1、绝密启封并使用完毕前试题类型：A2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分 .第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 ， ，则2|430Ax|230BxAB（A） （B） （C） （D ）3(,)(,)(1,)(,)（2）设 ，其中 x，y 是实数，则1
2、iixi=xy（A）1 （B） （C） （D）223（3）已知等差数列 前 9 项的和为 27， ，则na108a10（A）100 （B）99（C）98 （D）97（4 ）某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A） （B ） （C） （D）31F(1) 2F(1) 32F(2) 43F(3)（5 ）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为32nmyxF(x2)4，则 n 的取值范围是（A）( 1,3) （B）(1, ) （C）(0,3) （D ）(0
3、, )3 3（6 ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是328F(28)（A）17 （B）18 （C）20 （D ）28 （7 ）函数 y=2x2e|x|在2,2 的图像大致为（A） （B）（C ） （D）（8 ）若 ，则10abc，（A） （B） c cab（C ） （D）loglbacloglb（9 ）执行右面的程序图，如果输入的 ，则输出 x，y 的值满足01xyn， ，（A） （B） （ C） （D ）2yx3yx4yx5yx(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两
4、点.已知|AB|=，|DE|= ，则 C 的焦点到准线的距离为45(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，a/平面 CB1D1， 平面 ABCD=m， 平aa面 =n，则 m、n 所成角的正弦值为1(A) (B) (C) (D)32231312.已知函数 为 的零点， 为()sin)(0),4fx+x， ()fx4图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为()yf()fx51836， （A）11 （B）9 （C）7 （D）5第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(2
5、2 )题 第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分(13)设向量 a=(m，1)，b=(1，2) ，且| a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=.(14) 的展开式中，x 3 的系数是. （用数字填写答案）5(2)（15 ）设等比数列满足 满足 a1+a3=10，a 2+a4=5，则 a1a2an 的最大值为。n（16 ）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A
6、 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。学.科网该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17 ） （本题满分为 12 分）的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c ，已知A 2cos(cos).CaB+bA（I）求 C；（II）若 的面积为 ，求 的周长7,cAB32ABC（18 ） （本题满分为 12 分）如图，在已 A，B ，C，D，E， F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD，且二面角 D
7、-AF-E 与二面角 C-BE-90FF 都是 6（I）证明；平面 ABEF 平面 EFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值（19 ） （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示 2 台机器三年内共
8、需更换的易损零件数， 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零Xn件数.（I）求 的分布列；（II）若要求 ，确定 的最小值；()0.5Pnn（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应19n20选用哪个？20. （本小题满分 12 分）设圆 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0 ）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于2150xyC，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；EA（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q
9、 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.（21 ） （本小题满分 12 分）已知函数 有两个零点.2)1(2)(xaexf）（(I)求 a 的取值范围；(II)设 x1，x 2 是的两个零点，证明： +x22.1请考生在 22、23 、24 题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22 ） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以 O 为圆心， OA 为半径作圆.21(I)证明：直线 AB 与O 相切(II)点 C,D 在O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD.（23 ） （本小题满分 10
10、 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a0）yxsin1co。在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos.（I）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3 的极坐标方程为 ，其中 满足 tan=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在a00C3 上，求 a。（24 ） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)= x +1- 2x-3.（I）在答题卡第（ 24）题图中画出 y= f(x)的图像；（II）求不等式f(x) 1 的解集。2016
