2012-2013江苏高考数学试卷--含答案.doc

1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）棱锥的体积 13VSh，其中 为底面积， h为高一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置上 1 （ 2012 年江苏省 5 分）已知集合 124A， ， ， 246B， ， ，则 AB 【答案】 ,246。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得 1,246AB。2 （ 2012 年江苏省 5 分）某 学 校 高 一 、 高 二 、 高 三 年 级 的 学 生 人 数

2、之 比 为34:， 现 用 分 层抽 样 的 方 法 从 该 校高 中 三 个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 名学生【答案】1 5。【考点】分 层 抽 样 。【解析】分 层 抽 样 又 称 分 类 抽 样 或 类 型 抽 样 。 将 总 体 划 分 为 若 干 个 同 质 层 ， 再 在 各 层 内随 机 抽 样 或 机 械 抽 样 ， 分 层 抽 样 的 特 点 是 将 科 学 分 组 法 与 抽 样 法 结 合 在 一 起 ， 分 组 减 小了 各 抽 样 层 变 异 性 的 影 响 ， 抽 样 保 证 了 所 抽 取 的 样 本 具 有 足 够 的 代 表 性

3、。 因 此 ， 由350=154知 应从高二年级抽取 15 名学生。3 （ 2012 年江苏省 5 分）设 abR， ， 17ii2（i 为虚数单位） ，则 ab的值为 【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由 17ii2ab得 17i2i15i4i=3i2ab ，所以=53， =8 。4 （ 2012 年江苏省 5 分）下图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 【答案】5。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 25k4循环前 0 0第一圈 是 1 0第二圈 是 2 2第三圈 是 3 2第四圈 是 4 0第五圈 是

4、5 4第六圈 否 输出 5最终输出结果 k=5。5 （ 2012 年江苏省 5 分）函数 xxf6log21)(的定义域为 【答案】 0 6和。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 1266000 612loglog6=xxx。6 （ 2012 年江苏省 5 分）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 3为公比的等 比 数列 ， 若 从 这 10 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数 ， 则 它 小 于 8 的概率是 【答案】 35。【考点】等 比 数 列 ， 概率。【解析】 以 1 为首项， 3为公比的

5、等 比 数 列 的 10 个 数 为 1， 3， 9， -27， 其 中 有 5 个负 数 ， 1 个 正 数 1 计 6 个 数 小 于 8， 从 这 10 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数 ， 它 小 于 8 的概率是 6=105。7 （ 2012 年江苏省 5 分）如 图 ， 在 长 方 体 1ABCD中 ，3cmABD， 12cA，则四棱锥 的体积为 cm3【答案】6。【考点】正 方 形 的 性 质 ， 棱锥的体积。【解析】 长 方 体 底 面 ABCD是 正 方 形 ， ABD中 =32 cm， BD边 上 的 高 是32cm（它也是 1中 1上的高） 。 四棱锥 1的体积为

6、32=6。由8 （ 2012 年江苏省 5 分）在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线214xym的离心率为5，则 m的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由214xym得 22=4=4ambcm， ， 。2=5cea，即 20，解得 。9 （ 2012 年江苏省 5 分）如图，在矩形 ABCD中， 2BC， ， 点 E为 B的中点，点 F在边 CD上，若 2ABF，则 EF的值是 【答案】 2。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由 2ABF，得 cos2ABFAB，由矩形的性质，得cos=D。 2AB， 2FA， 1D。 21C

7、F。记 E和 之间的夹角为 ,EB和 ，则 。又 2BC， 点 E 为 BC 的中点， 1。 =cos=cos=cossinAEFABFAEBFA ini 1212ECABF。本题也可建立以 , ABD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。10 （ 2012 年江苏省 5 分）设 ()fx是定义在 R上且周期为 2 的函数，在区间 1， 上，01()2xaxfb ， ， ，其中 abR， 若 132ff，则 3a的值为 【答案】 10。【考点】周期函数的性质。【解析】 ()fx是定义在 R上且周期为 2 的函数， 1ff，即 21=ba。又 31=2ffa， 32ff， 143ba。联立，

