1、理科数学试卷 A 型 第 1 页（共 5 页）2016 年普通高等学校招生全统一考试理科数学第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 设集合 ， ，则0342xA032xBBA（A） （ ， ） （B） （ ， ） （C） （ ， ） （D） （ ， ）3 1223（2） 设 ，其中 , 是实数，则yixi1)(xyyix（A）1 （B） （C） （D）223（3） 已知等差数列 前 9 项的和为 27， ，则na810a10（A）100 （B）99 （C）98 （D）97（4） 某公司的班车在 7:30,8:00,8:30
2、 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A） （B） （C） （D）31213243（5） 已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 的取值范围22nmyx m是 （A ） （ ， ） （B） （ ， ） （C） （ ， ） （D） （ ， ）13130303（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是328（A）17 （B）18 （C）20 （D）28（7） 函数 在 的图象大致为xey2，x xx xyy yy O-
3、2 21O -2 21O-2 21 -2 21O（A） （ B） （C） （D）理科数学试卷 A 型 第 2 页（共 5 页）是否nyx,21362输入 ,输出 yx,开始结束1n（8） 若 ， ，则1ba0c（A） （B） c cba（C） （D）cablogl logl（9） 执行右图的程序框图，如果输入的 , , ，则输0x1yn出 的值满足yx,（A） （B） （C） （D）2y3x4xy5（10） 以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 , 两点，交 的准线于 , 两点已知CABE24AB， ，则 的焦点到准线的距离为2DE（A）2 （B）4 （C）6 （D）8（11） 平面 过正方体 的
4、顶点 ， 平面 ， 平面 ， 1DACA1BmABC平面 ，则 所成角的正弦值为nB1m,（A） （B） （C） （D）23233（12） 已知函数 ， 为 的零点， 为 图)sin()xf )2,0(4x)(xf4)(xfy象的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为)(f)365,18（A）11 （ B）9 （C）7 （D）5第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。（13） 设向量 ， ，且 ，则 )1,(ma)2,(b22bam（14） 的展开式中， 的系
5、数是 （用数字填写答案）52(x3x（15） 设等比数列 满足 ， ，则 的最大值为 n1031a42na21理科数学试卷 A 型 第 3 页（共 5 页）F E ABCD91018频 数更 换 的 易 损 零 件 数4020O（16） 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg，用 3 个工时.生产一件 A 产品的利润为 2100 元，生产一件 B 产品的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 工时的
6、条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）的内角 的对边分别为 ，已知 .ABC , cba, cAbBaC)osc(os2（）求 ；（）若 ， 的面积为 .求 的周长.7cAB 23A（18） （本小题满分 12 分）如图，在以 为顶点的五面体中，面 为正方形， ，FEDCBA, ABEFA2，且二面角 与二面角90F都是 60.EC（）证明：平面 平面 ；C（）求二面角 的余弦值.AB（19） （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购
7、买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的频率，记 表示 2 台机器三年X内共需更换的易损零件数， 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.n（）求 的分布列；X理科数学试卷 A 型 第 4 页（共 5 页）（）若要求 ，确定 的最小值；5.0）（ nXPn（）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应选用
8、哪19n20个？（20） （本小题满分 12 分）设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于01522xyAl)0,1(BxlA两点，过 作 的平行线交 于点 .DC,BACDE（）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程；E（）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于1l1CNM,BlA两点，求四边形 面积的取值范围.QP,MPNQ（21） （本小题满分 12 分）已知函数 有两个零点.2)1()2()xaexf（）求 的取值范围；a（）设 是 的两个零点，证明： .21,)(f 21x请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）题中任选一题作答，如
9、果多做，则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 是等腰三角形， .以 为圆心， 为半径作圆.OAB 120AOBOA21（）证明：直线 与 相切；（）点 在 上，且 四点共圆，证明：DC, DC,.AB（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程CBAOD理科数学试卷 A 型 第 5 页（共 5 页）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数， ).在以坐标原xOy1C,sin1cotayx0a点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： .2C4（）说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；11（）直线 的
10、极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都3C00tan01C2在 上，求 .3a（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .321)(xxf（）在答题卡第（24）题图中画出 的图像；)(xfy（）求不等式 的解集.)(xfxy1 1o理科数学试卷 A 型 第 6 页（共 5 页）2016 年全国卷高考数学（理科）答案与解析一、选择题【答案】（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B （11）A （12）B【解析】（1） ， ， 310342 xx 23032xxBBA（2） 即 ，解得： ，yixi
