1、太阳影子定位摘要本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度 、纬度 、时刻 、直杆长度 、季节 （日期 )等，引入地理学参数：tlJN太阳赤纬 、时角 及太阳高度角 ，建立一个能够刻画影子长度变化和各个h0参数间关系的模型： ；其次以实例对模hlt00tan)cosinsinarco(315型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度 12时 15 分是最短，大约 3.674 米（表 3）。影子
2、长度的变化曲线（图 5），9 时至 12 时 15 分影子长度呈现下降趋势，12 时 15 分之 15 时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。针对问题二，关键词1、问题重述：如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米
3、高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
4、2、问题分析：针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度 、纬度 、时刻 、直杆长度 、季节 （日期 )等，引入地理学参数：tlJN太阳赤纬 、时角 及太阳高度角 ，建立一个能够刻画影子长度变化和各个h0参数间关系的模型；其次以实例对模型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而根据所建模型分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后做出影子长度的变化曲线；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。针对问题二，三、模型假设：1、求解此问题时忽略地球的自转2、不考虑太阳光线在穿过大气层时的折射、太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素。3、认为照射到地球上的太阳光可以看成是
5、平行光线，地球上某地的水平地面是地球球面上过该地的切面。四、符号说明：太阳赤纬：太阳时角：表示某地的地理纬度：表示某地的地理经度：太阳高度角h0五、问题一的模型建立与求解5.1 影响影子长度参数的确定1、太阳赤纬太阳赤纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角且以年为周期，在周年运动中任何时刻的赤纬值 都是严格已知的，可用下式计算： ）（ 13cos021.cos365.0 cos758.03sin172.0sin49.in67 式中 称为日角，即 ，这里 ,式中 为积日，2.5/tNt就是日期在年内的顺序号（例如 1 月 1 日其积日为 1，平年 1212 月 31 日的积日为 365
6、，闰年则为 366 等）。 )4/985-(-9824.067.90 ）年 份）（ 年 份 ITN（式中 表示取整数部分）IT故如果已知某日期的年、月、日，代入式（1），即可求得此日期的太阳赤纬值 。2、时角时角表示一天体是否通过了当地的子午圈，其数值表示该天体与当地子午圈的角距离，并借用时间的单位以小时来计量，其中当地时间 12 点时的时角为零，令上午的时角为正，下午为负。某地 的时角 计算式如下：t0 ）（）（ 22436010t故若给定某地时刻 的值，代入式（2），即可求出此时的时角值t0 3、太阳高度角 太阳高度角,是指太阳光线与地平面的夹角。应用球面三角形余弦公式，结合图形,可以推出
7、任意时刻太阳高度角Acbaosinscocs的计算公式为：h0 ）（ 3cos)sin( )sin()()s(90900 h进一步可以得到： ）（ 4cossinsin0 h式中， 表示当地的地理纬度, 表示太阳赤纬， 表示太阳时角、 表h0示太阳高度角。 、 的取值为北正南负。故若已知某地的地理纬度 、太阳赤纬 、太阳时角 ，代入式（4），即可求得太阳高度角。4、直杆的长度直杆的影子始终在物体背着光源的一面，光从物体顶端照射到地面形成影子，直杆的长度 直接影响着影子长度的变化。l05.2 模型一的建立首先分析影子长度变化直接受直杆长度 和太阳高度角 的影响，其l0h0关系式为： ）（ 5ta