8、解得， =2. 4。 3=10ab。11 （ 2012 年江苏省 5 分）设 为锐角，若 4cos65，则 )12sin(a的值为 【答案】 17250。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】 为锐角，即 02和，求 yx的取值范围。作出（ xy和）所在平面区域（如图） 。求出 =xye的切线的斜率 e，设过切点 0Pxy和的切线为 0m， 则 00=ymex，要使它最小，须 =。 的最小值在 0Pxy和处，为 e。此时，点 0Pxy和在 =xe上 ,AB之间。当（ xy和）对应点 C时， =452731xyyyxx， x的最大值在 处，为 7。 y的取值范围为 e和，即

9、ba的取值范围是 7e和。二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说明 、 证 明 过 程 或演 算 步 骤 15 （ 2012 年江苏省 14 分）在 ABC中，已知 3ACB（1 ）求证： tan3t；（2 ）若 5cosC， 求 A 的值【答案】解：（1） 3BC， cos=3cosABABC，即cos=3csACBA。由正弦定理，得 =sinACB， sinco=3sincoAB。又 0， 。 isiA即tan3tBA。（2） 5cos0C， ta=1。 4A。【考点】

10、平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】 （1）先将 3ABCA表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。（2）由 5cos， 可求 tan，由三角形三角关系，得到 tanAB，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得 A 的值。16 （ 2012 年江苏省 14 分）如 图 ， 在 直 三 棱 柱 1BC中 ， 11BAC， DE， 分 别 是棱 1BC， 上 的 点 （ 点 D 不同于点 ） ，且 DEF， 为 的中点求证：（1）平面 AE平面 1B；（2）直线 1/F平面 【答案】证明：（1） 1ABC是 直 三 棱 柱 ， 1C平面

11、 AB。又 D平面 ， D。又 1E， ， 平面 11E， ，AD平面 1BC。 （lb ylfx）又 AD平面 ， 平面 ADE平面 1BC。（2） 11BC， F为 1B的中点， 11F。又 1平面 1A，且 1平面 1ABC， 1AF。又 1 CB， 平面 1C， 11， 1平面1ABC。由（1）知， AD平面 1B， 1AF D。又 平面 1, E平面 E， 直线 1/平面 AE【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】 （1）要证平面 ADE平面 1BC，只要证平面 ADE上的 平面 1BC即可。它可由已知 1BC是 直 三 棱 柱 和 证得。（2）要证直线 1/AF平面 E

12、，只要证 1AF 平面 E上的 A即可。17 （ 2012 年江苏省 14 分）如 图 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 xoy， 轴 在 地 平 面 上 ， y轴 垂 直于 地 平 面 ， 单 位 长 度 为 1 千 米 某 炮 位 于 坐 标 原 点 已 知 炮 弹 发 射 后 的 轨 迹 在 方 程21()(0)0ykxxk表 示 的 曲线上，其中 k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1 ）求炮的最大射程；（2 ） 设 在 第 一 象 限 有 一 飞 行 物 （ 忽 略 其 大 小 ）， 其 飞 行 高 度 为 3.2 千 米 ， 试 问 它 的 横 坐 标a不超过多少

13、时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在 21()(0)0ykxxk中 ， 令 0y， 得 21()=0kxx。由 实 际 意 义 和 题 设 条 件 知 ， 。 200=11kx， 当 且 仅 当 =1k时 取 等 号 。 炮的最大射程是 10 千 米 。（ 2） 0a，炮弹可以击中目标等价于存在 0k，使1()=3.0kak成 立 ，即 关 于 k的方程 22064=0aka有 正 根 。由 =04得 。此时，222640aak（不考虑另一根） 。当 a不超过 6 千 米 时 ， 炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】 （1）求炮的最大射程即求 21()