11、1)( yixi1x11yx22yi（3） ， ，279)(9591 aaS 35810a1501ad8010da（4）如图所示，画出时间轴： 8:208:107:507:40 8:308:07:30 BACD小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型，所求概率 2140p（5） 表示双曲线，则 ， ，1322nmyx 0)3)(2nm223mn理科数学试卷 A 型 第 7 页（共 5 页） 2224)3()(4mnmc解得 ， 1（6）原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的 1/8 后的三
12、视图，表面积是 7/8 的球面面积和三个扇形面积之和， 17243287S（7） ，排除 A； ，排除 B；08.)(ef 17.28)2(ef时， ， ，当 时，0xxxf2)( xef4)()41,0 在 单调递减，排除 C；41)(0ef 1,故选 D（8）对 A：由于 ， 函数 在 上单调递增，因此 ，A 错误；01ccyxR1cab对 B：由于 ， 函数 在 上单调递减，1c, ，B 错误1ccabbab对 C：要比较 和 ，只需比较 和 ，只需比较 和 ，只需logllnaclblncbla和ln构造函数 ，则 ， 在 上单调递增，因此ln1fxl10fxfx1,0ll0lnlfa
13、fbabab又由 得 ， ，C 正确1cnoglllabcc对 D：要比较 和 ，只需比较 和logablnl而函数 在 上单调递增，故lnyx1,11ln0lnababab又由 得 ， ，D 错误0cl0lnloglabcc故选 C【2用特殊值法，令 得 ，排除 A； ，排除 B；21,3cba21321213，C 正确； ，排除 D；选 C】2log1l332logl3理科数学试卷 A 型 第 8 页（共 5 页）（9）如下表：输出 ，23x，满足 ， 故选 C6y4yx（10）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为 ，设圆的方程为 ，题目条件翻译如图：2p022xyr设 ，
14、 ，0,2Ax,52pD点 在抛物线 上， 0,yx082px点 在圆 上， ,52p22r25r点 在圆 上， 0,Axxy2208x联立解得： ，焦点到准线的距离为 4p4p2【如图，设抛物线方程为 ，圆的半径为 r,交 轴于 点，则 ，即 点纵坐,BDE,CFA标为 ，则 点横坐标为 ，即 ，由勾股pOC定理知 ，22Or，即A，解得 ，即 的224(5)()(pp4焦点到准线的距离为 4】（11）如图所示： ，若设平面 平面 ，则1CBD 平 面 1CBD1m1循环节运行次数12nxyn判断236xy是否输出 1n运行前 0 1 / / 1第一次 否 否 2第二次 122否 否 3第三
15、次 36是 是F理科数学试卷 A 型 第 9 页（共 5 页）又平面 平面 ，结合平面 平面ABCD11BDC11ABD ，故1m 同理可得： 1n故 、 的所成角的大小与 、 所成角的大1BD1C小相等，即 的大小1C而 （均为面对交线） ，因此1BD，即 1313sin2B（12）由题意知：则 ，其中12+ 4 k21kkZ在 单调，()fx5,18365,12368T接下来用排除法若 ，此时 ， 在 递增，在 递减，不满,4()sin14fx()fx3,18435,46AA1BB1CC1D1理科数学试卷 A 型 第 10 页（共 5 页）足 在 单调；()fx5,1836若 ，此时 ，满
16、足 在 单调递减9,4()sin94fx()fx5,1836二、填空题【答案】（13）-2 （14）10 （15）64 （16）216 000【解析】（13） 由已知得 , ，)3,1(mba 22222 13)1( mba解得 22 得 ， ，解得 2ba021（14） 的展开式的通项为 ( ，1，2，5)，令5()x 552C()Crrrrxx0得 ，所以 的系数是 32r4345210（15） 设等比数列 的公比为 ， ，解得 ，na)(q5103124231qaa218qa故 ， 当421nn 49271)7(2)(321 nnnna）（时， 取得最大值 3或 64（16） 设生产 A
17、 产品 件，B 产品 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造xy线性规则约束为理科数学试卷 A 型 第 11 页（共 5 页）*1.50.153960xyyxN目标函数 2109zxy作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 (60,1)(,20,)(9,在 处取得最大值，(60,1)210691026z三、解答题（17）解：（I）由已知及正弦定理的，CABACsin)cosinc(sio2即 ，)故 ，sicsin可得 ， 21oC3（II）由已知， ，sinab又 ， ，36由已知及余弦定理得， ，7cos22Cab故 ，从而 ，12ba5)(理科数学试卷 A 型 第 1
18、2 页（共 5 页） 的周长为ABC 75（18）解：（I）由已知可得 AFDF，AFFE，AF平面 EFDC又 AF 平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC（II）过 D 作 DGEF，垂足为 G，由()知 DG平面ABEF，以 G 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长， |建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz由()知DFE 为二面角 的平面角，故 =60， 则 ，可得 ，|=2，|=3 (1,4,0)， (-3,4,0)， (-3,0,0)， (0,0,3)由已知，ABEF ，AB平面 EFDC，又平面 ABCD 平面 EFDC=CD，故 ABCD，CD EF ，
19、由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角，CEF=60，从而可得 C(-2,0, ),3 ，=(1,0,3)，=(0,4,0)，=(-3,-4,3)，=(-4,0,0)设 是平面 BCE 的法向量，则 即 ,可取=(,) =0，=0， x+3z=04y=0 ，=(3,0, 3)设 是平面 ABCD 的法向量，则 同理可取 ， =0，=0， =(0,3,4)则 ，故二面角 E-BC-A 的余弦值为 . ， =|=21919 21919（19）解：（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数位 8,9,10,11 的概率分别为 0.
