1、58 第 5 讲教师版满分晋级新课标剖析当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理) 中考查 515 分要求层次内容A B C具体要求有理数指数幂的含义 理解有理指数幂的含义实数指数幂的含义 通过具体实例了解实数指数幂的意义幂的运算 掌握幂的运算高考要求指数函数的概念及其性质 通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景;理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点;在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是第 5 讲函数 4 级函数的奇偶性函
2、数 5 级指数与指数函数函数 6 级对数及其运算指数与指数函数一类重要的函数模型2008 年 2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标）北京高考解读 第 2 题 5 分第 13 题 5 分第 3 题 5 分第 13 题 5 分第 6 题 5 分第 14 题 5 分第 6 题 5 分第 8 题 5 分第 13 题 5 分第 14 题 5 分指数引入在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性
3、质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如 ， 等，只不过当时我们没有给它23规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西萨说：请给我棋盘的 个方格上，第一格放 粒小麦，第二格放 粒，第三格放6412粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 格国王觉得这事挺好办，欣然同意4计数麦粒的工作开始了，第一格内放 粒，第二格内放 粒，第三格内放 粒， ，还没有
4、到第124二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一倍接一倍飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑换不了他对西萨的诺言.这到底有多少粒小麦呢，我们可以估算一下：方格中有的小麦数依次为：，63124812， ， ， ， ， ，最后一格中有 粒小麦， ， ，也就是百亿亿，那 就是八百亿63103460182636028亿这还不包括前面 个格子的其中，我们归纳一下求个和，知道小麦数一共是 ，大约是一41千六百亿亿这大概是全世界两千年所产的小麦的总和再直观一点，给这么多小麦建一个宽四米，高四米的粮仓，这个粮仓可以绕地球赤道圈如果把这些小麦堆放在一间教室（
5、平）里，堆到太阳上，也才堆了一半！这个故事一定750 16会让你吃惊，开始微不足道的数字，两倍两倍的增长，会变得这么巨大！事实的确如此，因为国王碰到了“指数爆炸 ”.一种事物如果成倍成倍地增大（如 ），则它是以指数形式增大，这种增2大的速度就像“ 大爆炸” 一样，非常惊人.那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.5.1 指数与指数幂的运算60 第 5 讲教师版知识点睛1整数指数在初中我们就学过正整数指数幂，如 ， 等，并且我们也知道 ， ，那么在这2a3 235a32a些整指数幂中 叫做什么？ 又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回a3，忆一下
6、正整数指数幂. 正整数指数幂： ，是 个 连乘的缩写（ ）， 叫做 的 次幂， 叫做na个 Nnnaa幂的底数， 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂n 正整数指数幂的运算法则： ； ； ；ma()mn(,0)mnaa()mb【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则中 的mn限制，则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当 时，有 ，0a30a，这些结果不能用正整数
7、幂的定义来解释.但我们知道，352a， .这就启示我们，如果规定 ，则上述运算就合31352a021aa，理了.于是，我们得出如下的整数指数幂： 整数指数幂： ， 0()a1(0,)nnN【教师备案】如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.对于整数指数幂的要求是“底数不等于 ”.为什么底数不等于 ，因为分母不等00于 0老师可以给学生举一些小例子，例如， ； ； ；081001ab； ； ；31661423328xx； ；2364xrrx40.1221abc我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指
