1、第九讲 抽屉原理一、知识点：1 把 27 个苹果放进 4 个抽屉中，能否使每个抽屉中苹果数均小于等于 6？那么至少有一个抽屉中的苹果数大于等于几？2 把 25 个苹果放进 5 个抽屉中，能否使每个抽屉中苹果数均小于等于 4？那么至少有一个抽屉中的苹果数大于等于几？上述两个结论你是如何计算出来的？规律：用苹果数除以抽屉数，若余数不为零，则“答案 ”为商加 1，若余数为零，则“答案” 为商。抽屉原则一：把 个以上的苹果放到 个抽屉中，无论怎样放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。nn抽屉原则二：把多于 个苹果放到 个抽屉中 ,无论怎样放,一定能找到一个抽屉 ,它里面至少有( +1)个苹果。
2、m m二、 基础知识训练（再蓝皮书）1、 把 98 个苹果放到 10 个抽屉中， 无论怎么放， 我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少含有 个苹果。2、1000 只鸽子飞进 50 个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有 只鸽子。3、从 8 个抽屉中拿出 17 个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了 个苹果。4、从 个抽屉中（填最大数）拿出 25 个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了 7 个苹果。三、 思路与方法：在抽屉原理问题，难在有些题目抽屉没有直接给出，要求我们自己根据题意去造抽屉，但我们也不要为此感到
3、困难，往往在题目有一句关键的话，告诉我们抽屉的性质，我们可以根据此性质来构造抽屉即可。训 练 题1 六（1）班有 49 名学生。数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除 3 人外均在 86 分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有 4 人成绩相同。 ”请问王老师说的对吗？为什么？2 从 这 100 个数中任意挑选出 51 个数来，证明在这 51 个数中，一定：0,3,（1）有 2 个数互质； （2）有两个数的差为 50；3 圆周上有 2000 个点，在其上任意地标上 （每一点只标一个数，不同的点标上不同的数） 。19,20求证：必然存在一点，与它紧相邻的；两个点和这点上所标的三个数之和不小
4、于 2999。4 有一批四种颜色的小旗,任意取出三面排成一行,表示各种信号.证明:在 200 个信号中至少有 4 个信号完全相同. 5 在 37 的方格表中，有 11 个白格，证明：（1）若仅含一个白格的列只有 3 列，则在其余的 4 列中每列都恰有两个白格；（2）只有一个白格的列至少有 3 列。6一个车间有一条生产流水线，由 5 台机器组成，只有每台机器都开动时，这篛流水线才能工作。总共有8 个工人在这条流水线上工作。在每一个工作日内，这些工人中只有 5 名到场。为了保证生产，要对这 8名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮。问：最少要进行多少轮培训，才能使任意 5 个工人上班而流
5、水线总能工作？7在圆周上放着 100 个筹码，其中有 41 个红的和 59 个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有 19 个筹码，为什么？8试卷上共有 4 道选择题，每题有 3 个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何 3 人，都有一道题目的答案互不相同。问：参加考试的学生最多有多少人？9某个委员会开了 40 次会议，每次会议有 10 人出席。已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。问：这个委员会的人数能够多于 60 人吗？为什么？10某此选举，有 5 名候选人，每人只能选其中的一人或几人，至少有 人参加选举，才能保证有 4 人选票选的人相同11一次考试有 20
6、 道题，有 20 分基础分，答对一题加 3 分，不达不加分也不减分，答错一题减 1 分，若有100 人参加考试，至少有多少人得分相同？12一次数学竞赛，有 75 人参加，满分 20 分，参赛者得分都是整数，75 人的总分是 980 分，问至少有几个人得分相同？第九讲 抽屉原理提示与答案提示：1 关键词：成绩相同；抽屉性质：有相同成绩的人在同一个抽屉中，所以我们要根据成绩来造抽屉；2 关键词：数互质；抽屉性质：抽屉中已有数，并且同一抽屉中的数互质；关键词：差为 50；抽屉性质：抽屉中已有数，并且同一抽屉中的数差为 50；3 从反面考虑问题，假设所有这样的和均小于 2999，这样每个和最大为 29
7、98，我们用两种方法来计算一下所有数的和即可；4 关键词：信号完全相同；抽屉性质：同一抽屉中放的信号均相同；5 反证法；6 想想一个车床至少要有几个人会，假设有一个车床只有 3 个人会可以吗？那这 3 个人如果有一天都没来，会怎样？7 关键词：选票选的人完全相同；抽屉性质：选的人完全相同的人在一个抽屉中；8 想想一共有多少种分值，注意有些分值得不到；9 先不考虑总分，你能算出至少有几人得分相同吗？然后再考虑总分，注意此时从最好或最外的方面来考虑。答案：1 对 ，2 （1）相邻两数为一组，构成一个抽屉，共 50 个抽屉；（2）差为 51 的两数为一组，构成一个抽屉，共 50 个抽屉；3假设所有这
8、样的和均小于 2999，这样每个和最大为 2998，这样一共 2000 个和的最大可能值为：299820005996000；在上述算法中，0 至 2000 这 2000 个数，每个数都算了 3 次，这样上述的 2000 个和应该等于（0122000）35997000。与最大可能值为 5996000 矛盾，所以假设不成立。4四种颜色的小旗，任意取出三面后排列共可组成 44464 个信号；这将 64 个信号作为抽屉即可。5 略6 假设有一个车床只有 3 个人会使用，这样某一在这 3 个人都没来，这时这条流水线就不能正常运转，所以每个车床至少应有 4 个会使用，这样需进行 4520 轮培训；下面说明
9、，进行 20 轮培训一定可以。若对 3 个人进行全能培训，使他们对这 5 个车床均会使用，对剩下的 5 个人，分别进行 1、2、3、4、5 这 5 号车床中的一个车床的培训，使他们 5 个人在场可使流水线正常运转，这样任意五人在场就都可使流水线正常运转，则此时对工人进行的培训正好是 20 轮。7 从 5 人中选 1 人有 5 种选法；从 5 人中选出 2 人有 10 种选法；从 5 人中选中 3 人也有 10 种选法，从 5人中选出 4 人有 5 种选法；从 5 人中选出 5 人有 1 种选法，综上，共有 31 种不同的选法，将这 31 种不同的选法做为 31 个抽屉，由抽屉原理知：答案为：3