8、n0hl其中 表示影子的长度。l然后以太阳高度角与太阳赤纬、时角、地理纬度的关系为基础，即式（4），引进参数当地的经度，构建影子长度变化模型如下：)6(tan)cosinsinarco(301500hlht 式中 、 、 、 、 分别代表当地的经度、纬度、太阳赤纬、太阳高t度角和时刻（北京时间）。编写程序计算时注意到，当时，反余弦函数值才存在，应采用判断，当其大于 时则1cosinsin0 t进行下一个 的计算。t5.3 模型一的检验以实际某地情况为例，已知当地的经度为，纬度为，5.4 影子长度关于各个参数的变化规律根据影子长度变化模型，以影子长度 为因变量，依次选择各个参数为自l变量，其余参
9、数看为固定值，进而描述出影子长度关于各个参数变化规律。1、影子长度关于直杆长度的变化规律以直杆长度 为自变量，以影子长度为因变量，太阳高度角 为固定值，l0 h0取直杆长度为 米，间隔为 0.5 米，根据公式（5），得到 与 之间的关5 l系，画出关系图像如图 1：由图 1 我们可以很直观的的看出，在其他参数不变时，直杆长度越长，影子长度越长，且两者的比值是不变的。2、影子长度的日变化规律以每日的时间 作为自变量，影子长度为因变量，其它参数为固定值，取为t2015 年 10 月 22 日北京时间 8:00-16:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26秒,东经 116 度 23 分
10、 29 秒）3 米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的日变化规律。由于地球是个固体球,且自西向东自转,因此太阳高度也呈现出与之对应的日变化规律:地球上观察太阳为东升西落,早晨太阳从东方地平线上升起,晨昏线图 1：影子长度与直杆长度的关系图 2：影子长度和日的关系上太阳高度为 ，随着太阳的逐渐升高,太阳高度是逐渐增大的，影子的长度0逐渐减小。当某地经线正对太阳光时,地方时为正午 12 点，即为北京时间 12时 15 分,此时太阳高度角达到一天中的最大，影子长度最小。之后太阳逐渐西落,太阳高度也慢慢变小，影子逐渐变长,到西方地平线落下时,没有影子。3、影子长度随纬度变化规律 以纬度 作为自变量
11、，影子长度为因变量。其它参数为固定值，由于正午太阳高度角最能反映太阳辐射的强弱变化,故取 2015 年 10 月 22 日北京时间 12时东经 116 度 23 分 29 秒 3 米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随纬度的变化规律。正午太阳高度由直射点向南北两侧递减，故影子长度由直射点向南北两侧递增。夏至: ，影子长度从北回归线向南北两侧递增;同样冬至:623，影子长度从南回归线向南北两侧递增;春秋分: ，影子长- 0度从赤道向南北两侧递增,且离直射点距离越近,与直射点纬度差越小,影子长度就越小。4、影子长度随季节的变化规律以季节作为自变量，影子长度为因变量。由于正午太阳高度角最能反映
12、太阳辐射的强弱变化,故取 2015 年北京时间 12 时天安门广场（北纬 39 度 54 分26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随季节的变化规律。图 3：影子长度和纬度的关系北回归线及以北地区,6 月 22 日正午太阳高度达一年中最大值，此时影子长度最小,12 月 22 日达一年中最大值;南回归线以南地区,12 月 22 日达一年中最小值,6 月 22 日达一年中最大值;南北回归线之间,一年中因有两次太阳直射机会,赤道至北回归线之间 12 月 22 日的正午影子长度达一年中最大值,而赤道至南回归线之间 6 月 22 日达一年中最大值。
13、5.5 问题一的求解求解步骤：1）将 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆符号化为 ，907.3， ；49.60l2）计算太阳赤纬：已知年份为 2015 年，积日为 295，代入公式得：942.7 )4/9851-(-1985.）年 份）（ 年 份 INTN067.15t3/82.-cos.cos30 cos758.03sin172.0in149.in. 得到太阳的赤纬角为 6.-3）计算太阳时角：图 4：影子长度和季节的关系需将当地时间转化为北京时间，对应北京时间