8、数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：2分数指数在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西根式：根式 次方根：如果存在实数 ，使得 ，那么 叫做 的 次方根nxna(,1)nRNxan 求 的 次方根，叫做 开 次方，称做开方运算aa）当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数这时， 的次方根用符号 表示n）当 是偶数时，正数的 次方根有两个，它们互为相反数正数 的正、负 次方根分an别表示为： ， ，可以合并写成 a(0)na 正数 的正 次方根叫做 的 次算术根负数没有偶次方根a的任何次方根都是 ，记作
9、 000n 当 有意义的时候，式子 叫做根式， 叫做根指数， 叫做被开方数n【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如 和 有什么区别？它们分别等于什na么？下面我们来举几个例子说明一下： 1. 是实数 的 次方根的 次幂，其中实数 的取值范围由 的奇偶性nanan来决定：当 为大于 的奇数时， .例如， ， ，1aR327532；70当 为大于 的偶数时， .例如， ， ，n0 42；若 ，式子 无意义，例如， ， 均无意60ana45义，也就不能说它们的值了.因此只要 有意义，其值恒等于 ，即n na2. 是实数 的 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 的奇偶性限制，na.但是这个式子的
10、值受 的奇偶性限制：Rn当 为大于 的奇数时，其值为 ，即 ，例如， ，1ana32；56.当 为大于 的偶数时，其值为 ，即 .例如， ，nn4.23由此当 为奇数时， ；当 为偶数时，na 0|na， ，所以，我们得到根式具有如下的性质： 根式具有的性质：62 第 5 讲教师版；()1nanN， 且当 为奇数时， ；当 为偶数时， a 0|na， ，【分数指数幂引入】下面我们再来看一下分数指数幂.例如， ， .显 31aa233a然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定 ，13，则上述分数指数幂的运算就能像整数指数幂那样运算了.23a为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数
11、，于是分数指数幂定义为：0a 分数指数幂 正分数指数幂： ； 10na()(0,)mnmn maanN且 负分数指数幂： (,)mn na N且 整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则： ；(0Q)rsrsrs， ， ；aa， ， ()()rrbb， ，【教师备案】整数指数幂的运算性质，比如 ，对分数指数幂仍然适用.注意讲解时，由学(knka生熟悉的整数指数幂的概念性质逐渐推广到有理数指数幂，让学生知道新的概念与法则与已有的概念与法则是相容的分数指数幂是学生新接触的一个概念，所以在讲完分数指数幂后一定要给学生举几个例子，例如， ； ；221384551232； ；3232955733
12、215588； ；11236362362 93322132444abba； .11112222ababa2112【无理指数幂引入】通过上面分数指数幂的学习，我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数，那么当指数是无理数时，我们又应当如何理解它？比如 在这里还不能给出无25理指数幂严格的定义，只有一个感性的认识和相关结论通过下面的分析让学生体会“用有理数逼近无理数”的思想，感受“ 逼近” 的过程观察（课件中“ 无理指数幂引入”中有下图）：由 上表不难发现：当 的过剩近似值从大于 的方向逼近 时， 的近似值从大于 的方向2222525逼近 ；5当 的不足近似值从小于 的方向逼近 时， 的近似值从小于
13、 的方向22逼近 ；2所以我们得到如下的无理指数幂：3无理数指数幂 无理指数幂 是无理数）是一个确定的实数(0,a 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 一般地，当 ， 为任意实数值时，实数指数幂 都有意义a对实数指数幂，上述有理指数幂的运算法则仍然成立【教师备案】建议老师把指数幂按照由正整数指数幂到无理指数幂按顺序讲完，讲完以后就可以让学生做例 1 和例 2，例 1 主要是进行简单的根式与幂运算.学生会很快做完，但是学生很容易出现计算上的错误，所以老师一定要强调让学生细心算.例 2 是对指数幂进行化简与求值，难度高于例 1，其主要目的还是要锻炼学生熟练掌握指数幂运算法则.经典精讲考点