10、13194；8 分别计算一下第一名、第二名、第三名、各得多少分，会发现，最高分为 80 分，最低分为 0 分，但中间有一些分值得不到，它们是 79,78,75。所以共有 81378 种分值，将这 78 种分值做为 78 个抽屉，抽屉原理得答案为：29 如果不考虑总分 980，易得至少有 4 人得分相同，现加入条件 980 分，（1） 若最多有 4 人得分相同，此时这 75 人得分最高可能为：4 个 20 分，4 个 19 分,4 个 3 分,3 个 2分，总和为 834 分，所以最多有 4 人得分相同不可能；（2） 若最多有 5 人得分相同，此时这 75 人得分最高可能为：5 个 20 分，5
11、 个 19 分,5 个 6 分,总和为975 分，所以最多有 5 人得分相同不可能；（3） 若最多有 6 分得分相同，此时易知这 75 人得分可以满足 980 分这个条件，综上，此题答案为 6 人。抽屉原理练习题1木箱里装有红色球个、黄色球个、蓝色球个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 解：把种颜色看作个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于，故至少取出个小球才能符合要求。 2一幅扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 解：点数为 1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)
12、的牌各取 1 张，再取大王、小王各 1 张，一共 15 张，这 15 张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取 1 张的话，它的点数必为 113 中的一个，于是有 2 张点数相同。 311 名学生到老师家借书，老师是书房中有、四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。证明：若学生只借一本书，则不同的类型有、四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有 AB、AC、AD、BC、BD、CD 六种。共有 10 种类型，把这 10 种类型看作 10 个“抽屉”，把11 个学生看作 11 个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原
13、理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。 4有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。 证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有 1、2、349，只有49 种可能，以这 49 种可能得分的情况为 49 个抽屉，现有 50 名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。5体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班 50 名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿个球，至多拿个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？ 解题关键：利用抽屉原理。 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下种：足排蓝足足排排蓝蓝足排足蓝排蓝
14、。以这种配组方式制造个抽屉，将这 50 个同学看作苹果 509 55 由抽屉原理km/n 可得，至少有人，他们所拿的球类是完全一致的。 6某校有 55 个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于 2 人，又知参赛者中任何 10 人中必有男生，则参赛男生的人生为_人。 解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于 2 人，所以女生至少有 4219（人）；因为任意 10 人中必有男生，所以女生人数至多有 9 人。所以女生有 9 人，男生有 55946（人）7、 证明：从 1，3，5，99 中任选 26 个数，其中必有两个数的和是 100。解析：将这 50 个奇数按照和为 100
15、，放进 25 个抽屉：（1，99），（3，97），（5，95），（49 ，51）。根据抽屉原理，从中选出 26 个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为 100。8. 某旅游车上有 47 名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有_人带苹果。解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有 46 人。9. 一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数
16、，那么小明至少把这些水果分成了_堆。解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有 4 种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了 4+1=5 筐。10. 有黑色、白色、蓝色手套各 5 只（不分左右手），至少要拿出_只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。解析：考虑最坏情况，假设拿了 3 只黑色、1 只白色和 1 只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那 6 只。11.从前 25 个自然数
17、中任意取出 7 个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5 倍.证明:把前 25 个自然数分成下面 6 组:1; 2,3; 4,5,6; 7,8,9,10; 11,12,13,14,15,16; 17,18,19,20,21,22,23, 因为从前 25 个自然数中任意取出 7 个数,所以至少有两个数取自上面第组到第组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的 1.5 倍.12一副扑克牌有四种花色，每种花色各有 13 张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4 张牌是同一种花色的？解析：根据抽屉原理，当每次取出 4 张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此
