1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第卷和第 II 卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。参考公式：如果事件 A 与 B 互斥，那么()()PP如果事件 A 与 B 相互独立，那么()()第卷（选择题 共 50 分）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1 ） 设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 =i_z|()0Ixf+2ziA（A） （B ）+1i（C ） （D）1i-【答案】A
2、【解析】设 2bia)ib(a2bi)-a(i+2zbi.-a=z.i,az 2则 i12 所以选 A （2 ） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 （A） （B ）16254（C ） （D）341【答案】D【解析】 ,所以.12,23620ss选 D （3 ）在下列命题中，不是公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是
3、公理；A 选项可以推导证明，故是定理。所以选 A （4 ） “是函数 在区间 内单调递增 ”的“0a()=-1fxa(0,+)（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 当 a=0 时， ，时 ，且上 单 调 递 增 ； 当，在 xaxfxaxfyxf )1()0)0()|)( .()0为a.( 上 单 调 递 增 的 充 分 条 件，在是上 单 调 递 增，在 fyy,)()上 单 调 递 增，在相 反 ， 当 xf .00a上 单 调 递 增 的 必 要 条 件，在是 y故前者是后者的充分必要条件。所以选 C （5 ）某班
4、级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】 对 A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以 A 选项错。对 B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以 B 选项错。对 C 选项，男生方差为
5、40，女生方差为 30。所以 C 选项正确。对 D 选项，男生平均成绩为 90，女生平均成绩为 91。所以 D 选项错。所以选 C（6 ）已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为()2x或 (0)xf（A） （B）|lg2x或 |-1lg（C ） （D）| |x【答案】D【解析】 由题知，一元二次不等式 2ln1-),21(-为0)( xex即所以选 D。（7 ）在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为=2cosp（A） （B）=0()cos=2R和 =()cos=22R和（C ） （D）12和 01和【答案】B【解析】在极坐标系中，圆心坐标 23. 或故 左 切 线 为， 半
6、径， r.cos2:.2cos2cos 和即 切 线 方 程 为右 切 线 满 足所以选 B（8 ）函数 的图像如图所示，在区间 上可找到=()yfx,ab()n个不同的数 使得 则 的取值范围是12,.,n12()()=,nfxfxf（A） （B ）3,4,34（C ） （D）52【答案】B【解析】由题知，过原点的直线 y = x 与曲线 相交的个数即 n 的取值.用尺规作图，交点()fx可取 2,3,4. 所以选 B（9 ）在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 则点集o,AB2,OAB所表示的区域的面积是,1,|POAR（A） （B）223（C ） （D）44【答案】D【解析】考
7、察三点共线向量知识: .1, 其 中是 线 外 一 点 则三 点 共 线若 PCBAPBA在本题中， .32cos4| O建立直角坐标系，设A(2,0), ).(10,).31( 含 边 界内在 三 角 形时 ，则 当 OA344的 面 积三 角 形的 面 积根 据 对 称 性 ， 所 求 区 域 BS所以选 D（10 ）若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于 的方程3()=+bfxc1x21()=fxx的不同实根个数是213()0f（A）3 （B）4（C ） 5 （D）6【答案】 A【解析】 使用代值法。设 .cxxfxxxf 623)(63)2(13)( ，令 9)(,0 1cf.1)1(2
8、)() 上 单 调 递 增 ， 极 小 值 为，上 单 调 递 减 ， 在，上 单 调 递 增 ， 在在 xf .3)()(0)( 21 个 根解 得 有 一 个 根 ， 共解 得 有 二 个 根 ，由 xfxfxf 所以选A2013 普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第卷（非选择题 共 100 分）考生注意事项：请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。二.填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。（11 ）若 的展开式中 的系数为 7，则实数 _ _。83ax4xa21【答案】 21【解析】 通项 21
9、7,3438)( 83838 aCrxaCxrrr所以 21（12 ）设 的内角 所对边的长分别为 。若 ，则 则ABC, ,abc2a3sin5i,AB角 _ _.3【答案】 2【解析】 3sin5i,AB 3212cos2,53 CabcCaba所以 2（13 ）已知直线 交抛物线 于 两点。若该抛物线上存在点 ，使得 为直ya2yx,ABAB角，则 的取值范围为_ _。),1【答案】 ),1【解析】 BCAxCmBA则根 据 题 意 不 妨 ),(),(),(222 0)()12(0,),( 4242 xmxxxmx.所以),101- 22 ）（ ),1a（14 ）如图，互不- 相同的点
10、 和 分别在角O的两条边上，所有12,nAX 12,nB 相互平行，且所有梯形 的面积均相等。设 若 则数列nABn .nAa12,的通项公式是_ _。a *,3Na【答案】 *,23n【解析】 .210101 )(aSABSOBAnn 的 面 积 为， 梯 形的 面 积 为设 4)(,3210aS .)(1322.)(31)()( 212120 nnn aa种 情 况 得由 上 面 3)(074)()( 21212124321 na nnn *,3,1 Nann 且（15 ）如图，正方体 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 上的动点，1ABCD1C过点 A,P,Q 的平面截该正方
