1、1课时作业 39 基本不等式一、选择题1已知 a， bR 且 a b， x ， y ，则 x， y 的大小关系是( )a b2 a bA xyC x y D视 a， b 的值而定解析：由不等式 2，可得 ，又因为 1 时，不等式 f(x) a 恒成立，则实数 a 的取值范围1x 1是( )A(，3 B3，)C. D.72， ) ( ， 72解析：当 x1 时， x10，则 f(x) x x1 12 13，当且仅当 x1 ，即 x21x 1 1x 1 x 1 1x 1 1x 1时等号成立，函数 f(x)有最小值 3.由不等式 f(x) a 恒成立，得实数 a 的取值范围是(，3答案：A3点( a
2、， b)在直线 x2 y3 上移动，则 2a4 b的最小值是( )A8 B6C4 D32 2解析：由题可得 a2 b3，因为 2a4 b2 a2 2b2 2 4 ，当且仅当2a 2b 23 2a2 b，即 a ， b 时等号成立32 34答案：C4已知 x0， y0， x2 y2 xy8，则 x2 y 的最小值是( )A3 B42C. D.92 112解析：2 xy x2y 2，8 x2 y2 xy( x2 y) 2，令(x 2y2 ) (x 2y2 )x2 y t，则 t24 t320，解得 t4 或 t8(舍去)， x2 y 的最小值为 4.答案：B5已知关于 x 的不等式 x24 ax3
3、 a20)的解集为( x1， x2)，则 x1 x2 的最ax1x2小值是( )A. B.63 233C. D.236 433解析：关于 x 的不等式 x24 ax3 a20)的解集为( x1， x2)， 16 a212 a24 a2，又a0， 0， x1 x24 a， x1x23 a2， x1 x2 4 a 4 a 2 ax1x2 a3a2 13a 4a13a，当且仅当 a 时取等号故 x1 x2 的最小值是 .433 36 ax1x2 433答案：D6若正数 a， b 满足 1，则 的最小值为( )1a 1b 1a 1 9b 1A1 B6C9 D16解析：正数 a， b 满足 1， b 0
4、，解得 a1，同理 b1，1a 1b aa 1 9( a1)2 6，当且仅当1a 1 9b 1 1a 1 9aa 1 1 1a 1 1a 19 a 19( a1)，即 a 时等号成立，最小值为 6.1a 1 43答案：B二、填空题7 y (6 a3)的最大值为_ 3 a a 6解析：由6 a3，得 3 a0， a60.由基本不等式，得 ，当且仅当 3 a a6，即 a 时， 3 a a 6 3 a a 62 92 323等号成立，故 y 的最大值为 .92答案：928已知直线 ax by1 经过点(1,2)，则 2a4 b的取值范围是_解析：由直线 ax by1 经过点(1,2)，得 a2 b
5、1，则 2a4 b2 22a4b2 ，当且仅当 2a4 b，即 a ， b 时，等号成立，2a 2b 212 14所以 2a4 b的取值范围是2 ，)2答案：2 ，)29(2017湖北襄阳一调)已知 x1， y0 且满足 x2 y1，则 的最小值为1x 1 2y_解析： x1， y0 且满足 x2 y1， x10，且( x1)2 y2， (x1)2 y1x 1 2y 12 ( 1x 1 2y) 52 122yx 1 2 x 1y 2 ，52 12 2yx 12 x 1y 92当且仅当Error!即Error! 时取等号，故 的最小值为 ，所以答案应填 .1x 1 2y 92 92答案：92三、
6、解答题10已知 x0， y0，且 2x8 y xy0，求(1)xy 的最小值；(2)x y 的最小值解：(1)由 2x8 y xy0，得 1，又 x0， y0，则 1 2 ，8x 2y 8x 2y 8x2y 8xy得 xy64，当且仅当 x16， y4 时，等号成立所以 xy 的最小值为 64.(2)由 2x8 y xy0，得 1，8x 2y4则 x y (x y)10 102 18.(8x 2y) 2xy 8yx 2xy8yx当且仅当 x12 且 y6 时等号成立， x y 的最小值为 18.11已知 a0， b0， .1a 1b ab(1)求 a3 b3的最小值；(2)是否存在 a， b，
7、使得 2a3 b6？并说明理由解：(1) a0， b0， 2 ，即 2 ，1a 1b 1ab ab 1ab由此得 ab2，当且仅当 a b 时取等号，又 a3 b32 2 4 ，2 a3b3 23 2当且仅当 a b 时取等号，2 a3 b3的最小值是 4 .2(2)由(1)得 ab2( a b 时取等号)，22 a3 b2 2 ，2a3b 6ab当且仅当 2a3 b 时等号成立，故 2a3 b2 4 6，6ab 3故不存在 a， b，使得 2a3 b6 成立1设正实数 x， y， z 满足 x23 xy4 y2 z0，则当 取得最大值时， 的最xyz 2x 1y 2z大值是( )A0 B1C
8、. D394解析： xyz xyx2 3xy 4y2 1xy 4yx 3 1，当且仅当 x2 y 时等号成立，此时14 3z2 y2， 211，当且仅当 y1 时等号成立，故所求的最大2x 1y 2z 1y2 2y (1y 1)值为 1.答案：B52(2017银川模拟)若直线 2ax by20( a0， b0)平分圆x2 y22 x4 y60，则 的最小值是( )2a 1bA2 B. 12 2C32 D322 2解析：圆心为(1,2)在直线 2ax by20 上， a b1， 2a 1b (2a 1b)(a b)3 32 .当且仅当 ，即 a2 ， b 1 时等号成2ba ab 2 2ba a
9、b 2 2立答案：C3若实数 a， b 满足 ab4 a b10( a1)，则( a1)( b2)的最小值为_解析：因为 ab4 a b10，所以 b .又 a1，所以 b0，所以( a1)( b2)4a 1a 1 ab2 a b26 a2 b16 a8 16( a1) 15.因为 a10，所以6a 1 6a 16(a1) 152 1527，当且仅当 6(a1) (a1)，即6a 1 6 a 1 6a 1 6a 1a2 时等号成立，故( a1)( b2)的最小值为 27.答案：274某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两
10、端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为 x2 x 万元设余下工程的总费用为 y 万元(1)试将 y 表示成 x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？解：(1)设需要修建 k 个增压站，则( k1) x240，即 k 1.所以240xy400 k( k1)( x2 x)400 (x2 x) 240 x160.(240x 1) 240x 96 000x因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，则 0x240.故 y 与 x 的函数关系是y 240 x160(0 x240)96 000x(2)y 240 x16096 000x2 16024 80016096 000x 240x69 440，当且仅当 240 x，即 x20 时等号成立此时 k 1 111.96 000x 240x 24020故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小，其最小值为 9 440 万元