18、类推，当取出 12 张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第 13 张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有 4 张牌是同一种花色，选 B。13从 1、2、3、4、12 这 12 个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是 7？【解析】在这 12 个自然数中，差是 7 的自然树有以下 5 对：12，511，410，39，28，1。另外，还有 2 个不能配对的数是67。可构造抽屉原理，共构造了 7 个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于 7。这 7 个抽屉可以表示为12，511，410，39，28，167，显然从 7 个抽屉中取 8 个数，则
19、一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为 7，所以选择 D。15某幼儿班有 40 名小朋友，现有各种玩具 122 件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到 4 件或 4 件以上的玩具？分析与解：将 40 名小朋友看成 40 个抽屉。今有玩具 122 件，122=3402。应用抽屉原理 2，取 n40，m3，立即知道：至少有一个抽屉中放有 4 件或 4 件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到 4 件或 4 件以上的玩具。16一个布袋中有 40 块相同的木块，其中编上号码 1，2，3，4 的各有 10 块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有 3 块号码相同的木块
20、？分析与解：将 1，2，3，4 四种号码看成 4 个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有 3 件物品，根据抽屉原理 2，至少要有 421=9（件）物品。所以一次至少要取出 9 块木块，才能保证其中有 3 块号码相同的木块。17六年级有 100 名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙 3 种情况；订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲 3 种情况；订三种杂志有：订甲乙丙 1 种情况。总共有 331=7（种）订阅方法。我们将这 7 种订法看成是 7 个“抽屉”
21、，把 100 名学生看作100 件物品。因为 1001472。根据抽屉原理 2，至少有 14115（人）所订阅的报刊种类是相同的。18篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有 81 个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？分析与解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有 4 种，两个水果不同有 6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4610（种）。将这 10 种搭配作为 10 个“抽屉”。8110=81（个）。根据抽屉原理 2，至少有 819（个）小朋友拿的水果相同。19学校开办了语文、数学、
22、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于 5 名同学参加学习班的情况完全相同？分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班有 1 种情况，只参加一个学习班有 3 种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术 3 种情况。共有1337（种）情况。将这 7 种情况作为 7 个“抽屉”，根据抽屉原理 2，要保证不少于 5 名同学参加学习班的情况相同，要有学生 7（5-1）129（名）。20. 在 1，4，7，10，100 中任选 20 个数，其中至少有不同的两对数，其和等于 104。分析：解这道题，可以考虑先将
23、4 与 100，7 与 97，49 与 55，这些和等于 104 的两个数组成一组，构成 16 个抽屉，剩下 1 和 52 再构成 2 个抽屉，这样，即使 20 个数中取到了 1 和 52，剩下的 18个数还必须至少有两个数取自前面 16 个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于 104；如果取不到 1 和 52，或 1 和 52 不全取到，那么和等于 104 的数组将多于两组。解：1，4，7，10，100 中共有 34 个数，将其分成4，100，7，97，49，55，1，52共 18 个抽屉，从这 18 个抽屉中任取 20 个数，若取到 1 和 52，则剩下的 18 个数取自前 16
24、 个抽屉，至少有 4 个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取 1 和 52，则有多于 18 个数取自前 16 个抽屉，结论亦成立。21. 任意 5 个自然数中，必可找出 3 个数，使这三个数的和能被 3 整除。分析：解这个问题，注意到一个数被 3 除的余数只有 0，1，2 三个，可以用余数来构造抽屉。解：以一个数被 3 除的余数 0、1、2 构造抽屉，共有 3 个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是 3 的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么 5 个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是 3 的倍数，结论亦成立。22. 在边长为
25、 1 的正方形内，任意放入 9 个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过 1/8.解：分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为 1/4 。把这四个小正方形看作 4 个抽屉，将 9 个点随意放入 4 个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有 3 个点。显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过 1/8 。反思：将边长为 1 的正方形分成 4 个面积均为 1/4 的小正方形，从而构造出 4 个抽屉，是解决本题的关键。我们知道。将正方形分成面积均为 1/4 的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成 4 个全等的直角