11、体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是_ _（写出所有正确命题的编号） 。当 时，S 为四边形102CQ当 时，S 为等腰梯形当 时，S 与 的交点 R 满足341D13C当 时，S 为六边形CQ当 时，S 的面积为162【答案】 【解析】 .CQDTPAQTD22/1 且， 则相 交 于设 截 面 与对， ,则 所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.时当 20.CQ10对, ，截面S 为四边形 截面S 为等 =时当 重 合与 D.,11DAP所 以腰梯形. 所以为真.对, 所以为时当 43 .3.21,3,41 1RCT利 用 三 角 形 相 似 解 得真.对, .截面S与线段 相交，
12、所以四边形S为五边形.所2 D,时当 CQ11D,A以为假.对, .对角AGPC1111, 即 为 菱 形相 交 于 中 点与 线 段截 面重 合与时 ，当 线长度分别为 所以为真.2632的 面 积 为，和 S综上，选三.解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。（16 ） （本小题满分 12 分）已知函数 的最小正周期为 。()4cosin(0)4fxx（）求 的值；（）讨论 在区间 上的单调性。()f0,2【答案】 （） 1 （） .288,0)( 上 单 调 递 减，上 单 调 递 增 ； 在在 xfy【解析】 （）
13、 2)42sin()1cos(sin)cos(sinco2 xxx.所以1,2)42(f（） ；解 得， 令时 ，当 8,)42,0xxxx所以 .288)( 上 单 调 递 减，上 单 调 递 增 ； 在在fy（17 ） （本小题满分 12 分）设函数 ，其中 ，区间2()(1)fxax0a|()0Ixf（）求的长度（注：区间 的长度定义为 ） ；,（）给定常数 ，当时，求 长度的最小值。(0,)kl【答案】 （） .21a（） 2)(k【解析】 （） .所以区间长度为 .)1,0()1( 22axaxf 21a（） 由（）知， l2。恒 成 立令已 知 kkkak -10-1.1-0),1
14、( 2 22)()(lag 这 时时 取 最 大 值在所以 .2)1(1klk取 最 小 值时 ，当（18 ） （本小题满分 12 分） 设椭圆 的焦点在 轴上22:1xyEax（）若椭圆 的焦距为 1，求椭圆 的方程；E（）设 分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆 上的第一象限内的点，直线 交 轴12,FP2FPy与点 ，并且 ，证明：当 变化时，点 在某定直线上。Q1Pap【答案】 （） .3852x（） 01yx【解析】 （）.138585,2 22222 xacaca ， 椭 圆 方 程 为 ：（） .),(),),0(,),0(,( 2221 mcQFycxPFmQyxPF （则设由 .
15、102 a 0)(,/).,(),( 12211 ycxcycxPF 得 ：由 解 得联 立 222222 1.)( cayxcyxycx yxyxyxyxyx 1),0(),(.)(112222所以动点 P 过定直线 .0（19 ） （本小题满分 13 分）如图，圆锥顶点为 。底面圆心为 ，其母线与底面所成的角为 22.5。 和 是底面圆poABCD上的两条平行的弦，轴 与平面 所成的角为 60，OOPCD（）证明：平面 与平面 的交线平行于底面；PABCD（）求 。cosO【答案】 （） 见下.（） 21-7【解析】 （） mABPCDABPCDABmC 直 线面面且直 线面设 面 /,D
16、PAB .面直 线面 /所以, .(证毕)的 公 共 交 线 平 行 底 面与 面面（） .rPOOPFCDr 5.2tan.60, 由 题 知， 则的 中 点 为线 段设 底 面 半 径 为. t145tan,2cos5.2tan60t60tan, CDrPOF )23(),-(31-.t1cos2cos 2CD.(完 )7cos.-17O所 以（20 ） （本小题满分 13 分）设函数 ，证明：22()1(,)3nnnxxfxRN（）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；nN,1n(0nfx（）对任意 ，由（）中 构成的数列 满足 。px1np【答案】 （） 见下. （）见下.【解析】 （） 是
17、 x 的单调224322 1)(0 nxxfnxyx n 是 单 调 递 增 的时 ，当递增函数,也是 n 的单调递增函数. .0)(,0nnff且 1)(,10( 32nxxxx ， 且满 足存 在 唯 一xxxxxfx nnn 1414221)(,).10( 2243时当 ,30)(4)( nnnnnf综上，对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；(证毕)N2,13nxnfx（） 由题知 043)(,01 222 nxfx nnnpn 上)()1(432)( 22222 pxxxf pnppppnpn 式相减： 22122423222432 )()(pnxnxxxnxx pppnpnpnnn ）（
18、）（ 221224232 )()(- pnpnpnppnpn .(证毕)xpn1-1（21 ） （本小题满分 13 分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参加（ 和 都是固定的正整数） 。假knk设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 x（）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（）求使 取得最大值的整数 。()PXmm【答案】 （） .2(nk（） .)(-10取 最 大 值时时 ，当 f取 最 大 值时时当 )(2,2-1mPknk取 最 大 值时时 ， 当当 【解析】 （） .nkAPnkA -1)()(，师 的 通 知 信 息 ， 则表 示 ： 学 生 甲 收 到 李 老设 事 件.)(,BB师 的 通 知 信 息 ， 则表 示 ： 学 生 甲 收 到 张 老设 事 件.师 或 张 老 师 的 通 知 信 息表 示 ： 学 生 甲 收 到 李 老设 事 件 C则 .22)()1()P(A-1=P() nkk所以， .2)(k老 师 的 通 知 信 息 为学 生 甲 收 到 李 老 师 或 张（） （本问自己无法给出解答，抱歉，敬请参考网上答案）
