1、各地解析分类汇编（二）系列:立体几何 11.【山东省潍坊一中 2013届高三 12月月考测试数学文】已知直线 和平面a，且 在 内的射影分别为直线 和 ，则 和 的位置关,laabb=a, bc系是A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 【答案】D【解析】由题意，若 ，则利用线面平行的判定，可知 ，从而 在 内/al /,/aa,b的射影直线 和 平行；若 ，则 在 内的射影直线 和 相交于点 A；若bcAa,bbc， ，且直线 和 垂直，则 在 内的射影直线 和 相交；否则直aBl线 和 异面综上所述， 和 的位置关系是相交平行或异面，选 Dcc2.【云南师大附
2、中 2013届高三高考适应性月考卷（四）文】球内接正方体的表面积与球的表面积的比为A B C D6:4:3:2:【答案】D【解析】设正方体边长为 1，则外接球半径为 ，由正方体的表面积为 6，球的表面积为 32，它们的表面积之比为 ，选 D6:3:3.【云南师大附中 2013届高三高考适应性月考卷（四）文】已知一几何体的三视图如图 3，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择 4个顶点，以这 4个点为顶点的几何形体可能是矩形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体A B C D【答案】B【解析】以长方体 为几何体的直观图. 当选择的
3、四个点为 B1、 B、 C、 C1时，1ABCD可知正确；当选择 B、 A、 B1、 C时，可知正确；当选择 A、 B、 D、 D1时，可知正确.选 B.4.【云南省昆明一中 2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】一条长为 2的线段，它的三个视图分别是长为 的三条线段，则 ab的最大值为3,abA B C D35652【答案】C【解析】构造一个长方体，让长为 2的线段为体对角线，由题意知，即 ，又2221,3aybxy2235abxy，所以 ，当且仅当 时取等号，所以选 C. 5a5b5.【山东省潍坊一中 2013届高三 12月月考测试数学文】四棱锥 的三视图如右图PABCD-所示，四
4、棱锥 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱 AB、CD 的中点，直线PABCD-EF被球面所截得的线段长为 ，则该球表面积为2A. B.24 C. D. 12p36p48【答案】A 【解析】将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥 P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球且该正方体的棱长为 .设外接球的球心为 O，则 O也是正方a体的中心，设 EF中点为 G，连接 OG，OA，AG.根据题意，直线 EF被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是 ,可得 ,所以正方体棱长 ,在直222AGa2a角三角形 中， , ,即外接球半径 ，得外接球表面积为OA
5、1a3O3R,选 A. 241R6.【山东省师大附中 2013届高三第四次模拟测试 1月数学文】已知两条直线 ， 与两个平 ab面 、 ，则下列命题中正确的是b，若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ；若 ，/aba/b/则 .A B C D【答案】A【解析】根据线面垂直的性质可知正确。中，当 时，也有可能为 ，所以baa错误。垂直于同一直线的两个平面平行，所以正确。中的结论也有可能为 ，所以b错误，所以命题正确的有，选 A.7.【山东省师大附中 2013届高三第四次模拟测试 1月数学文】若一个底面为正三角形的几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 A B C D 612336273【
6、答案】B【解析】由三视图可知该几何体为正三棱柱，棱柱的高为 4，底面正三角形的高为 ，所3以底面边长为 6，所以几何体的体积为 ，选 B.213668.【山东省青岛一中 2013届高三 1月调研考试数学文】已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 87274【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半径分别为 2和 的同心圆柱，大圆柱内挖掉了小3圆柱。两个圆柱的高均为 1.所以几何体的体积为 ，选 D.2741()49.【云南省昆明三中 2013届高三高考适应性月考（三）文】如图 2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为的