14、(0)0ykxxk与 x轴 的 横 坐 标 ， 求 出 后 应用 基本不等式求解。（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。18 （ 2012 年江苏省 16 分）若函数 )(xfy在 0处取得极大值或极小值，则称 0x为函数 )(xfy的极值点。已知 ab， 是实数，1 和 1是函数 32()fxabx的两个极值点（1 ）求 和 的值；（2 ）设函数 ()gx的导函数 ()2gxf，求 ()gx的极值点；（3 ）设 hfc，其中 ， ，求函数 ()yh的零点个数【答案】解：（1）由 32()fxabx，得 2()3fxab。1 和 是函数 32()fab的两个极值

15、点， ()32=0fab， (1)=0f，解得 =3ab， 。（2） 由（1）得， 3()fx ， 23()2=1gxf x，解得 123=x， 。当 2x， =是 ()的极值点。当 21时， ()0gx， =1x不是 ()gx的极值点。 ()g的极值点是2。（3 ）令 ()=fxt，则 ()hxftc。先讨论关于 的方程 ()=fd 根的情况： 2, d当 =2d时，由（2 ）可知， ()fx的两个不同的根为 I 和一 2 ，注意到 ()fx是奇函数， ()fx的两个不同的根为一和 2。当 2d，(1)=()0fdf，一 2 , 1，1 ，2 都不是 ()fxd的根。由（1）知 ()=31f

16、x。 当 2和时， ()0fx ，于是 ()fx是单调增函数，从而()2=fx。此时 ()=fxd在 2和无实根。 当 1 和时 ()0fx，于是 ()fx是单调增函数。又 ()fd， (1)0fd， ， ， ， ，。 2 21211=0=x mmyyy 。2222222111 1=0=1mAFxymy。同理，222BF。（i）由得，2121mA。解216=m得 2=2。注意到 0m， =。直线 1AF的斜率为 2。（ii）证明： 1 2B， 21BFPA，即21111BFPFPAA。 12=AFPB。由点 在椭圆上知，12BF， 122=AFPB。同理。 211AFAF。 12 212212

17、1 1+= 2AFBAFBPBAF 由得，21=m，2=mA， 123+2PF。 12是定值。【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】 （1）根据椭圆的性质和已知 (1)e， 和 32， 都在椭圆上列式求解。（2）根据已知条件 126AFB，用待定系数法求解。20 （ 2012 年江苏省 16 分）已知各项均为正数的两个数列 na和 b满足：21nnba， *N，（1 ）设 nn1， ，求证：数列2nba是等差数列；（2 ）设 nnab21， *N，且 na是等比数列，求 1a和 b的值【答案】解：（1） nn1， 1122=nnbaa。 21nnba。 22111*nnnnb

18、bNaa。数列2nba是以 1 为公差的等差数列。（2 ） 0nnb， ， 222nnnab知 q，下面用反证法证明 =1q若 1,q则 2=a，与（）矛盾。若 01,，当 1logqna时， 1naqa，于是 123b。又由 21nnb即 12nab，得211=na。 123b和中至少有两项相同，与 123矛盾。 12a。22=1n。 12ab。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】 （1）根据题设 21nnba和 nab1，求出21nnba，从而证明21nnba而得证。（2）根据基本不等式得到 12nab，用反证法证明等比数列na的公比 =1q。从而得到 1*n

19、aN的结论，再由 112=nnnba知 b是公比是 12a的等比数列。最后用反证法求出 12=b。数学(附加题)21 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 4 - 1：几何证明选讲 （2012 年江苏省 10 分）如图， AB是圆 O的直径，,DE为圆上位于 AB异侧的两点，连结 B并延长至点 C，使 D，连结C求证： 【答案】证明：连接 AD。 B是圆 O的直径， 09ADB（直径所对的圆周角是直角） 。 （垂直的定义） 。又 DC， 是线段 C的中垂线（线段的中

