1、在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作效率时间=工作总量在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫它们做“工程问题”.举一个简单例子.：一件工作，甲做 15 天可完成，乙做 10 天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成 1 个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天” ，1 天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到工作量工作效率= 工作时间1（1/15+1/10）=6（天）答：两人合作需要 6 天.这是工程
2、问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。为了计算整数化（尽可能用整数进行计算） ，如第三讲例 3 和例 8 所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10 与 15 的最小公倍数是 30。设全部工作量为 30 份，那么甲每天完成 2 份，乙每天完成 3 份，两人合作所需天数是 :30（2+ 3 ）= 6（天）如果用数计算，更方便.3：2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是 1015=2 3一：基本数量关系1.工效时间= 工作总量 2.工作效率= 工作总量 工作时间 3.工作时间=工作总量 工作效率二：基本特点设工作总量为“1” ，工效=1/
3、时间三：基本方法算术方法、比例方法、方程方法。四：基本思想分做合想、合做分想。五：类型与方法一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。二：等量代换：方程组的解法代入法，加减法。三：按劳分配思路：每人每天工效每人工作量按比例分配四：休息请假：方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。五：休息与周期：1.已知条件的顺序：先工效，再周期，先周期，再天数。2.天数：近似天数，准确天数。3.列表确定工作天数。六：交替与周期：估算周期，注意顺序！七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。八：工效变化。九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正
4、反比例的运用，4.假设法思想(周期)。十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。工程问题.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也可以灵活解答。因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体 1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发” ，也许会使我们的解题思路更灵活一些.一、两个人的问题标题上说的“两个人” ，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例 1 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成。现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解一：把这件工作看作 1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做
5、 3 天完成的 1/3。乙每天可完成这件工作的六分之一， （1-1/3）1/6=4（天）答：乙需要做 4 天可完成全部工作.解二：9 与 6 的最小公倍数是 18.设全部工作量是 18 份.甲每天完成 2份，乙每天完成 3 份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 3） 3= 4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了 3 天，相当于乙做了 2 天.乙完成余下工作所需时间是 6-2=4（天）.例 2 一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲离开了，由乙继续做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了 6 天后，原来，甲
6、做 24 天，乙做 24 天，现在，甲做 0 天，乙做 40=（24+16 ）天.这说明原来甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天来代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的（倍）甲做 6 天相当于乙做（天） ，如果乙独做，所需时间是 6+4+40=50 天。如果甲独做，所需时间是天答：甲或乙独做所需时间分别是 75 天和 50 天.例 3 某工程先由甲独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需 48 天完成。现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少
7、做 63-48=15（天） ，乙要多做 48-28=20（天） ，由此得出甲的工作效率是乙工作效率的（倍）.甲先单独做 42 天，比 63 天少做了 63-42=21（天） ，相当于乙要做（天）因此，乙还要做28+28= 56（天）.答：乙还需要做 56 天。例 4 一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在两队合作，其间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完工共用了 11
8、天.解二：设全部工作量为 30 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 1 份.在甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天之后，还需两队合作（30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）.解三：甲队做 1 天相当于乙队做 3 天.在甲队单独做 8 天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做 23=6（天）.乙队单独做 2 天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量 .4=3+1，其中 3 天可由甲队 1 天完成，因此两队只需再合作 1 天.解四：方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.)甲队每天工作量为 1/10，乙为 1/30，因为甲休息了
9、 2 天，而乙休息了8 天，因为 82，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这 6 天内甲独自完成了这项工程的 1/106=6/10，剩下的工作量为 1-6/10=4/10，而这剩下的 4/10 为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的 4/10 需要甲乙合作：(4/10)(1/10+1/30)=3 天。所以从开始到完工共需：8+3=11(天）例 5 一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了 3 天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了 16 天.问乙队休息了多少天？解一：如果 1
10、6 天两队都不休息，可以完成的工作量是 （120）16+（1 30）16=4/3由于两队休息期间未做的工作量是 4/3-1=1/3乙队休息期间未做的工作量是 1/3-1/203=11/60乙队休息的天数是 11/60(1/30)=11/2答：乙队休息了 5 天半.解二：设全部工作量为 60 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.两队休息期间未做的工作量是（3+2）16- 60= 20（份） .因此乙休息天数是（20- 3 3） 2= 5.5（天）.解三：甲队做 2 天，相当于乙队做 3 天.甲队休息 3 天，相当于乙队休息 4.5 天.如果甲队 16 天都不休息，只余下甲队 4 天工作量
11、，相当于乙队 6 天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天）.例 6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要 10 天，单独完成乙工作要 15 天；李单独完成甲工作要 8 天，单独完成乙工作要 20 天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为 60 份（15 与 20 的最小公倍数） ，张每天完成 4 份，李每天完成 3 份.8 天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由张、李合作需要（60-4 8）（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.