14、 1：利用分数指数幂进行根式与幂运算【例 1】 细心算一算 _； _； _； 3(5)2(3)35 _（其中 ）； _；2abab434()() _； _； _38125 316864 第 5 讲教师版 计算下列各式 ； 32a 9337132(0)aa113442(,0)6aba【解析】 ； ； ； ； ； ； .55b261578 ； ； 83a1132a考点 2：化简与求值问题【例 2】 若 ， ，则 的值为（ ）102x5y2xyA B. C. D.310 已知 ，求 ， ， 的值a2a3a41【解析】 C ； ；213141【备选】已知 ，则 的值为 3246xxy1yx【解析】 8
15、27若 ，则实数 的取值范围是（ ）623412aaA B C DR1212a【解析】 D【点评】学生在做本题时最容易犯的错误就是认为 ，所以老师在讲26 3641a本题时，一定要给学生说明 不一定等于 ，就跟 不一定等于 一样.261a321a指数幂我们已经非常清楚了，那到底什么是指数函数呢？所以下边我们来看一下指数函数以及它具有的性质：5.2 指数函数及其性质我们先来看一下指数函数的定义：考点 3：指数函数的定义知识点睛我们规定如下的函数为基本初等函数： 常值函数（也称常数函数） （其中 为常数） yc 指数函数 xya(0,1)a且 对数函数 log且 幂函数 （ ）R 三角函数：（其中
16、包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割） 反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切；关于反正割，反余割一般不用注意：反三角函数目前高考中不考） 所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数 既然我们说指数函数就是基本初等函数，所以我们就来看一下指数函数：指数函数：一般地，函数 且 ， 叫做指数函数.xya(01)xR在指数函数中我们要注意以下 3 点：【注意】1.在这个函数中，自变量 出现在指数的位置上.x2.底数 是一个大于 且不等于 的常量.a013.指数函数的形式必须是纯粹的.【教师备案】1.指数函数中为什么规定底数 且 ？
17、0a1若 ，则对于 的某些数值，可使 无意义.如 ，当 等等，0axxa2x14， ，在实数范围内函数无意义若 ，则当 时， ；当 时， 无意义0xa x若 ，则对于任何 ， 是一个常量 ，没有研究的必要性1aR1为了避免上述各种情况，所以规定 且 ，这样对于任何 ， 都有意义axRxa2.为什么函数的形式必须是纯粹的，不能为 （其中 是常数，xqybcbc， ，且0）？1a66 第 5 讲教师版紧扣指数函数的定义来分析.指数函数的定义：一般地，函数 且 ，xya(01叫做指数函数.则指数函数的解析式 中 的系数是 且指数位置仅有自)xRxya1变量 ，而函数 的解析式不符合指数函数解析式的这
18、些特征，故不是指xqybac数函数.例如， 都不是指数函数，但 是指数函数，因为1232x， ， 2x12xx【教师备案】老师在讲完指数函数并给学生强调指数函数应该注意的问题后就可以让学生做例 3 了.例 3 主要就是判断是否为指数函数和如果是指数函数求参数的值.经典精讲【例 3】 指出下列函数中哪些是指数函数 ； ； ； ； ； ；6xy4yxy4xy28xy24xy （ 且 ， 为常数）21a21a 函数 （ 是常数）是指数函数，则 3xm m函数 （ 是常数）是指数函数，则 1ya【解析】 ；12a现在我们已经知道了什么是指数函数，那指数函数的图象又怎么画呢？所以接下来我们来看一下指数函
19、数的图象：考点 4：指数函数的图象与性质知识点睛指数函数图象与性质：图象定义域 Ry=ax(01)(0,1)O xy值域 (0)， 过定点 ，即 时，1， 0x1y性质 在 上是减函数R 在 上是增函数R【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观的感觉，可以让学生自己动手画函数的图象，如：先画 ，2xf从这个图象上让学生体会指数函数的增长速度特别快.老师可以举个例子，如在讲义开始的那个象棋问题，刚开始第 个格子放 粒麦子，到第1格就放了 粒麦子，总共所有的格一共放了 粒麦子，可见增长的速646326492.0度相当快；如果学生认为 这个数不大，老师
