1、 阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 1 页 9/28/20181高一数学必修 3 公式总结以及例题1 算法初步 秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个 n 次多项式，只要作 n 次乘法和 n 次加法即可。表达式如下：122111 axxaxaxannn 例题：秦九韶算法计算多项式 ,876543346 , 0.4x时当 答案： 6 ， 6?运 算需 要 做 几 次 加 法 和 乘 法1876543x : x即 理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，
2、如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法 (algorithm)1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.2. 算法的特征：有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度3. 算法含有两大要素：操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构 流程图：（flow
3、 chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。 注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。 算法结构： 顺序结构，选择结构，循环结构ABY N A Bp
4、N YAp Y N NpA阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 2 页 9/28/20182直到型循环 当型循环.顺序结构（sequence structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的 A,B 两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条
5、件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。 基本算法语句：本书中指的是 伪代码（pseudo code） ，且是使用 BASIC 语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用 ，也yx可以用 ; 表示两变量相
6、乘时可以用“*” ，也可以用“ ”yx. 赋值语句（assignment statement）：用 表示， 如： ，表示将 y 的值赋给yxx，其中 x 是一个变量，y 是一个与 x 同类型的变量或者表达式 .一般格式：“ ” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “ ”，表 达 式变 量 x但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。 “ = ”具有计算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而 a = 3*5 1 , a = 2a + 3都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给
7、一个变量赋值。 如：a = b = c = 2 , a , b ,c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的.例题：将 x 和 y 的值交换, 同样的如果交换三个变量 x,y,z 的值 : pypzyx. 输入语句（input statement）: Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b输出语句（out statement） ：Print x ,y 表示一次输出 运算结果 x ,y注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在 Print 语句中用 “ = ”4. Print
8、 语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ； ”隔开.例题：当 x 等于 5 时，Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5.条件语句（conditional statement）：1. 行 If 语句: If A Then B 注：没有 End If 阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 3 页 9/28/201832. 块 If 语句： 注：不要忘记结束语句 End If ，当有 If 语句嵌套使用时，有几个 If ，就必须要有几个 End If . Else If 是对上一个条件的
9、否定，即已经不属于上面的条件，另外 Else If 后面也要有 End If 注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。 为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法 .或者 注：1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数.循环语句（ cycle statement）： 当事先知道循环次数时用 For 循环 ，即使是 N 次也是已知次数的循环 当循环次数不确定时用 While 循环 Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.说明：1. While 循环是前测试型的，
10、即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成 While 循环，较为简单，因为它的条件相对好判断 . 2. 凡是能If A ThenBElseCEnd IfIf A ThenBElse If C ThenDEnd IfRead a , b , cIf ab ThenIf ac ThenPrint a Else Print cEnd If Else If bc ThenPrint bElse Print cEnd If End IfRead a , b , cIf ab and ac ThenPrint aElse If bc ThenPrint bElsePrin
11、t cEnd IfFor I From 初值 to 终值 Step 步长End For For 循环While AEnd While While 循环Do While p Loop 当型 Do 循环Do Loop Until p 直到型 Do 循环阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 4 页 9/28/20184用 While 循环书写的循环都能用 For 循环书写 3. While 循环和 Do 循环可以相互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.例题： （见课本 ）. 9.