26、三角形，这 4 个图形的面积也都是 1/4 ，但这样构造抽屉不能证到结论。可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。23 班上有 50 名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。解：把 50 名学生看作 50 个抽屉，把书看成苹果 ,根据原理 1，书的数目要比学生的人数多,即书至少需要 50+1=51 本.24 在一条长 100 米的小路一旁植树 101 棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过 1 米。解：把这条小路分成每段 1 米长，共 100 段,每段看作是一个抽屉，共 100 个抽屉，把 101 棵树看作是 101 个苹果 ,于是 101
27、 个苹果放入 100 个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 ,即至少有一段有两棵或两棵以上的树 .25 有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜.试证明：一定有两个运动员积分相同证明：设每胜一局得一分,由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有 1、2、349，只有49 种可能 ,以这 49 种可能得分的情况为 49 个抽屉 ,现有 50 名运动员得分 则一定有两名运动员得分相同 .26.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班 50 名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿 1 个球，至多拿 2 个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？解题关键：利用抽屉原理 2。解：
28、根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下 9 种：足排蓝足足排排蓝蓝足排足蓝排蓝以这 9 种配组方式制造 9 个抽屉,将这 50 个同学看作苹果5.55由抽屉原理 2k 1 可得，至少有 6 人，他们所拿的球类是完全一致的。【欢迎你来解】1.某班 37 名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？2.42 只鸽子飞进 5 个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？3.口袋中有红、黑、白、黄球各 10 个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4 个颜色相同的球？4.饲养员给 10 只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到 7 个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？5.从 13 个
29、自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是 12 的倍数。6.一个班有 40 名同学，现在有课外书 125 本。把这些书分给同学，是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？试题一：一副扑克牌(去掉两张王牌)，每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的?试题二：有一副扑克牌共 54 张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有 4 张花色相同?(2)四种花色都有?试题三：小学生数学竞赛，共 20 道题，有 20 分基础分，答对一题给 3 分，不答给 1 分，答错一题倒扣 1 分，若有 1978 人参加竞赛，问至少有()人得分相同。试题一解答：扑克牌中有方
30、块、梅花、黑桃、红桃 4 种花色，2 张牌的花色可以有：2 张方块，2 张梅花，2 张红桃，2 张黑桃，1 张方块 1 张梅花，1 张方块 1 张黑桃，1 张方块 1 张红桃，1 张梅花 1 张黑桃，1 张梅花 1 张红桃，1 张黑桃 1 张红桃共计 10 种情况。把这 10 种花色配组看作 10 个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多 1 个就可以有题目所要的结果。所以至少有 11 个人。试题二解答：一副扑克牌有 2 张王牌，4 种花色，每种花色 13 张，共 52 张牌。(1)按照最不利的情况，先取出 2 张王牌，然后每种花色取 3 张，这个时候无论再取哪一种花色的牌都能保证有一种花色是 4
31、 张牌，所以需要取 2+34+1=15 张牌即可满足要求。(2)同样的，仍然按照最不利的情况，取 2 张王牌，然后 3 种花色每种取 13 张，最后任取一种花色，此时再取一张即可保证每种花色都有。共需取 2+133+1=42 张牌即可满足要求。试题三解答：20+320=80，20-120=0，所以若 20 道题全答对可得最高分 80 分，若全答错得最低分0 分。由于每一道题都得奇数分或扣奇数分，20 个奇数相加减所得结果为偶数，再加上 20 分基础分仍为偶数，所以每个人所得分值都为偶数。而 0 到 80 之间共 41 个偶数，所以一共有 41 种分值，即 41 个抽屉。197841=4810，
32、所以至少有 49 人得分相同。试题1、有 400 个小朋友参加夏令营，问：这些小朋友中至少有多少人不单独过生日。2、在一副扑克牌中，最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？3、在一个口袋中有 10 个黑球，6 个白球，4 个红球，问：至少从中取出多少个球，才能保证其中一定有白球？4、口袋中有三种颜色的筷子各 10 根，问：（1） 、至少要取多少根才能保证三种颜色都取到？（2）至少要取多少根才能保证有 2 双不同颜色的筷子？（3）至少要取多少根才能保证有 2 双相同颜色的筷子？5、袋子里红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从代中任意取出若干个球，问：至少要取出多少个球，才能保证有 3 个