20、可以再举个汉诺塔的例子，一 位 法 国 数642学 家 曾 编 写 过 一 个 印 度 的 古 老 传 说 ： 在 世 界 中 心 贝 拿 勒 斯 （ 在 印 度 北 部 ） 的 圣 庙 里 ，一 块 黄 铜 板 上 插 着 三 根 宝 石 针 .印 度 教 的 主 神 梵 天 在 创 造 世 界 的 时 候 ， 在 其 中 一 根 针上 从 下 到 上 地 穿 好 了 由 大 到 小 的 片 金 片 ， 这 就 是 所 谓 的 汉 诺 塔 .不 论 白 天 黑 夜 ，64总 有 一 个 僧 侣 在 按 照 下 面 的 法 则 移 动 这 些 金 片 ： 一 次 只 移 动 一 片 ， 不 管
21、 在 哪 根 针 上 ，小 片 必 须 在 大 片 上 面 .僧 侣 们 预 言 ， 当 所 有 的 金 片 都 从 梵 天 穿 好 的 那 根 针 上 移 到 另 外一 根 针 上 时 ， 世 界 就 将 在 一 声 霹 雳 中 消 灭 ， 而 梵 塔 、 庙 宇 和 众 生 也 都 将 同 归 于 尽 .不 管 这 个 传 说 的 可 信 度 有 多 大 ， 如 果 考 虑 一 下 把 片 金 片 ， 由 一 根 针 上 移 到 另 一 根64针 上 ， 并 且 始 终 保 持 上 小 下 大 的 顺 序 .这 需 要 多 少 次 移 动 呢 ?这 里 需 要 递 推 的 方 法 .假 设
22、 有 片 ， 移 动 次 数 是 .显 然 ， ， .此 后 不 难 证nfn1f23f7f，明 . 时 ， ，假 如 每 秒 钟 移21f64642870951动 一 次 ， 共 需 多 长 时 间 呢 ？ 一 个 平 年 天 有 秒 ， 闰 年 天 有35636秒 ， 平 均 每 年 秒 ， 计 算 一 下 ，31640359年 .这 表 明 移 完 这 些 金 片 需 要87949.亿 年 以 上 ， 而 地 球 存 在 至 今 不 过 亿 年 ， 太 阳 系 的 预 期 寿 命 据 说 也 就 是 数 百 亿5年 .真 的 过 了 亿 年 ， 不 说 太 阳 系 和 银 河 系 ， 至
23、 少 地 球 上 的 一 切 生 命 ， 连 同 梵 塔 、58庙 宇 等 ， 都 早 已 经 灰 飞 烟 灭 .所 以 说 是 个 很 庞 大 的 数 ， 所 以 我 们 会 发 现 这 条 曲 线642后 面 的 增 长 会 越 来 越 快 .并 且 从 图 象 上 看 出 函 数 的 定 义 域 为 ， 值 域 为 ，R0，且 过 定 点 .01，让学生再画一个 3xgx31023f184248x321023f18448fx()=2xO y xgx()=3xfx()=2xOyx68 第 5 讲教师版比较这两个图象.可以发现，当 时， 越大，第一象限图象离 轴越远1ax由的结论老师可以提问
24、，若 ，则图象应该则么样？那我们可以先取个函数0试试12xh观察发现， 与 的图象关于 轴对称，所以 与2x1xy13x的图象也关于 轴对称，如图，所以当 时， 越大，3xy0a第一象限图象离 轴越远.老师按照上面的方式讲完指数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练习：练习 1： 如图若曲线 ， ， ， 是指数函数 ， ， ，1C2343x25x的0.7x图象，则 ， ， ， 分别代表哪个指数函数？1234【解析】 由图象可以直接看出 ， ， ， 或者也1:x2:xC3:0.7x42:5xC可以作直线 ，则与四条曲线的交点就是指数函数的底数.x【教师备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出：
25、所有的指数函数分为两类： 和1a0指数函数的单调性： 时，是增函数； 时，是减函数，而且 越大，第一1aagx127913392731023fx184248h2hx()=12x fx()=2xOyx 13x12x 3x2xO y xC4 C3C2C1Oyx象限的图象离 轴越远 x指数函数的奇偶性：非奇非偶【教师备案】老师在讲完指数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例4，例 4 主要考察指数函数的图象.例 4与前边的练习一样，例 4主要考察讨论底数范围，例 4虽然乍看一眼有点难，但是读完题之后就比较简单了，尤其画完图象之后就更简单了.经典精讲【例 4】 曲线 ， ， ，
26、分别是指数函数 ， ， ，1C2341xya2xb3xyc的图象，判断 ， ， ， ， 的大小关系是 xydabcd 函数 与 的图象大致是（ ）xfgxa -1AOyx11B xyO-11C xyO 11DOyx11 用 表示 ， ， 三个数中的最小值，设 minabc， ， abc ()min20xf， ，则 的最大值为（ ）(0)x ()fxA B C D 4567【解析】 1bdc C C我们在上边的讲解中都一直在强调指数函数的图象，所以我们要在直观上认清图象，比如：根据图象要会求指数函数在不同区间上的值域问题，即例 5，根据图象要能够判断两个幂的大小，即例 6.下面我们先来看一下区间
