1、函数奇偶性探究一、教学内容分析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学必修一（人教 A 版）第一章第三节。函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此 成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用; 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。二、学生学习况情分析1、已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；2、在研究函数的单调
2、性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；三、设计思想1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其
3、迁移到其他函数的研究中去。2.在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。四、教学目标知识与技能1、使学生从形与数两方面理解函数奇偶性的概念、图像和性质；2、判断一些简单函数的奇偶性过程与方法1、设置问题情境培养学生判断、观察,归纳,推理的能力.在概念形成过程中,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法；2、通过对函数单调性定义的探
4、究，培养学生观察、归纳、抽象的能力。情感态度与价值观1、通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；2、让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。五、教学重点与难点教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。六、教学过程：（一）创设情景、提出问题(约 3 分钟)师：下面的图片有什么特点？你还能举出更多的例子吗？在我们所学过的函数中，你有遇到具有相同性质的函数吗？请举例子。学生回答后教师公布事先准备的数据：都是对称图形
5、，还有很多图形，例如：足球、篮球等等！函数就有 等等。0xy或【学情预设：学生可能说很多的对称图形，以及常见的图像是对称的函数】师：大家能否估计一下会有多少对称图形。教师公布事先估算的数据：对了，有无数的对称图形。【设计意图：依据了教材，来源于生活，通过实际生活的例子让学生自觉联系已学函数图像，为下一步对概念的理性认识做好铺垫。 】师：（1）函数 和 y=|x|有什么共同特征？2yx(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？x-3 -2 -1 0 1 22y9 4 1 0 1 4x-3 -2 -1 0 1 2y3 2 1 0 1 2通过学生熟悉的的图像，用列表描点法作出函数 和 的图象
6、，并2yx归纳出一般性质,根据所列的表和学生所作的图象,让学生对比观察,得出偶函数的定义及偶函数的特点。【设计意图：以学生们熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺应同学们的认知规律。让学生自行发现偶函数的定义由来】（二）师生互动、探究新知1函数奇偶性的定义师：其实，在上述的图与表中，我们可以发现很多东西，通过比较与 ，思考其中的共同点。2yx让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约 3 分钟）1、图象具有什么特点？表格中的数据有什么特点？2、根据表格的规律，能写出 x=3 时两个函数对应值吗？3、如何用数学符号语言来描述这个规律？fxf教师补充：这时我们就说函数 在定义域内是偶函数。2
7、yfx4、能否利用这一规律补全函数图像？已知函数 y=f(x)的图象是关于 y 轴对称的.如图,是函数 y=f(x)在 x 轴右边的图象,通过以上的分析补全函数图像。【设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的奇偶性，实现“形”到“数”的转换。另外，对“任意性”的理解，设计了问题 4，达到步步深入，从而突破难点，突出重点的目的 。 】引导学生观察，由上述函数中，比较第一象限与第二象限的值。师：图象是满足一定条件的点的集合 你能通过 1 个、2 个甚至于若干个点来说明图象是关于 y 轴对称的吗？（引导学生能理解偶函数中规律必须为每个点都满足，进而在总结
8、偶函数定义时加深对“任意一点” 的理解）让学生讨论并给出函数的奇偶性的定义。 （约 6 分钟）1.一般的，对于函数 内的每一个 x 都有 成立，则称这个fxffx函数叫做偶函数。2.一般的，对于函数 内的每一个 x 都有 成立，则称这fxfxf个函数叫做奇函数。3.如果一个函数是奇函数或偶函数，则称这个函数具有奇偶性。注：若函数 具有奇偶性。fx1、定义域关于原点对称。2、 与 必有一个成立。fxffxf3、 ，则称 为既奇且偶函数。0ff4、若 为奇函数，则其函数图像关于远点对称；反之，若 的图像fx fx关于原点对称，则其为奇函数。若 为偶函数，则其图像关于 y 轴对称；反fx之，若 的图
9、像关于 y 轴对称，则其为偶函数。fx5、若奇函数在 处有意义，则 。00f6、若 与 为 的奇函数，则 也为奇函数。 为偶fxgIfxgfxg函数，若 ，则 也为偶函数。若 与 为 的偶函数，则0fxfI也为偶函数。 fxg7、若 为 的奇函数， 为 的偶函数，则 不能判断奇偶性；fIgxIfxg为奇函数，若 ，则 也为奇函数。若 与 为 的偶函fxg 0ffxI数。【学情预设：若学生从教科书中已经看到函数的奇偶性的定义，教师可以问，为什么要求 是偶函数， 是奇函数，其中的联fxffxf系是什么？】 【设计意图 ：通过例题体会从数与形两方面判断函数奇偶性，进一步巩固对定义的理解.】接下来教师
10、可以问学生是否明确了函数的奇偶性的定义，能否写出一两个奇函数或者偶函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如 ，;)(4xf， 。；5)(xfxy2【学情预设：学生可能只是关注函数图像是否对称，而不考虑解析式是否满足上述条件。 】【设计意图 ：运用新工具解决旧知识未能解决的问题，体会新知识的作用，巩固判断函数奇偶性的步骤.】分组活动，合作学习（约 8 分钟）师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对函数奇偶性进行研究。让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究函数奇偶性，一组借助作图工具的操作从图象的角度入手研究函数奇偶性；每一大组再分为若干合作小组（建议 4 人一小
11、组） ；每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。 】【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。 】交流、总结（约 1012 分钟）师：下面我们开一个成果展示会!教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。【学情预设： 首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报；对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；问其
