2】 已知函数 f(x)= ，nN *，则knnn xcxcxcc 11210 = .fxfx)2)2(lim0解 =2 +xffx)()( xffx2)(lim0=2f (2)+ f (2)=3 f (2)，ffx)2(
3、2li0又f (x)= ，111 nknn xcxccf (2)= （2 ）= (1+2)n-1= (3n-1).nkn22 21点评 导数定义中的“增量 x”有多种形式，可以为正也可以为负，如，且其定义形式可以是 ，也可以是xmffx)(00li xmffx)(00li（令 x=x-x0 得到） ，本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知0)(fx识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例 3】 如圆的半径以 2 cm/s 的等速度增加，则圆半径 R=10 cm 时，圆面积增加的速度是 .解 S=R 2，而 R=R(t)， =2 cm/s， = =2R =4R，ttSt)(2t /
4、R=10=4R/ R=10=40 cm 2/s.t点评 R 是 t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间 t 而言的（R 是中间变量） ，此题易出现“ S=R2，S =2R，S /R=10=20 cm2/s”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004 年高考湖北卷理科第 16 题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失 4 分.二、与曲线的切线有关的问题【例 4】 以正弦曲线 y=
5、sinx 上一点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是A. B. C. D. 4,0,3,043,4,03,2解 设过曲线 y=sinx 上点 P 的切线斜率角为 ，由题意知，tan =y =cosx.cosx -1，1， tan -1，1 ，又 ， .,故选 A.点评 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f (x0)表示曲线，y=f( x)在点（x 0，f(x 0)）处的切线斜率，即 k=tan( 为切线的倾斜角 )，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例 5】 曲线 y=x3-ax2 的切线通过点（0，1） ，且过点（
6、0，1）的切线有两条，求实数 a的值.解 点（0，1）不在曲线上，可设切点为（m,m 3-am2）. 而 y =3x2-2ax，k 切 =3m3-2am，则切线方程为 y=(3m3-2am)x-2m3-am2.切线过（0，1） ，2m 3-am2+1=0.(*)设（*）式左边为 f(m)，f( m)=0，由过（0，1）点的切线有 2 条，可知 f(m)=0 有两个实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于 0，且 a0”.由 f(m)=2m3-am2+1，得 f (m)= 6m3-am2=2m(3m-a)，令 f (m)=0，得 m=0，m = ，3aa0，f(0)f( )=0，
7、即 a 0，- a3+1=0，a=3.71点评 本题解答关键是把“切线有 2 条”的“形”转化为“方程有 2 个不同实根”的“ 数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于 “极大值大于 0，且极小值小于 0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例 6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.、 B.、 C.、 D.、解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于 0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于 0，原函数在该区间为减函数，而此抛物
8、线与 x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是、，故选 C.点评 f (x)0（或，其中 是方程 f(x)=x 的实数根；a n+1=f(an)，n N *；f(x) 的导数 f (x)（0，1）.（1）证明：a n，nN *；（2）判断 an 与 an+1 的大小，并证明你的结论.（1）证明：（数学归纳法）当 n=1 时，由题意知 a1，原式成立.假设当 n=k 时，a k，成立.f (x)0，f(x )是单调递增函数.a k+1= f(ak) f()=， （ 是方程 f(x)= x 的实数根）即当 n=k+
9、1 时，原式成立.故对于任意自然数 N*，原式均成立.（2）解：g(x)=x-f( x),x， g (x)=1-f (x)，又00.g (x)在 上是单调递增函数 .,而 g ()= -f( )=0，g (x)g() (x)，即 xf(x).又由（1）知，a n，a nf(an)=an+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例 9】 设 x0，比较 A=xe-x，B=lg(1+x)，C= 的大小.x1解 令 f(x)=C-B= -lg(1+x)，则 f (x)= 0，1)22f(x)为 上的增函数，f( x)
10、f(0)=0，CB.,0令 g(x)=B-A=lg(1+x)-xe-x，则当 x0 时，g (x)= 0，xe1)(2g(x)为 上的增函数， g( x)g(0)=0，BA.,因此，CBA（x =0 时等号成立） .点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如 f(a)=(a)，要证明当 xa时，有 f(a)=(a)，则只要设辅助函数 F(x)= f(a)-(a)，然后证明 F(x)在 xa 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004 年全国卷的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例 10】 某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线，现要通过
11、技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值 y 万元与技术改造投入 x 万元之间满足：y 与( a-x)和 x2 的乘积成正比；当 时，y =a3.并且技术改造投入比率：2x ,其中 t 为常数，且 t .)(2xa0,0（1）求 y=f(x)的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值 y 的最大值及相应的 x 值.解：（1）由已知，设 y=f(x)=k(a-x)x2，当 时，y= a 3，即 a3=k ，k =8，则 f(x)=8-(a-x)x2.x400，此时 f(x)在（0， ）上单调递增；3a3当 x 时，f (x)0，此时 f(x)是单调递减.当 时
12、，即 1t2 时，y max=f( )= ；12ta332a37当 时，即 0t1 时，y max=f( )= .t 12t32)(t综上，当 1t2 时，投入 万元，最大增加值是 ，当 0t1 时，投入 万3a7a12ta元，最大增加值是 .32)(t点评 f (x0)=0，只是函数 f(x)在 x0 处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数 f(x)确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时 f(x)在定义区间内部又只有一个使 f (x0)=0 的点 x0，那么就不必判断 x0 是否为极值点，取什么极值，可断定 f(x0)就是所求的最大或最小值.