7、正方形，则此正三棱柱的侧视图1ABC（又称左视图）的面积为( ) 主主 主主主224C1B1A1CBAA B C D16 834323【答案】A【解析】由主视图可知，三棱柱的高为 4，底面边长为 4，所以底面正三角形的高为 ，23所以侧视图的面积为 ，选 A.23810.【云南省昆明三中 2013届高三高考适应性月考（三）文】若 是两个不同的平面，下,列四个条件：存在一条直线 ， ；存在一个平面 ，a, ；存在两条平行直线 ；存在两条异， ab,b面直线 那么可以是 的充分条件有 ,ab,b（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【答案】C【解析】可以； 也有可能相交，所以不正确； 也有可
8、能相交，所以不正确；,根据异面直线的性质可知可以，所以可以是 的充分条件有 2个，选 C.11.【云南省昆明三中 2013届高三高考适应性月考（三）文】若三棱锥 的所有顶点SABC都在球 的球面上， 平面 ， ， ， ，则OSABC23,SA1B60球 的表面积为 （ ）A B C D64164【答案】B【解析】因为 ， ， ，所以 ，2AC0221cos603B所以 。所以 ，即 为直角三角形。因为三棱锥 的所有3BC9BASABC顶点都在球 的球面上，所以斜边 AC的中点是截面小圆的圆心 ，即小圆的半径为OO.,因为 是半径，所以三角形 为等腰三角形，过 作12rA,SS,则 为中点，所以
9、 ,所以半径MS123OAM，所以球的表面积为 ,选 B. 22(3)14OAr 2416R12.【贵州省遵义四中 2013届高三第四月考文】 某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是（ ）（A） （B）28383（C） （D） 2【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为，圆锥的体积为 ，所以该几何体的体积为 ，选 A.2812328313.【贵州省六校联盟 2013届高三第一次联考 文】某几何体的三视图如图 所示，图中的四边形都是边长为 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）2 A203B163C86D83【答案】A【解析】由三视图知
10、，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为 2，正四棱锥的底面边长为正方体的上底面，高为 1.原几何体的体积为 ,选 A.31420283V 侧侧侧图 214.【北京市西城区 2013届高三上学期期末考试数学文】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） （A） （B） （C） （D）53235323【答案】C【解析】由三视图可知，四棱锥的高为 2，底面为直角梯形 ABCD.其中,所以四棱锥的体积为 ，选 C.2,3,DCAB1(23)5315.【山东省潍坊一中 2013届高三 12月月考测试数学文】已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的高为 ，外接球的体积是 ，则 A、
11、B 两点的球面距离为_.23p【答案】 23【解析】因为正四棱柱外接球的体积为 ，所以 ,即外接球的半径为 ，342Rp=2R所以正四棱柱的体对角线为 ，设底面边长为 ，则 ，解得底面24Rx2()()4边长 。所以三角形 为正三角形，所以 ，所以 A、B 两点的球面距离为2xAOB3AO.3R16.【贵州省遵义四中 2013届高三第四月考文】如右图, 设 A、 B、 C、 D为球 O上四点，若AB、 AC、 AD两两互相垂直，且 ， ，则 A、 D两点间的球面距离 6ABC2。【答案】 23【解析】因为 AB、AC、AD 两两互相垂直，所以分别以 AB、AC、AD 为棱构造一个长方体，在长方