12、531 的 一 个 算 法设 计 计 算 21PS intPrEdI 2Step To FrmoSS intPr hleEdI297 il1WIS intPr hleEd2I 9ilWIS S intPr ) 9I( 01I 2I o1或 者UilLpDI S intPr 9I 2Io1UilLpD S intPr2I )10 I( 9 Whileo1LpDI或 者 S intPr I2) 9I( 97 Whileo1LpDI或 者 颜老师友情提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。2. 在具体做题时
13、，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！Ex: 1. NnnN1.321 , 使 得一 定 存 在 自 然 数对 于 任 意 给 定 的2. 0.4132的 一 个 算 法用 循 环 语 句 写 出 求 阳光家教网 高三数学学习资料
14、水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 5 页 9/28/201853. .,10.321 写 出 伪 代 码并 画 出 流 程 图的 一 个 算 法设 计 一 个 计 算 答案：1 2. 3.nPrit Whlie1S nN hile0S REdad SPrintFo1-a I0 torm 10EdoaSS 1I 0I 1S :332否 则 输 出 转则如 果算 法 S流程图： 伪代码：或者 SPrint oFEdI10 trm 0S SPrintWhleEd1I 0I 1hileS 典型例题：开始 0S1I0I输出S1IISN Y1. 下面的伪代码输出的结果是
15、：I 2For n from 2 To 10 Step 2I 2 I + 1If I 20 ThenI I - 20End IfEnd forPrint I 2. 下面的伪代码的目的是 10 Read m , n 20 If m/n = Int(m/n) Then Go to 7030 c m -Int(m/n)*n40 m n 50 n c 60 Go to 20 70 Print n 3. 与下列为代码对应的数学表达式是 Read n e0S1For I from 1To n S= S*I ee+1/S End for Print e阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知
16、识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 6 页 9/28/201867. 市话话费计算方式为：自接通起。3 分钟内（含 3 分钟）0.2 元，超过 3 分钟的部分每分钟0.1 元（不足 1 分钟按 1 分钟计） ，输入一个证书作为通话时长，用条件语句描述通话话费。8. 某电视机厂 2002 年全年生产电视机 60 万台，计划从 2003 年开始每年的产量比上一年增长15%，设计一个算法，计算从哪一年开始，该厂的电视机产量超过 300 万台，只写出伪代码. 9. （斐波那契数列） 假定一对大兔子没一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生育能力，问从一对小兔子开始，一年后能繁殖多少兔
17、子？这就是著名的斐波那契数列问题，其规律是从第三个月开始，每个月的兔子数量都是前两个月的兔子数量的和。用循环语句描述这一算法。 10. 一个三位数的十位和个位上的数字交换，得到一个新的三位数，新旧两个三位时都能被 4 整除，设计一个算法求满足条件的三位数的个数，并写出伪代码.11.若 是两个互质的数，则一定存在整数 ，使得y,x v,u设 计设 35y , 1v u ., 并 用 伪 代 码 表 示条 件 的一 个 算 法 求 出 一 组 满 足答案：1. 15 2. 求 m , n 的最大公约数 3. 4. n 的所有约数!1.3!21e5 . 计算 1100 能被 7 整除的数的个数 6.
18、 a= 2 b= 3 c= 2 7. 解： 8. 解：Y intPr1.03-XIt0.2 Else.nt. Then - -I fl0.2Y The 3IXRfdad IPrint Whle10.5S3 6EdSilI9.解： 4. 下面的程序输出的是Read nI 1While I nIf n / I = Int( n / I ) ThenS I I=I+1 End if Print S End while 5. I 0For n From 1 to 100If Int ( n / 7 ) = n / 7 thenI I+1End If End For Print I 上面一段为代码的目的
19、是：6 a1 b2c3abb cc aPrint a ,b ,ca= b= c= 阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 7 页 9/28/20187或者 Print oFEd T SP 12 toFrm I1oTS SPrint oFEdC b aS 12 to3Frm I21oba10.解： IPrint oFEdf 1I Then 4/Y10ZX4/Y0ZXnt -N/Y 1 4 step9 to0FrmZItoI11.解： v,u intPr3/5-1 3/5v-1 /v-Int 1WhileEdvil 算法案例这一节要求较低
20、，但要掌握几个重要的算法，对于今后的进一步学习和提高数学的素养都有着重要的意义。 （要求掌握的用矩形框框起来）1求最大公约数(greatest common factor) 辗转相除法-Euclid algorithmExcel 宏程序Sub 求最大公约()a = InputBox(“输入第一个自然数“)b = InputBox(“输入第二个自然数 “)While a Mod b 0r = a Mod ba = bb = rWendMsgBox (“最大公约数为：“ ,0 ;,0r r线 性 相 关 程 度 越 低越 接 近 于. 颜老师说明：阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则
21、宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 18 页 9/28/2018181. 由于公式的复杂，数据有的也较多，所以在具体做题目时可以列出表格来，对应填进去，然后用公式计算，这样就不会产生慌乱的感觉 2.做题目时要细心，不要乱，在我们高一阶段一般只给出 56 组数据，算起来已经不是很难了3. 当然这种拟合（我们主要学习线性拟合就是求线性回归方程）在电脑里都可作出来图像来，而且求出相应的拟合度，有兴趣的同学可以在 Excel 软件里试一试4.表格形式：iixiy2ix2iyiyx12n合计 nix1niy1nix12niy12niiyx1niyx1ni1ni12niy12niix1然后代
22、入公式计算3. 概率 事件：随机事件（ random event ） ，确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event ) 随机事件的概率 (统计定义 )：一般的，如果随机事件 在 次实验中发生了 次，当实Anm验的次数 很大时，我们称事件 A 发生的概率为nmP说明： 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它
23、具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 概率必须满足三个基本要求： 对任意的一个随机事件 ，有 A10P 如果事件,1, 则 有可 能 事 件分 别 表 示 必 然 事 件 和 不和用 BPAPBA:,则 有互 斥和 古典概率（Classical probability model）： 所有基本事件有限个 每个基本事件发阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则