14、 ，将 代t，得到 2015 年 10 月 22 日北京时间天安门广场时角值（如30246t表 1），其中 。97.表 1：2015 年 10 月 22 日北京时间天安门广场时角统计表时刻 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:12 11:24时角/度 -48.61 -41.11 -33.61 -26.11 -18.61 -15.61 -12.61时刻 11:36 11:48 12:00 12:12 12:15 12:24 12:36时角/度 -9.61 -6.61 -3.61 -0.61 0.14 2.39 5.39时刻 12:48 13:00 13:30 14:00
15、 14:30 15:00时角/度 8.39 11.39 18.89 26.39 33.89 41.394）计算太阳高度角：将所得到的 、 、 分别代入公式（4），得到 2015 年 10 月 22 日北京时间天安门广场太阳高度角值（如表 2）表 2：2015 年 10 月 22 日北京时间天安门广场太阳高度角统计表时刻 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:12 11:24太阳高度角/度 22.16 26.53 30.43 33.75 36.37 37.20 37.89时刻 11:36 11:48 12:00 12:12 12:15 12:24 12:36太阳高度角/度
16、 38.45 38.86 39.12 39.22 39.23 39.18 38.98时刻 12:48 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00太阳高度角/度 38.63 38.14 36.29 33.63 33.89 26.375）求解影子长度变化：应用建立的模型hlht00tan)cosinsinarco(31将就得各个参数值代入模型，可以得到 2015 年 10 月 22 日北京时间9:00-15:00 天安门广场 3 米高直杆的影子长度（见表 3），通过 Matlab 软件画出直杆的太阳影子长度的变化曲线（如图 5）表 3：2015 年 10 月 22 日北京时间天安门
17、广场 3 米高直杆的影子长度统计表时刻 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:12 11:24影长/米 7.367 6.009 5.107 4.490 4.073 3.952 3.854时刻 11:36 11:48 12:00 12:12 12:15 12:24 12:36影长/米 3.778 3.724 3.689 3.675 3.674 3.854 3.778时刻 12:48 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00影长/米 3.754 3.821 4.086 4.509 5.135 6.050结合图 5 和表 3，可以看出 2015 年 10 月
18、 22 日北京时间 12 点 15 分天安门3 米高直杆的影子长度是最短的，大约 3.674 米。9 时至 12 时 15 分影子长度呈现下降趋势，12 时 15 分至 15 时影子长度呈现上升趋势。6、问题二的模型建立与求解6.1 直杆影长的计算已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标 ，根据勾股定理表yx,示出影长 ：l ）（ 72yxl6.3 问题二的求解：根据附件 1 中北京时间 14：42-15:42 之间影长的横、纵坐标，通过勾股定理导出： 计算出 21 个时刻对应的影长（见表 4）2yxl表 4：中北京时间当地该直杆影子长度统计表时刻 14:42 14:45 14:48 14
19、:51 14:54 14:57 15:00影长/米 1.150 1.182 1.215 1.249 1.283 1.318 1.353时刻 15:03 15:06 15:09 15:12 15:15 15:18 15:21影长/米 1.389 1.426 1.463 1.501 1.540 1.580 1.620时刻 15:24 15:27 15:30 15:33 15:36 15:39 15:42图 5：2015 年 10 月 22 日北京时间天安门 3 米高直杆的影子长度变化曲线影长/米 1.661 1.703 1.746 1.790 1.835 1.881 1.9286.2 经度确定模型