12、答：这两项工作都完成最少需要 12 天.例 7 一项工程，甲独做需 10 天，乙独做需 15 天，如果两人合作，他要 8 天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为 30 份，甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.两人合作，共完成3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在 8 天内完成，所以两人合作的天数是（30-3 8）（4.2-3）=5（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快如果这件工作始终由甲一人单独来做，需
13、要多少小时？解：乙 6 小时单独工作完成的工作量是乙每小时完成的工作量是两人合作 6 小时，甲完成的工作量是甲单独做时每小时完成的工作量甲单独做这件工作需要的时间是答：甲单独完成这件工作需要 33 小时.这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是， “整数化”并不能使所有工程问题的计算简便. 例 8 就是如此.例 8 也可以整数化，当求出乙每有一点方便，但好处不大.不必多此一举.二、多人的工程问题我们说的多人，至少有 3 个人，当然多人问题要比 2 人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.例 9 一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要
14、60 天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是 1.甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做需要 90 天完成.例 9 也可以整数化，设全部工作量为 180 份，甲、乙合作每天完成 5份，乙、丙合作每天完成 4 份，甲、丙合作每天完成 3 份.请试一试，计算是否会方便些？例 10 一件工作，甲独做要 12 天，乙独做要 18 天，丙独做要 24 天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2 倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解：甲做 1 天，乙就做
15、 3 天，丙就做 32=6（天）.说明甲做了 2 天，乙做了 23=6（天） ，丙做 26=12(天） ，三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成这项工作用了 20 天.本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24 这三数有一个易求出的最小公倍数 72.可设全部工作量为 72.甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3.总共用了例 11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要 13 天完成.如果丙休息 2天，乙就要多做 4 天，或者由甲、乙两人合作 1 天.问这项工程由甲独做需要多少天？解：丙 2 天的工作量，相当乙 4 天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 42=2（倍） ，甲、乙
16、合作 1 天，与乙做 4 天一样.也就是甲做1 天，相当于乙做 3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的 3 倍.他们共同做 13 天的工作量，由甲单独完成，甲需要答：甲独做需要 26 天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 321，就知甲做 1 天，相当于乙、丙合作 1 天.三人合作需 13 天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做 13 天来完成.例 12 某项工作，甲组 3 人 8 天能完成工作，乙组 4 人 7 天也能完成工作.问甲组 2 人和乙组 7 人合作多少时间能完成这项工作？解一：设这项工作的工作量是 1.甲组每人每天能完成乙组每人每天能完成甲组 2 人和乙组 7
17、 人每天能完成答：合作 3 天能完成这项工作.解二：甲组 3 人 8 天能完成，因此 2 人 12 天能完成；乙组 4 人 7 天能完成，因此 7 人 4 天能完成.现在已不需顾及人数，问题转化为：甲组独做 12 天，乙组独做 4 天，问合作几天完成？小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.例 13 制作一批零件，甲车间要 10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要 6 天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要 8 天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件 2400 个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量
18、为 1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了 4200 个零件.解二：10 与 6 最小公倍数是 30.设制作零件全部工作量为 30 份.甲每天完成 3 份，甲、乙一起每天完成 5 份，由此得出乙每天完成 2 份.乙、丙一起，8 天完成.乙完成 82=16（份） ，丙完成 30-16=14（份） ，就知乙、丙工作效率之比是 1614=87.已知甲、乙工作效率之比是 32= 128.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是1287.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400（12- 8） 7= 4200（个）.例 14 搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小
19、时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时.有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是 1.现在相当于三人共同完成工作量 2，所需时间是答：丙帮助甲搬运 3 小时，帮助乙搬运 5 小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运 4.三人共同搬完，需要60 2 （6+ 5+ 4） = 8（小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6
20、8） 4= 3（小时）.乙需丙帮助搬运（60- 5 8）4= 5（小时）.三、水管问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.例 15 甲、乙两管同时打开，9 分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过 3 分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入 0.6 立方米水，这个水池的容积是多少立方米？解：甲每分钟注入水量是 ：（1-1/9 3）10=1/15乙每分钟注入水量是：1/
21、9-1/15=2/45因此水池容积是：0.6（1/15-2/45 ）=27 （立方米）答：水池容积是 27 立方米.例 16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的 1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开 10 根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？分析：增开水管后，有原来 2 倍的水管，注水时间是预定时间的 1-1/3=2/3，2/3 是 1/3 的 2 倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的 4 倍。 设水池容量是 1，前后两段时间的注水量之比为：1：4，那么预定时