24、宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 19 页 9/28/201819生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 ，则每一个基本事件发生的概率都是 ，nn1如果某个事件 包含了其中的 个等可能的基本事件，则事件 发生的概率为 AmAnmP 几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域 中随机地取一点，D记事件“改点落在其内部的一个区域 内”为事件 ，则事件 发生的概率为dA（ 这里要求 的侧度不为 0，其中侧度的意义由 确定，一般地，线的 侧 度的 侧 度DdAPD段的侧度为该线段的长
25、度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）几何概型的基本特点： 基本事件等可性 基本事件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域 内随机地取点，指的是该点落在区域 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可D能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。互斥事件(exclusive events) ：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件 的对立事件 记为：AA独立事件的概率： ，BPA , B, 则为 相 互 独
26、立 的 事 件 事 件若若 n21n2121 P , ., n则为 两 两 独 立 的 事 件颜老师说明： 若 可能都不发生，但,B , 中 最 多 有 一 个 发 生则为 互 斥 事 件 AA不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 对立事件一定是互斥事件 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是 1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于 1
27、 若事件 是互斥事件，则有 一般地，如果 BA, BPAP两两互斥，则有 nA,.2 nn 2121 在本教材中 指的是 中至少发生一个 P. n,. 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 20 页 9/28/201820例题选讲：例 1. 在大小相同的 6 个球中，4 个是红球，若从中任意选 2 个，求所选的 2 个球至少有一个是红球的概率？【
28、分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球，2 个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法解法 1：（互斥事件）设事件 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ，则其互斥事件为 A A意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”54 -P -1 15 )6(AP 答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 .解法 2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有 种情况，设事件 为“选取 21526A个球至少有 1 个是红球” ，而事件 所含有的基本事件数有A14234所以 54AP答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 .154解法 3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设
29、事件 为“选取 2 个球至少有A1 个是红球” ，事件 有三种可能的情况：1 红 1 白；1 白 1 红；2 红，对应的概率分别为：， 则有 5364 ,5645436 26AP答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 .54评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!变式训练 1： 在大小相同的 6 个球中，2 个是红球，4 个是白球，若从中任意选取 3 个，求至少有 1 个是红球的概率？解法 1：（互斥事件）设事件 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ，则其互斥事件为 ， A A意义为“选取 3 个球都是白球
30、” 54 1-P -A 5426 12)456(AP 34 C答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 .解法 2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有 种情况，设事件 为201346CA“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ，而事件 所含有的基本事件数有A阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 21 页 9/28/201821， 所以 16234124C542016AP答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 .解法 3：（独立事件概率）设事件 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ，则事件 的情况A如下：红 白 白
31、 514621 红 2 白 白 白 红 白 红 白 3红 红 白 154622 红 1 白 红 白 红 白 红 红 所以 5413AP答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 .变式训练 2：盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回的从中任抽 2 次，每次抽取1 只，试求下列事件的概率：（1）第 1 次抽到的是次品（2）抽到的 2 次中，正品、次品各一次解：设事件 为“第 1 次抽到的是次品” ， 事件 为“抽到的 2 次中，正品、次品各一次”AB则 ， （或者 ）36P94624BP9462P答：第 1 次抽到的是次品的概率为 ，抽到的 2 次中，正品、次品各一次的概率为
32、3变式训练 3：甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少 1 人抽到选择题的概率？【分析】 （1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少 1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来解：设事件 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题” ，事件 为“至少 1 人抽到选择题” ，则ABB为“两人都抽到填空题”（1） 0356 10356213PAP或 者（2） 则 2263BB或 者 5411BP阳光家教
33、网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 22 页 9/28/201822答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 ，少 1 人抽到选择题的概率为 .0354变式训练 4：一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 1 红 1 球，要么是 1 黄 1 球略解: 56 5342532CAPAP或 者变式训练 5：设盒子中有 6 个球，其中 4 个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到 1 个红球 1 个白球的概率