33、球是同一种颜色的？6、一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种，问：至少捞出多少鱼，才能保证有 5 条相同品种的鱼？7、某小学五年级的学生身高（按整厘米算） ，最矮的是 138 厘米，最高的是 160 厘米，至少要选出多少人才能保证有 5 个学生的身高是相同的？8、一把钥匙只能打开一把锁，现有 10 把钥匙和其中的 10 把锁，最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相配？9、一把钥匙只能打开一把锁，现有 10 把锁和其中的 8 把钥匙，最多要试验多少次才能使这 8 把钥匙都配上锁？10、将 100 个苹果分给 10 个小朋友，每个小朋友分得的苹果数互不相同，分得苹果数最少的小朋友至少得到多少个苹果？1
34、1、将 400 本书随意分奥数给若干个小朋友，但每人不得超过 11 本，问：至少有多少同学得到的书的本数相同？12、一次数学竞赛，有 75 人参加，满分为 20 分，参赛者的得分都是自然数，75 人的总分是 980分，问：至少有几人的得分相同？13某学生将参加全国中学生数学竞赛，用 100 天的时间作准备，为了不影响其他各科学习，他决定每天至少解一道题，但又限制每 10 天所解的题目不超过 17 道，试证明，这个学生一定在某个连续的若干天内，恰好一共解了 29 道题抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有 n1或多于 n1 个元素放到 n 个集合中
35、去，其中必定至少有一个 集合里至少有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了 6 只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有 2 只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。一抽屉原理最常见的形式原理 1 把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 2 个或 2 个以上的物体。证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是 n，而不是题设的n+k(k1)，这不可能.原理 2 把多于 mn 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有
36、一个抽屉里有 m+1 个或多于 m+1 个的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进 m 个物体,那么 n 个抽屉至多放进 mn 个物体,与题设不符，故不可能.原理 1 2 都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理：把（mn 1）个物体放入 n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于 m 个物体，则总共至少有 mn 个物体，与题设矛盾，故不可能二应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。例：400 人中至少有两个人的生日相同. 解：将一年中的 366 天视为 366 个抽屉，400
37、 个人看作 400 个物体，由抽屉原理 1 可以得知：至少有两人的生日相同. 又如：我们从街上随便找来 13 人，就可断定他们中至少有两个人属相相同. “从任意 5 双手套中任取 6 只，其中至少有 2 只恰为一双手套。”“从数 1，2，. ，10 中任取 6 个数，其中至少有 2 个数为奇偶性不同。” 例 2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿
38、）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把 7 个小朋友看作物体，那么根据原理 1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是“存在” 、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用. （需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在” 、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少. ）抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。（一）整除问题把所有整数按照除以某个自然数 m 的余数分为 m 类，叫做 m 的剩余类或同余类，用0，1
39、，2，m-1表示.每一个类含有无穷多个数，例如1中含有 1，m+1，2m1 ，3m1，. 在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意 n+1 个自然数中，总有两个自然数的差是n 的倍数。例 1 证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数。分析与解答在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、b ，它们除以自然数 m 的余数相同，那么它们的差 a-b 是 m 的倍数.根据这个性质，本题只需证明这 8 个自然数中有 2 个自然数，它们除以 7 的余数相同.我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余数 0、1、2、3 、4、5、6 分成
40、七类. 也就是 7个抽屉.任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的倍数。例 2：对于任意的五个自然数，证明其中必有 3 个数的和能被 3 整除.证明任何数除以 3 所得余数只能是 0，1，2，不妨分别构造为 3 个抽屉：0，1，2若这五个自然数除以 3 后所得余数分别分布在这 3 个抽屉中，我们从这三个抽屉中各取 1 个，其和必能被 3 整除 .若这 5 个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有 3 个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为 0，或为 3，或为 6，故所对应的 3 个自然数之和是
41、3 的倍数.若这 5 个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有 3 个自然数之和能被 3 整除.例 2：对于任意的 11 个整数，证明其中一定有 6 个数，它们的和能被 6 整除.证明：设这 11 个整数为： a1，a2，a3a11 又 6=23先考虑被 3 整除的情形由例 2 知，在 11 个任意整数中，必存在：3|a1+a2+a3 ，不妨设 a1+a2+a3=b1；同理，剩下的 8 个任意整数中，由例 2，必存在：3 | a4+a5+a6.设 a4+a5+a6=b2；同理，其余的 5 个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3再考虑 b1、b2 、b3 被 2 整