20、垂线定义） 。 AB（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等） 。 C（等腰三角形等边对等角的性质） 。又 ,DE为圆上位于 AB异侧的两点， B（同弧所对圆周角相等） 。 EC（等量代换） 。【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。【解析】要证 EC，就得找一个中间量代换，一方面考虑到 BE和是同弧所对圆周角，相等；另一方面由 AB是圆 O的直径和 BD可知 A是线段 C的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 BC。从而得证。本题还可连接 ，利用三角形中位线来求证 。B 选修 4 - 2：矩阵与变换 （2012 年江苏省

21、 10 分）已知矩阵 A的逆矩阵132A，求矩阵 A的特征值 【答案】解： 1=E， 1。 1342A， 12 3A=。矩阵 的特征多项式为 2 3=421f。令 =0f，解得矩阵 A的特征值 12和。【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。【解析】由矩阵 A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵 ，从而求出矩阵 A的特征值。C选修 4 - 4：坐标系与参数方程 （2012 年江苏省 10 分）在 极 坐 标 中 ， 已 知 圆 C经 过 点2P， 圆 心 为 直 线 3sin2与 极 轴 的 交 点，求圆 的极坐标方程【答案】解：圆 C圆 心 为 直 线 si3与 极 轴 的 交 点， 在 3sin2中 令

22、 =0， 得 1。 圆 C的圆心坐标为（1 ，0） 。圆 经 过 点 24P， ， 圆 C的半径为21cos=1P。 圆 C经 过 极 点 。 圆 C的极坐标方程为 =2cos。【考点】直线和圆的极 坐 标 方 程 。【解析】根 据 圆 C圆 心 为 直 线 3sin2与 极 轴 的 交 点求出的圆心坐标；根据圆经 过 点 24P， 求 出 圆 的半径。从而得到圆 C的极坐标方程。D 选修 4 - 5：不等式选讲 （2012 年江苏省 10 分）已知实数 x，y 满足：11|2|36xyxy， ，求证： 5|18y【答案】证明： |=3|2|2xyxy，由题设 11|6y， ， 153|=6。

23、 |18。 【考点】绝对值不等式的基本知识。【解析】根据绝对值不等式的性质求证。【 必 做 题 】 第 22 题 、 第 23 题 ， 每 题 10 分 ， 共 计 20 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （ 2012 年江苏省 10 分）设 为 随 机 变 量 ， 从 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 12 条 棱 中 任 取 两 条 ， 当两 条 棱 相 交 时 ， 0； 当 两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1（1）求概率 (0)P；（2）求 的 分 布 列 ， 并 求 其 数 学 期 望

24、 ()E【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的一个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，共有 238C对相交棱。 2314(0)=6P。（ 2） 若 两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2， 其 中 距离为 2的 共 有 6 对 ， 21()=PC，416(1)=(0)(2)=PP。随机变量 的 分 布 列 是：0 1 2()P4161其 数 学 期 望 62()=2=1E。 【考点】概率分布、数学期望等基础知识。【解析】 （1）求出两条 棱 相 交 时 相交棱的对数，即可由概率公式求得概率 (0)P。（ 2） 求出两条 棱 平行 且 距离为 2的 共 有 6 对 ，

25、即 可 求 出 (2)，从而求出(1)P（两条 棱 平行且 距离为 1 和 两条棱异面） ，因此得到随机变量 的 分 布 列 ， 求 出 其数 学 期 望 。23 （ 2012 年江苏省 10 分）设集合 12nPn， ， ， *N记 ()fn为同时满足下列条件的集合 A的个数： nP；若 x，则 2xA；若 ACxnp，则 xnp2。（1 ）求 (4)f；（2 ）求 ()fn的解析式（用 n表示） 【答案】解：（1）当 =4时，符合条件的集合 A为：2,42,31,， ， ， (4)f=4。 ( 2 ）任取偶数 nxP，将 除以 2 ，若商仍为偶数再除以 2 ， 经过k次以后商必为奇数此时记