22、间的 1/3（即前一段时间）的注水量是 1/（1+4）=1/5。10 根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是1/10，预定时间的 1/3，每根水管的注水量是 1/101/3=1/30要注满水池的 1/5，需要水管 1/51/30=6（根）解：前后两段时间的注水量之比为：1：（1-1/3）1/32=1 ：4前段时间注水量是：1（1+4）=1/5每根水管在预定 1/3 的时间注水量为：1101/3=1/30开始时打开水管根数：1/51/30=6（根）答：开始时打开 6 根水管。例 17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需 3 小时，单开丙管需要
23、5 小时.要排光一池水，单开乙管需要 4 小，丁管需要 6 小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的顺序轮流打开 1 小时，问多少时间后水开始溢出水池？分析：此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬 30 尺才能到达井口，每小时它总是爬 3 尺，又滑下 2 尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？看起来它每小时只往上爬 3- 2= 1（尺） ，但爬了 27 小时后，它再爬 1小时，往上爬了 3 尺已到达井口.因此，答案是 28 小时，而不是 30 小时. 以后（20 小时） ，池中的水已有，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.例 18 一个蓄
24、水池，每分钟流入 4 立方米水.如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空，如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才能把水放空？解：先计算 1 个水龙头每分钟放出水量.2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水4 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米） ，8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是8 8 90，其中 90 分钟内流入水量是 4 90，因此原来水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）.打开 13 个水龙头每分钟可以放出水
25、 813，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要5400 （8 13- 4）=54（分钟）.答：打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.例 19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开 A 管，8 小时可将满池水排空，打开 C 管，12 小时可将满池水排空.如果打开 A，B 两管，4 小时可将水排空.问打开 B，C 两管，要几小时才能将满池水排空？解：设满水池的水量为 1.A 管每小时排出A 管 4 小时排出因此，B，C
26、两管齐开，每小时排水量是B， C 两管齐开，排光满水池的水，所需时间是答： B， C 两管齐开要 4 小时 48 分才将满池水排完.本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8 与 12 的最小公倍数 24.17 世纪英国伟大的科学家牛顿曾写过普遍算术一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18 和例 19 是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全
27、类同的.例 20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快。12 头牛 4 星期吃完第一块牧场上的草；7 头牛 9 星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛 18 星期才能吃完第三片牧场的草？解：吃草总量= 一头牛每星期吃草量牛头数星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.原有草+4 星期新长的草=12 4.原有草+9 星期新长的草=7 9.由此可得出，每星期新长的草是（79-12 4）（9-4）=3.那么原有草是79-39=36（或者 124-34）.对第三片牧场来说，原有草和 18 星期新长出草的总量是这些草能让907.218=36（头）牛吃 18 个星期.答
28、：36 头牛 18 个星期能吃完第三片牧场的草.例 20 与例 19 的解法稍有一点不一样.例 20 把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例 19 再有一个条件，例如：“打开 B 管，10 小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例 19 所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.例 21 画展 9 点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开 3 个入场口，9 点 9 分就
29、不再有人排队，如果开 5 个入场口，9 点 5 分就没有人排队.问第一个观众到达时间是 8 点几分？解：设一个入场口每分钟能进入的观众为 1 个计算单位.从 9 点至 9 点 9 分进入观众是 39，从 9 点至 9 点 5 分进入观众是 55.因为观众多来了 9-5=4（分钟） ，所以每分钟来的观众是（39-5 5）（9-5）=0.5.9 点前来的观众是55-0.55=22.5.这些观众来到需要22.50.5=45（分钟）.答：第一个观众到达时间是 8 点 15 分.挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的 3/10，两队单独挖各需几天？分析: 甲乙
30、合作 1 天后,甲又做了 2 天共 3/10-1/6=4/302(3/10-1/6)=24/30=15(天)1(1/6-1/15)=10(天)答:甲单独做要 15 天,乙单独做要 10 天 .一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？解设:规定时间为 X 天.(甲单独要 X-2 天,乙单独要 X+3 天,甲一共做了2 天,乙一共做了 X 天)1/(X-2)2 + X/(X+3)=1X=12规定要 12 天完成11/(12-2)+1/(12+3)=
31、1(1/6)=6 天答:两人合作完成要 6 天. 例：一项工程，甲单独做 63 天，再由乙做 28天完成，甲乙合作需要 48 天完成。甲先做 42 天，乙做还要几天？ 答：设甲的工效为 x,乙的工效为 y63x+28y=148x+48y=1x=1/84y=1/112乙还要做（1-42/84）（1/112）=56（天）例 22 有 32 吨货物，从甲城运往乙城，大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是 3 吨，每种大、小卡车的耗油量分别是 10 升和 7.2 升，将这批货物运完，至少需要耗油多少吨？解：显然，为了省油，应尽量使用大卡车运，大卡车运 6 次，还剩 2吨，所以剩下一次用小卡车运，耗油最少，共需 6*10+7.2=67.2 升