12、它小组有没不同的看法，上台补充，让学生对函数进行分类，引导学生思考哪个方法对函数奇偶性的认识更深。 】【设计意图： 函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象角度研究能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证。让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养。 】师生共同总结函数的奇偶性的图象和性质，教师可以边总结边板书。（三）巩固训练、提升总结（约 8 分钟）1、给出函数解析式判断其奇偶性：【例 1】 判断下列函数的奇偶性：(1).(2) .2(
13、)1;fx23(),0;xxf解： 函数的定义域是 ，(， ， ，2()1fx2)(1fxx21()xf 为偶函数。（法 2图象法）：画出函数 的图象如下：2()1fx由函数 的图象可知，2()1fx为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2) . 解：由 ，得 x( ，3(3 ，+).30x定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【设计意图：通过本题加深学生对函数的奇偶性的理解。 】师：根据本题，你能说出确定一个函数的奇偶性需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求函数的奇偶性就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了。【设计意图
14、：让学生明确底数是确定函数的奇偶性的要素，同时向学生渗透方程的思想。 】2、抽象函数判断其奇偶性：【例 4】 已知函数 对任意的非零实数 恒有()0),fxRx且 1,2x判断函数 的奇偶性。1212()(,fxf(0)f且解：函数的定义域为 ，(),)令 ，得 ，令 ，则120f12x(1),(1)0,ff取 ，得,xx()(),f ,x故函数 为偶函数。()0fR且3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：【例 5】已知函数 是奇函数，又 ，21()(,)axfbcZ(1)2f，求 的值.(2)3f,abc解：由 得 ， 。()()fxf()xc0c又 得 ，而 得 ，12ab2)3f
15、41ab ，解得 。431又 ， 或 .aZ0a若 ，则 ，应舍去；若 ，则 b=1Z .0a12bZ1a 。,c说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 ，得 c =0。1ff(2) . 解不等式：【例 6】若 是偶函数，当 时， ，求 的解fx0,)x1fx0fx集。分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，可先作出 的图象，利用数形结合的方法 .f解：画图可知 的解集为 ，0fx|1x 的解集为 .1f |2 答案： |02x 说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求 的表达式，fx再求 的表达式，最后求不等
16、式的解也可得到结果.1fx(3) . 求函数解析式：【例 7】已知 是 R 上的奇函数，且 时， ，求fx(,0)xlg2fxx。fx分析：先设 ，求 的表达式，再合并.0f解： 为奇函数， =0.fxx当 时， ， ，即0lg2f，lg2fxx 0 。l()()g2xf2练习：一、选择题1.若 在 上的表达式为 ，且 为奇函数，则yfx0,)1yxfx时 等于0,)xA.x(1x) B.x(1+x) C.x(1+x ) D.x(x1)2.已知四个函数： ， ， y=3 x+3-x， y =lg(3x+3-x).其21logy1xe中为奇函数的是A. B. C. D.3.已知 是定义在 R 上
17、的奇函数，当 时， ，则在 Ryfx0x2fx上 的表达式为fxA.x(x 2) B. x（x 2） C.x(x2) D.x（x2）二、填空题4.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数，且定义域为a1，2a，则a=_，b=_.5.若 (xR 且 x0)为奇函数，则 a=_.()21xf6.已知 且 ，则 =_.7fab517f5f三、解答题8.已知 且 x=lnf(x)，判定 G(x)的奇偶性。1()()2Gxf9.已知函数 满足 ，且f2fyffyR、A，试证 是偶函数.0fx10.设函数 是偶函数，函数 是奇函数，且 ，求()f ()gx3()fxg和 的解析表达式。()fxg1
18、1.已知 ，求 。 538,210fxabxf2f四、巩固训练参考答案：一、选择题1. 解析：x(，0，x0， f(x)=(x)(1+x)， f(x)=x(1+x ). f(x)=x(1+x). 答案：B2. 提示：可运用定义，逐个验算.答案：D3. 解析：设 x0，则x 0，f(x)是奇函数，f(x )=f(x )=( x )22(x)=x 22x . ，即 f(x)= x（|x|2），故答案：B 。2)(0f二、填空题4. 解析：定义域关于原点对称，故 a1=2a， ，13又对于 f(x)有 f(x )=f(x)恒成立，b=0. 答案： ， 0 。5. 解析：特值法：f(1)=f(1) ，
19、 ， 。11()22aa12答案： 。126. 解析：整体思想：f(5)=a(5) 7 b(5)+2=17 (a575b)=15， f(5)=a5 7b5+2=15+2=13. 答案：13 。三、解答题8. 解：由 x=lnf(x)得 f(x)=ex. 。1()2()Gf11()22xxee又 ，G(x )为奇函数。()Gx11()()22xxee9. 证明：令 ，有0y20fff ，f 01令 ,202xfyffyfA 是偶函数.fx归纳：赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到.10. 解： 3()fxg ()fx函数 是偶函数，函数 是奇函数，f ()g ， ，()(xx上式化为
20、 ，联立组成的方程组得3)fg， 。29()(,fxxR2()(,3)9xgR11. 分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解 解：令 ，则 是奇函数，53gxabxg2于是 , 8fg g(-2)=18. 2826fg3师：通过本节课的学习，你对函数奇偶性有什么认识？你有什么收获？【学情预设：学生可能只是把函数奇偶性的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数奇偶性研究的学习，即怎么研究一个函数奇偶性。 】【设计意图：让学生再一次复习对函数奇偶性的研究方法（可以从也应该从多个角度进行） ，让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。总结本节课中所用到的数学思想方法。强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】4作业：课本 59 页习题 21A 组第 5 题。七、教学反思1本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到函数的奇偶性的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔” 而非 “授之以鱼”。2在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。