20、6.2.1 确定地区经度与时差的关系地球从 经线划分，向东为： ,向西为： ，地球一o0Eo180Wo180周就是： 。地球自转一周的时间为 ，所以可得地球每小时转过的角度36h24为： 。oo15246.2.2 建立二次拟合模型根据附件一算出的影长，画出时刻-影长的变化曲线，如图 6：以影长为因变量，时刻为自变量，用 函数进行二次拟合，得到的二poltfi次函数为：。1275.4759.3148.02ttl式中 为影长， 为时刻，去自变量 画图，得到影长与时刻的二lt 6,次拟合曲线，图 6：附件一所求影长与时刻关系图6.2.3 确定当地经度因为二次拟合的曲线为抛物线，根据抛物线函数的对称轴
21、公式： 1579.3,48.0,2babt其 中求解得到 ，可以判定该地在北京的西边，因为北36:1,5984.12即 北 京 时 间 ：t京所在经度为 ，所以确定该地所在经度为o0。Eoo22.-.-120， 即）（ 6.3 纬度确定模型6.3.1 影长比例不变原理图 7：影长与时刻的二次拟合曲线 B1A1图 8：同一地区不同杆在不同时间下的影子示意图意图P Q A M N BB 杆A 杆表示 1 时刻的太阳光线表示 2 时刻的太阳光线因为太阳光是平行的，所以 ,又NBQAMBPA1111,因为 均为直角三角形，所以NBMQAP11,，得到 ，同理得到 ，进而得到tantanA， tanAt
22、anB。NBQ6.3.2 遍历模型根据附件中的得到的 21 个影长 ，用后一时刻的影长比上前21,，il一时刻的影长 得到 20 个比值 。20,1,ili 02,0b附件 1 中各相邻时刻影长比例统计表标号 1 2 3 4 5 6 7比值 1.02833 1.02800 1.02777 1.02734 1.02712 1.02684 1.02662标号 8 9 10 11 12 13 14比值 1.02646 1.02612 1.02602 1.02581 1.02572 1.02550 1.02538标号 15 16 17 18 19 20比值 1.02529 1.02520 1.0251
23、1 1.02512 1.02499 1.02501对于问题二给定杆长 为定值，在任意给定一个纬度值 ，根据公式0l （6）求得 21 个影长 ，并求得 20 个影长比值 。21,i 12012,bzzb根据之前的比例不变原理，如果 ，认为两个杆处在同一20,0ibzi位置，但由于附件一的影子顶点坐标的测量出来的，所以影长比值不可能完全相等，可能会存在一定误差，所以做修正 ,定义如下：S20121)(iiibz对所有纬度进行求解，每一个纬度值都对应一个 ,求所有 中的最小值，S得到纬度值，即该地所处纬度。求解结果， 的最小值为： ，所处纬度为：S6-025.7。oo3015.3， 即N6.3 其
24、余可能点的确定已知 2015 年春分日是 3 月 21 日，此时太阳直射赤道，即 纬线，夏至日o0是 6 月 22 日，太阳直射北回归线，即 ，这两个节气的天数差为 93 天，No4.23大致算出每天太阳直射纬度的变化为： 。附件一中所给时间o2516.09为 2015 年 4 月 18 日，与春分日日差 28 天，估计此时太阳直射，令之前求出的纬度线 以 纬度线为对No08.72516.8 o.3No48.7称轴，求出对称的纬度线为： 。如果时刻定在 2015 年No2505896.0， 即4 月 18 日的 15 时，根据之前的地区经度与时差的关系，可以得到此时刻太阳直射的经度线为： ,令
25、之前求出的某地的经度线Eo712-1）（以经度线 为对称轴，求出对称的纬度线为：Eo02.1o75。63436， 即根据附件一的数据可得：情况一：以 2015 年 4 月 18 日 14:42-15:42 这个时段为基准，直杆可能在的位置有两个：（ ）和（ ）。NEoo301,2 NEoo2350,61情况二：以 2015 年 4 月 18 日 15:00 这个时刻为基准，直杆可能在的位置有四个，分别是：（ ）、（ ）、（oo,6oo,）和（ ）。NEoo301,263E 2350,13以上我们得到了考虑大气折射率影响的太阳高度角，从一定程度上减小了误差，使得结果更具合理性。参考文献：1但尚铭，太阳高度角计算程序介绍，环境科学，10 卷 4 期：76-78,1988 年2赖月喜，太阳高度变化的一般规律及图示分析，中学政史地(高三)，04 期，48-52,2007 年3百度百科，太阳高度角，http:/