20、2,0.4,0.2,0.2，从而P(X=16)=0.20.2=0.04，P(X=17)=20.20.4=0.16，P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24，P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24，P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2，P(X=21)=20.20.2=0.08，P(X=22)= 0.20.2=0.04，理科数学试卷 A 型 第 13 页（共 5 页）所以 X 的分布列为（II）由()知P(X18)=0.44，P (X19)=0.68，故 n 的最小值为 19（III）记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） ，
21、当 n=19 时，EY=192000.68+(19200+500) 0.2+(19200+2500) 0.08+(19200+3500) 0.04=4040当 n=20 时，EY=202000.88+(20200+500) 0.08+(20200+2500) 0.04=4080可知当 n=19 时所需费用的期望值小于 n=20 时所需费用的期望值，故应选 n=19（20）解：（I） ，EBAC，故EBD=ACD=ADC|=| ，故 |=| |+|=|+|又圆 A 的标准方程为 ,从而 ， 16)(2yx|=4 |+|=4由题设得 A(-1,0)，B(1,0)， ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方
22、程为：|=2）（ 0 1342yx（II）当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 ， ， ）（ 0 )1(kxy),(1yxM),(2yxN由 ，得 134)(2yk 248)34(22kxk则 ， ； 821kx34121k 34)1(2112kxkN过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m： ，A 到 m 的距离为 ，)(xy 2 134)12(42kkPQ故四边形 MPNQ 的面积 34 2kPQMS可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 )8 1(，当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 ，四边形 MPNQ 的面积为 12,1NxX 16 17 18 1
23、9 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04理科数学试卷 A 型 第 14 页（共 5 页）综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 ）， 38 12（21）解：（I） )(2)1( aexaexf x（i）设 ，则 ， 只有一个零点0aff（ii）设 ，则当 时， ；当 时， )1(，x0)(x)1(， 0)(xf 在 单调递减，在 单调递增)(f)，又 ，取 b 满足 且 ，则afe2(1， 2lnab，0)3()1)( 2baf故 存在两个零点x（iii ）设 ，由 得 或 0a0)(xf )2ln(ax若 ，则 ，故当 时， ，因此 在 单
24、2e1lna， 0)(xf)(xf)1，调递增又当 时， ， 不存在两个零点；x)(xf)(xf若 ，则 ，故当 时， ；当eal2lna， )(xf时， 因此 在 单调递减，在)2(ln，x0)(xf)(xfl1，单调递增又当 时， ， 不存在两点零点)， 10)(xf综上， 的取值范围为 a)(，（II）不妨设 ，由()知， ， ， ， 在21x)(1，x)(2，x)1(2，x(xf单调递减， ，即 )(，211ff 0f ，而 ，22)(xaexf )()()222xaex 22)( e设 ，则 xxeg)(2 )( )1(2xexg当 时， ，而 ，故当 时 1010g从而 ，故 )2
25、()xfx2x（22）解：理科数学试卷 A 型 第 15 页（共 5 页）（I）设 E 是 AB 的中点，连结 OEOA=OB，AOB=120， OEAB，AOE=60在 Rt AOE 中，OE= AO，即 O 到直线 AB 的距离等于12O 的半径，AB 与O 相切（II）OA=2OD，O 不是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心设 是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心，作直线OO由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上，又 O在线段 AB 的垂直平分线上，OO AB同理可证，OOCDABCD（23）解：（I）消去参数 得到 的普通方程 是以（0,1）为圆心，a 为半径的圆t1C22)1(y
26、x1C将 代入 的普通方程中，得到 的极坐标方程为sin cosyx，0i22a（II）曲线 的公共点的极坐标满足方程组 ，21,Ccos401in22a若 ，由方程组得 ，由已知 ，可得0sin8co1622tn，从而 ，解得 （舍去） ， 0sin8cos16202a1a1a时，极点也为 的公共点，在 上a21,C3 （24）解：（I） ，2341 )(xxf，的图像如图所示)(fy（II）由 得表达式及图像，当x时，可得 或 ；1)(f13xEODCOBAxy11o理科数学试卷 A 型 第 16 页（共 5 页）当 时，可得 或 ；1)(xf 31x5故 的解集为 ； 的解集为 f1)(xf 531x或丨 的解集为 1)(xf 531x或或丨