11、年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A （6）A（7）D（8）C（9）C（10） B（11）A （12）B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分(13) 2 (14)10（15 ）64 （16） 2160 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17 ） （本小题满分为 12 分）解：（I）由已知及正弦定理得， 2cosCincsicosinCA，即 2cosCinsinA故 可得 1s2，所以 3（II）由已知， sin
12、C2ab又 C3，所以 6由已知及余弦定理得， 2cos7ab故 21ab，从而 5所以 CA的周长为 7（18 ） （本小题满分为 12 分）解：（I）由已知可得 FD， FA，所以 平面 FDC又 F平面 ，故平面 平面 （II）过 作 G，垂足为 ，由（I）知 G平面 A以 为坐标原点， F的方向为 x轴正方向， F为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz由（I）知 DF为二面角 FA的平面角，故 DF60，则 F2，3，可得 1,40， 3,40， 3,， ,3由已知， /A，所以 /平面 C又平面 C平面 F，故 /， /F由 /，可得 平面 D，所以 为二面角 C的平面角
13、，F60从而可得 2,03所以 1,3， 4， C,43A， 4,0A设 nxyz是平面 的法向量，则C0，即 04z，所以可取 3,n设 m是平面 CDA的法向量，则 C0mA，同理可取 0,34则 219cos,n故二面角 CA的余弦值为 219（19 ） （本小题满分 12 分）解：（）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8， 9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2 ，0.2，从而04.2.)16(XP；16.042.)17(XP； 24.8；0)9(；.0420XP；8)1(；.所以 X的分布列为16 17 18 19 20 21 22P04
14、.16.2402.084.（）由（）知 )8(P， 6)19(XP，故 n的最小值为 19.（）记 Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当 19n时， 08.)52019(2.)502(6.0 E4.)530(.当 2时， 04.)520(8.0)520(8. EY 8.可知当 19n时所需费用的期望值小于 n时所需费用的期望值，故应选 19n.20.（本小题满分 12 分）解：（）因为 |ACD， EB/，故 ADC，所以 |EB，故 | D.又圆 A的标准方程为 16)(2yx，从而 4|A，所以 4|EB.由题设得 )0,1(， ,， |B，由椭圆定义可得点 的轨迹
15、方程为：342yx（ ）.（）当 l与 x轴不垂直时，设 l的方程为 )0(1kxy， ),(1yxM， ),(2yN.由 134)(2yxk得 01248)34(22 kxk.则 821k， 3421kx.所以 )1(| 2212MN.过点 )0,1(B且与 l垂直的直线 m： )(xky， A到 m的距离为 12k，所以134)12(4| 2kPQ.故四边形 MPNQ的面积34|212MNS.可得当 l与 x轴不垂直时，四边形 PN面积的取值范围为 )38,12.当 与 轴垂直时，其方程为 1x， |M， |Q，四边形 MPNQ的面积为 12.综上，四边形 PNQ面积的取值范围为 )38,
16、2.（21 ） （本小题满分 12 分）解：（） ()1()1()x xfeaea（i）设 0a，则 2， f只有一个零点（ii）设 ，则当 (,)x时， ()0x；当 (,)时， ()0fx所以()fx在 ,1)上单调递减，在 1上单调递增又 e， (2fa，取 b满足 且 ln2ab，则23()()0afb，故 x存在两个零点（iii）设 0a，由 ()0fx得 1或 ln(2)xa若 2e，则 ln，故当 ,时， 0fx，因此 ()fx在 1,)上单调递增又当 1x时， ()0fx，所以 ()fx不存在两个零点若 2ea，则 lna，故当 1,ln2a时， ()0fx；当(l),x时，
17、()fx因此 ()fx在 ,l单调递减，在n单调递增又当 时， 0，所以 ()fx不存在两个零点综上， a的取值范围为 (0,)（）不妨设 12x，由（）知 12(,)(1,)xx， 2(,1)x， (fx在(,)上单调递减，所以 12等价于 ff，即 20f由于 22()xfxea，而 22()()xxea，所以22()x设 ()xgee，则 2()1()xge所以当 1时， 0g，而 ，故当 时， (0g从而 22()xf，故 12x请考生在 22、23 、24 题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22 ） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明
18、选讲解：（）设 E是 AB的中点，连结 OE，因为 ,120O，所以 AB， 60在 Rt中， ，即 到直线 的距离等于圆 O的半径，所以直线AB与 相切 EOD COBA（）因为 2OAD，所以 不是 ,ABCD四点所在圆的圆心，设 O是,ABC四点所在圆的圆心，作直线 O由已知得 在线段 B的垂直平分线上，又 在线段 的垂直平分线上，所以同理可证， OD所以 /AC（23 ） （本小题满分 10 分）解： cos1inxaty（ 均为参数） 22 1C为以 0， 为圆心， a为半径的圆方程为 2210xya 22sinxy， 2si10a即为 1C的极坐标方程 24coC：两边同乘 得 222cscosxyx，24xy即 23C：化为普通方程为 yx由题意： 1和 2的公共方程所在直线即为 3C得： 240xya，即为 210a（24 ） （本小题满分 10 分）解： 如图所示： 41332xfx， ， 1fx当 ， 4，解得 5x或 3 当 312x， 1，解得 x或 13或 当 32x ， 41x，解得 5x或 或 5综上， 13x或 x或 f，解集为 135， ， ，