42、除.依据抽屉原理，b1、b2、b3 这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设 2|b1+b2则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6任意 11 个整数，其中必有 6 个数的和是 6 的倍数 .例 3：任意给定 7 个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是 10 的倍数.分析：注意到这些数队以 10 的余数即个位数字，以 0，1， ，9 为标准制造 10 个抽屉，标以0，1，9.若有两数落入同一抽屉，其差是 10 的倍数，只是仅有 7 个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：6，7，8，9四个抽屉分别与4，3 ，2，1合并
43、，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是 10 的倍数 .（二）面积问题例：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为 2:3 的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点. 证明：如图，设直线 EF 将正方形分成两个梯形，作中位线 MN。由于这两个梯形的高相等，故它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|:|NH| 。于是点 H 有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，且|MH|:|NH|:）. 由几何上的对称性，这种点共有四个（即图中的 H、J、I、K）. 已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过 H、J、I 、K 这四点中的一点 .把 H、J、I 、K 看成四个
44、抽屉，九条直线当成个物体，即可得出必定有条分割线经过同一点.（三）染色问题例 1 正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么 6=22+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色.例 2 有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子.请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。分析与解答首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况，看作 4 个抽屉.根据抽屉原理
45、，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。例 3：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，如图，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也
46、组成我们所需要的同色三角形。因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。例 3（六人集会问题）证明在任意 6 个人的集会上，或者有 3 个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”例 3”：17 个科学家中每个人与其余 16 个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。解：不妨设 A 是某科学家，他与其余 16 位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的 6 位讨论同一问题。设这 6 位科学家为 B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。若这 6 位中有两位之间也讨论甲问题，则结
47、论成立。否则他们 6 位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知 B 至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是 C，D，E ，且讨论的是乙问题。若 C，D，E 中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。三制造抽屉是运用原则的一大关键例 1 从 2、 4、6、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个数之和是 34。分析与解答我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34。现从题目中的 15 个偶数中任取9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个），必有两个数在同一个抽屉中.
48、由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34。例 2：从 1、2、3、4、 、19、20 这 20 个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 12。分析与解答在这 20 个自然数中，差是 12 的有以下 8 对：20，8，19 ，7，18，6，17，5，16 ，4 ，15，3，14，2，13，1 。另外还有 4 个不能配对的数9 ，10 ，11，12，共制成 12 个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于 12，根据抽屉原理至少任选 13 个数，即可办到（取 12 个数：从 12 个抽屉中各取一个数（例如取 1，2，3，12），那么这 12 个数中任意两个数的差必不等于 12）。例 3：从 1 到 20 这 20 个数中，任取 11 个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。分析与解答根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这 20 个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成 10 个抽屉（显然，它们具有