34、是多少？略解: 962例 2. 急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 80 米和 50 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池 10 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的） ，求发放急救物品无效的概率？【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为 1 千米的正方形为区域 ，事件“发D放急救物品无效”为 ，距离水池 10 米范围为区域 ，即为图中的阴影部分， 则有Ad测 度测 度DdAP10410528502答：略颜
35、老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的变式训练 1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的 2 倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？略解： 324142测 度测 度DdAP变式训练 2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是 , 现有一直径等于a的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？a【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点只要圆心到网
36、格线的距离小于等于半径阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 23 页 9/28/201823aa/6FEDC1CA BB1A1BD C PA解：如图，正三角形 内有一正三角形 ，其中ABC1CBA tan30DE ,61FED ,1aaAB，63AB121当圆心落在三角形 之外时，硬币与网格有公共点1C1CBA-SP 有 公 共 点 的 概 率 82.0431222a答：硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 .变式训练 3：如图，已知矩形 在 正 方 形 内，中 ,7C,5B ACD ,P任 取 一 点的概率？90 APB求略
37、解： 56721变式训练 4：平面上画了彼此相距 2a 的平行线把一枚半径 r a 的硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？解：设事件 为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币A的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线 ，垂足OM为 ， 线段 的长度的取值范围为 ，其长度就是MOa,0 几何概型所有的可能性构成的区域 的几何测度，只有当D时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足a 0事件 的区域 的几何测度，所以AdarrP的 长 度的 长 度,0答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域 和区域 ，理解它
38、们的Dd关系以及它们的测度如何来刻画。rM2a阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 24 页 9/28/201824蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为 （ ） ，a20向平面内任意的投掷一枚长为 的针，求针与平行线相交的概率？ 2a l解：以 表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以 表示针与此直线的交角，如图易知x ，有这两式可以确定 平面上的一个矩形 ，这是为了针与 0, a -x平行线相交，其充要条件为 ，有这个不等式表示的区域 为图中的阴影部分，由Sinlx2A等可能性知 aldilAP0 如果
39、 , , , a, 的 值如 果 已 知反 过 来的 值值 代 入 上 式 即 可 计 算则 以已 知 APAPl，而关于 的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既: 则 也 可 以 利 用 上 式 来 求如果 投针 N 次，其中平行线相交的次数为 n 次，则频率为 ，于是，Nnna, lnalAP于 是注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出 . 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算 ，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 的.会面问题：甲乙两人约定在 6 时到 7 时在某地会面，并约定先
40、到者等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？解：设“两人能会面”为事件 ，以 x 和 y 分别表示A甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件为： 在平面上建立如图所示的15yx坐标系，则 的所有可能的结果是边长为 60 的,正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，由几何概型知， 16704562SAP答：两人能会面的概率 .172a阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 25 页 9/28/201825 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形 中，在斜边 上任取一点 ，ABCABM求 的概率？
41、ACM【分析】点 随机的落在线段 上，故线段 为区域B，当点 位于如图的 内时 ，故线段D CAM即为区域 d解: 在 上截取 ，于是ABC2)( ABCPMP答： 的概率为AC2【变式训练】如图，在等腰直角三角形 中，在 内部任意作一条射线 ，与线段CM交于点 ，求 的概率？B错解：在 上截取 ，在 内部任意作一条射线 ，满足条件的 看作A CB是在线段 上任取一点 ，则有 ACM2)( ABPP【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的取射线，在确
42、定基本事件时一定要注意观察角度， 注意基本事件的等可能性.正解：在 内的射线是均匀分布的，所以射线 作在任何位置都是等可能的，在 上ACBCMAB截取 ，则 ，故满足条件的概率为 5.67 75.096评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域 和 ，求出其测度，再利Dd用几何概型来求概率.例 3. 利用随机模拟法计算曲线 所围成的图形的面积.2,02xyx和【分析】在直角坐标系中作出长方形（ 所围成的部分，用随机模拟,4y法结合几何概型可以得到它的面积的近似值） 解：（1）利用计算机或者计算器生成两组 0 到 1 区间上的随机数， randbra00,（2）进行平移变换： ，其中 分04,2ba,别随机点的横坐标和纵坐标阳光家教网 高三数学学习资料水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！ 共 26 页第 26 页 9/28/201826（3）假如作 次试验，数处落在阴影部分的点数 ，N1N用几何概型公式计算阴影部分的面积由 得出 S187.281S评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想.另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法： 7.23xd 020S