27、上的值域问题，即例 5：考点 5：区间上的值域问题【例 5】 已知函数 ，当 时，函数值域为_；()2xf0，当 时，函数值域为_；2，当 时，函数值域为_.13， 已知函数 ，当 时，函数值域为_；1()3xg，当 时，函数值域为_；2，当 时，函数值域为_；1x，1C43C21O yx70 第 5 讲教师版【解析】 ； ； .1， 04， 182， ； ； .3， 9， 93，下面我们再来看一下幂的比较大小：考点 6：幂的比较大小如果给咱们两个幂，比如 与 ，这时你肯定知道谁大谁小，但是你并不是根据指数函数得出的，132那对于一个一般的幂我们应该如何比较大小呢？老师就可以把下边的铺垫给学生
28、讲解一下，并由铺垫得出对于底相同指不同应该如何比较大小，对于底不同指相同应该如何比较大小，对于底、指都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例 6 了.【铺垫】比较下列各题中两个值的大小 ， ； ， ； ，0.53.60.53.0.50.5【解析】 ； 05 【方法总结】幂的大小比较的方法比较大小常用方法有：比差（商）法：函数单调性法；中间值法：要比较 与 的大AB小，先找一个中间值 ，再比较 与 、 与 的大小，由不等式的传递性得到 与 之CABC间的大小.在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函
29、数的单调性来判断 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断或第 8 讲中幂函数的单调性来判断 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与 0、1 的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可【例 6】 比较下列各题中两个值的大小： ， ； ， ； ， ， ， 2.51730.180.20.317.190.37.19 设 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）355abc， ， abcA B C Dcacca【解析】 ； ； ， 2.51730.180.20.317.190.37.19
30、A 在前边我们已经讲了复合函数，那与指数相关的复合函数是什么样子的呢?这样的复合函数的性质又是什么样子的？所以本讲只讲外层是指数函数的复合函数，对于内层是指数函数的复合函数我们将在同步的时候再具体讲解.5.3 指数函数性质的应用经典精讲考点 7：与指数函数相关的复合函数的定义域、值域及单调性问题老师可以用下边的铺垫给学生讲一下外层是指数函数的复合函数的性质，讲完性质后就可以让学生做例 7 了.【铺垫】求下列函数的定义域、值域和单调区间 ； 23xy1xy【解析】 定义域为 ；值域为 ；单调增区间为 R0， R定义域为 ；值域为 ；单调减区间为 1， 1， 1，【例 7】 求下列函数的定义域、值
31、域和单调区间 ； ； ； 12xy3xy2453xy21xy【解析】 定义域为 ；值域为 ；单调减区间为 和,1R且 0,且 (1)，(+)， 定义域为 ；值域为 ；单调增区间为 ，单调减区间为0, ， 0，72 第 5 讲教师版 定义域为 ；值域为 ；单调增区间为 ，单调减区间为R3， 2， 2，定义域为 ；值域为 ；单调增区间为 ，单调减区间为 04， 1， 1+，实战演练【演练 1】 等于（ ）23x. . . .AB2xC3xD23x， ，【解析】 D【演练 2】下列函数： ； ； ； ； ； .其23xy6xy23xy62xy81xy6xy中一定为指数函数的有（ ）A 个 B. 个0
32、1C. 个 D. 个【解析】 B【演练 3】设 ， ， ，则（ ）0.914y0.4821.532y. . . .A3B1C123yD132y【解析】 D【演练 4】如图若曲线 ， ， ， 是指数函数 ， ， ，1C2345x4.7x5x的0.9x图象，则 ， ， ， 分别代表哪个指数函数？1234【解析】 ， ， ， 1:.7x:5x:0.9x:5xC【演练 5】函数 的单调增区间是_2813xy【解析】 2， C4C3C2C1O y x概念要点回顾 _ ； _； _；0()a(0,)naN()1naN， 且 _； _； _；n 10,)m _； _；(,)=m()rsrsQ， ， _； _0rsasQ， ， )abr， ， xy1a01图象定义域值域过定点：性质单调性：答案： ； ； ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， 1nannan0|na， ， ； ； ； ； ；nm1narsrsrb xy101a图象定义域 R值域 (0)， 过定点： ， 01，性质 单调性： 当 时，在 上是增函数；aR当 时，在 上是减函数 y=a x(01)(0,1)O xy58 第 5 讲教师版