12、体的体对角线为球的直径，所以球的直径 ，所以22(6)164R球半径为 ,在正三角形 中， ，所以 A、D 两点间的球面距离为2RAOD3.317.【贵州省六校联盟 2013届高三第一次联考 文】正方体 的棱长为 ，1CB2是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦） ， 为正方体MN P表面上的动点，当弦 的长度最大时， 的最大值是 NPMN【答案】2【解析】因为 是它的内切球的一条弦，所以当弦 经过球心时，弦 的长度最大，MN此时 .以 为原点建立空间直角坐标系如图. 根据直2MNA径的任意性，不妨设 分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为 ，, (1,2)(,0)M
13、N， ，设坐标为 ，则 , ,所以(,)Pxyz(1,2)xyz(1,)PNxyz，即 .因为221()NzA 222)(MA点 为正方体表面上的动点， ，所以根据 的对称性可知， 的取值范围与点,xyzPA在哪个面上无关，不妨设，点 在底面 内，此时有 ，PPBCD02,0xyz所以此时 ，,所以当2222(1)()(1)()(1)MNxyzxyA时， ，此时 最小，当但 位于正方形的四个顶点时，1xy0MNAP最大，此时有 ，所以 的最大值为 2. P 22()()Pxy MNA18.【云南省昆明三中 2013届高三高考适应性月考（三）文】 （本小题满分 12分）如图所示，正方形 与矩形
14、所在平面互相垂直， ,点 为DA1BC2ADBE的中点 .AB（1）求证： ； E11/平 面（2）求证： ；A（3）求点 到 的距离.B1D平 面【答案】解：（1） , 的 中 点是为 正 方 形 ，四 边 形 11ADOAD点 E为 的中点 ,连接 BE的中位线 / 2分1AO为 1B又 4分A1,平 面平 面 EA11/平 面（2）正方形 中, , 由已知可得： ，1D1D1D平 面,1A平 面B18分EAE,11平 面平 面 E（3）设点 到 的距离为 .BD平 面 h， ，132sin602ADES12BDES又 ，即 ，11BAEBV11ADEShA，即 点 到 的距离为 12分3
15、h1平 面 319.【山东省青岛一中 2013届高三 1月调研考试数学文】 （本小题满分 13分）在如图所示的多面体 ABCDE中，AB平面 ACD，DE平面 ACD，且 AC=AD=CD=DE=2，AB=1（1）请在线段 CE上找到点 F的位置，使得恰有直线 BF平面 ACD，并证明这一事实；（2）求多面体 ABCDE的体积；（3）求直线 EC与平面 ABED所成角的正弦值【答案】如图， （1）由已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，AB/ED， 设 F为线段 CE的中点，H 是线段 CD的中点，连接 FH，则 ， ， 2分/2ED/FAB四边形 ABFH是平行四边形， ， H由 平面
16、ACD内， 平面 ACD， 平面 ACD；4 分BF/（2）取 AD中点 G，连接 CG 5分AB 平面 ACD, CG AB又 CG AD CG 平面 ABED, 即 CG为四棱锥的高， CG= 7分3 = 2 = . 8分CABEDV1()3(3)连接 EG，由（2）有 CG 平面 ABED， 即为直线 CE与平面 ABED所成的角，10 分G设为 ，则在 中，Rt有 13分36sin42CE20.【山东省师大附中 2013届高三第四次模拟测试 1月数学文】 （本小题满分 12分） 在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面 ，点 是 的中PABDACPABCDEP点.BA DCGFEHE
17、ABD PC（1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 ./PBEEACPB【答案】解：（1）连接 BD交 AC于 F，连接 EF，-2 分EABDPC在三角形 DPB中，EF 为中位线，EF/PB, -4分 F又 ， EAPB平 面CF平 面平面 ；-6 分 w/（2） 平面 ，PABDABCD平 面-8分 又 ，C-10分P 平 面EA平 面-12分BC平 面平 面21.【贵州省六校联盟 2013届高三第一次联考 文】 （本小题满分 12分）如图 ，如图，已知在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，5PABCDABPABCD、 分别是 、 的中点EFABD（）求证： 平面 ；/E（）若