26、商为 m。于是 =kxA，其中 m为奇数 *kN。由条件知若 则 为偶数；若 A，则xAk为奇数。于是 x是否属于 A，由 m是否属于 确定。设 nQ是 P中所有奇数的集合因此 ()fn等于 nQ的子集个数。当 为偶数 或奇数）时， nP中奇数的个数是 2（ 1） 。 21()=nf为 偶 数为 奇 数。【考点】集合的概念和运算，计数原理。【解析】 （1）找出 =4n时，符合条件的集合个数即可。（2）由题设，根据计数原理进行求解。2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1函数 )42sin(

27、3xy的最小正周期为 【答案】【解析】T| | |2 222设 )(iz（ 为虚数单位） ，则复数 z的模为 【答案】5【解析】z3 4i ，i 21 ，| z | 53双曲线 962yx的两条渐近线的方程为 【答案】 xy43【解析】令： 09162，得 xy4316924集合 ,共有 个子集【答案】8【解析】2 385右图是一个算法的流程图，则输出的 n的值是 【答案】3【解析】n 1 ，a2，a4，n2；a10，n3 ；a28，n46抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环） ，结果如下：运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲 87 91 90 89 93乙 8

28、9 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： 905289108x方差为： 2)()()()90()89( 22222 S 7现在某类病毒记作 nmYX，其中正整数 ， n（ 7m， 9）可以任意选取，则nm，都取到奇数的概率为 【答案】 6320【解析】m 取到奇数的有 1， 3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3 ，5，7，9 共 5 种情况，则 n， 都取到奇数的概率为 632098如图，在三棱柱 ABC1中， FED， 分别是 1ACB， 的中点，设三棱锥 DEF的体积为 V，三棱柱 A1的

29、体积为 2V，则 2: 【答案】1：24【解析】三棱锥 AEF与三棱锥 ABC1的相似比为 1：2 ，故体积之比为 1：8又因三棱锥 BC1与三棱柱 1的体积之比为 1：3 所以，三棱锥D与三棱柱 1的体积之比为 1：249抛物线 2xy在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部和边界) 若点 ),(P是区域 D内的任意一点，则 yx2的取值范围是 【答案】2， 12【解析】抛物线 xy在 1处的切线易得为 y2x 1，令 z yx2，y x 12 z2画出可行域如下，易得过点(0，1)时，z min2，过点( ，0)时，z max 12 1210设 ED， 分别是 ABC的边

30、 ， 上的点， ABD21， CE32，若 21（ 21， 为实数） ，则 21的值为 【答案】12【解析】 )(321321ACBBCAEDB216所以， 61， 32， 211211已知 )(xf是定义在 R上的奇函数。当 0x时， xf4)(2，则不等式的解集用区间表示为 【答案】(5 ，0) (5，)【解析】做出 xf4(2 ( 0)的图像，如下图所示。由于 )(xf是定义在 R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出 x0 的图像。不等式 ，表示函数 y)(xf的图像在 yx 的上方，观察图像易得：解集为( 5，0) (5 ，) 。12在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C的标准方程为 )0,(12bayx，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B，设原点到直线 BF的距离为 1d， F到 l的距离为 2d，若 16d，则椭圆 C的离心率为 【答案】 3【解析】如图，l：x ca2， d2c b2，由等面积得： 1d abc。若 126d，则 cb2 6，整理得： 0622，两边同除以： 2，得：02a，解之得： ab 3，所以，离心率为：31e2b13在平面直角坐标系 xOy中，设定点 ),(aA， P是函数 xy1（ 0）图象上一动点，若点 AP， 之间的最短距离为 2，则满足条件的实数 a的所有值为