18、与平面 所成角为 ，且 ，求点 到平面 的P60 4,2E距离【答案】解：【法一】 （I）证明：如图，取 的中点 ，连接 PCO,FE由已知得 且 ，/OFDC12又 是 的中点，则 且 ，EAB/AEF是平行四边形， 4 /F又 平面 ， 平面OPCPC平面 /AE 6（II）设 平面 的距离为 ，Dd【法一】：因 平面 ，故 为 与ABDA平面 所成角，所以 ，BCoP60所以 ， ，3260tanoPA4cso又因 ， 是 的中点所以 ，4E2AE，2D作 于 ，因 ，则PH,4DP，1,22H9则 ，1AESADE 72ESPDE因 PPVD CA BPEF图5A BCDPOEHFG所
19、以 72132PDEASd 12【法二】因 平面 ，故 为 与平面 所成角，所以 ，BCPDABCDoPA60所以 ， ，又因 ， 是 的中点所以3260tanoA460cos4AEB， ， DE22AEP22作 于 ，连结 ，因 ，则 为 的中点，故PHHDHDDAH所以 平面 ，所以平面 平面 ，作 于 ，则 平面PPGG，所以线段 的长为 平面 的距离.G又 ，14,22P22A所以 7143HA 1 A BCDPOEF22.【贵州省遵义四中 2013届高三第四月考文】 （满分 12分）如右图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA 1=AB，D 是 AC的中点。（）求证：B 1C/平面
20、 A1BD；（）求二面角 AA1BD的余弦值。【答案】解：(1)证明：连 交 于点 ，连 .1ABED则 是 的中点，E1 是 的中点，DCCD1/ 平面 ， 平面 ， 平面 .6分BA1BA1BDA1(2)法一：设 , , ,且 ，2a1Ea2作 ，连DF1E平面 平面 ， 平面 ，BA1ACFBDA1 就是二面角 的平面角，1在 中， ，D125Fa在 中，AE22465AEaa，即二面角5126cosaF的余弦值是 .12分DBA1解法二：如图，建立空间直角坐标系.则 ， ， ， .)0,(,30)a(,)A1(,02)a ， ，12AB，(,)D(,)D设平面 的法向量是 ，则1 zy
21、xm由 ，取032yBmzxA)1,02(设平面 的法向量是 ，则1,zyxn由 ，取0231zAnyxB)0,13(n记二面角 的大小是 ，则 ，D2315cos|mn即二面角 的余弦值是 .12分BA15123.【北京市西城区 2013届高三上学期期末考试数学文】 （本小题满分 14分）如图，直三棱柱 中， ， ， ， 分别1CBA21CMN为 ， 的中点AC1B（）求线段 的长； MN（）求证： / 平面 ； 1AB（）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？说明理1CQMNQ由【答案】 （）证明：连接 CN因为 是直三棱柱，1BA所以 平面 ， 1 分1所以 2分C因为 ， 所以 平面 3
22、分BAAC1B因为 ， ，1M215N所以 6MN4分（）证明：取 中点 ，连接 ， 5 分ABDM1B在 中，因为 为 中点，所以 ， CACCD/BM21在矩形 中，因为 为 中点，所以 ， 1N1N1C1所以 ， BD/所以 四边形 为平行四边形，所以 7 分 M1 1/DB因为 平面 ， 平面 ， 8 分 NA1DB1A所以 / 平面 9 分 1（）解：线段 上存在点 ，且 为 中点时，有 平面 11 分1CQ1CB1MNQ证明如下：连接 B在正方形 中易证 11N又 平面 ，所以 ，从而 平面 12 分1CAQCAN1BCA所以 13 分BQ同理可得 ，所以 平面 1MB1M故线段
23、上存在点 ，使得 平面 14 分CANQ24.【云南师大附中 2013届高三高考适应性月考卷（四）文】 （本小题满分 12分）如图 4，正三棱柱 中， 是 中点1ABEC（1）求证：平面 平面 ；1BEC1A（2）若 ， ，求点 到平面 的距离12A1BEC【答案】 （）证明： 是正三棱柱，1ABC 1,A平 面 BE ABC是正三角形， E是 AC中点， AC， ，1BE平 面又 ，平 面平面 （6 分）11CA平 面（）解：如图 3，作 交 延长线于 M，1MCE由（）可证得 AM ，B平 面 AM的长就是点 A到 的距离，1平 面由 ，可解得 AM= ，1RtCE tM 63点 A到 的距离为 （12 分）B平 面25.【山东省潍坊一中 2013届高三 12月月考测试数学文】 （本题 12分）如图，四棱锥的底面是边长为 1的正方形，侧棱 底面 ABCD.且 ，E 是侧棱 上PD- PA2PA=PA的动点。（1）求三棱锥 C-PBD的体积；（2）如果 E是 PA的中点，求证 PC/平面 BDE；（3）是否不论点 E在侧棱 PA的任何位置，都有 ？证明你的结论BDCE图 3【答案】
