1、第四章 整数规划,了解整数规划在经济和管理中的基本应用方法。,教学要求：,掌握线性整数规划的建模方法，特别是0-1变量的运用；,本章内容,基本概念,一般的整数规划,隐性0-1变量的整数规划,显性0-1变量的整数规划,基本概念,整数规划（Integer programming, IP）定义：要求全部或部分决策变量为（非负）整数的规划。分类：可分为一般整数规划和0-1整数规划（0-1规划） 或者可分为纯整数规划和混合整数规划与一般规划的区别：可行解不再是连续的，而是离散的。,补充：0-1整数规划,相关概念 （1）变量只能取0或1，则称为0-1变量； 0-1变量作为逻辑变量，常被用来表示系统是否处于
2、某个特定状态，或者决策时是否取某个特定方案。例如 当问题含有多项要素，而每项要素皆有两种选择时，可用一组0-1变量来描述，一般地，设问题有有限项要素 ，其中每项 有两种选择 和 ，则可令,显性0-1变量的整数规划,例2 分公司选址。某销售公司打算在武汉或长春设立分公司（也可以在两个城市都设立分公司）以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送中心（也可以不建立配送中心），但配送中心的地点限制在新设立分公司的城市。经过计算，每种选择使公司获得的利润和所需资金如下表所示。总预算不得超过1000万元。目标是在满足以上约束的条件下使总利润最大。,问题分析,决策变量：“是非决策”的显性0-1变量,目标
3、函数：总利润最大,问题分析,约束条件,1. 总预算约束（不超过1000万元）,2. 公司最多只建一个新配送中心,3. 公司只在新设立分公司的城市建配送中心,4. 0-1变量,因此，最终的0-1整数规划模型为,小结,两个0-1变量x1和x2分别表示两个决策的指令状态，则 x1+x2=0，表示两者皆非； x1+x2=1，表示两者中有且仅有一个许可 x1+x2=2，表示两者必须同时许可 x1+x21，表示两者至多一个许可，但不排除两者皆非的情况 x1+x21，表示两者至少一个许可，但不排除两者皆可的情况 x1+x2 2，表示两者可以以上述任何情况出现，实际上是同时放弃了对这两个逻辑变量的约束,隐性0
4、-1变量的整数规划,固定成本问题产品互斥问题最少产量问题两个约束中选一个约束的问题N个约束中选K个约束的问题,固定成本问题,基本概念在一般情况下，产品的成本由固定成本和可变成本两部分组成。固定成本：指在固定投入要素上的支出，它不受产量的影响，例如厂房和设备的租金、贷款利息、管理费用等；可变成本：指在可变投入要素上的支出，它是随着产量的变化而变化的成本，例如原材料费用、生产工人的工资、销售佣金等。,可变成本和产量成正比，所以某一产品的总成本可表示为,固定成本问题,其中， 是第 种产品的产量 ， 是固定成本， 是单位成本。那么，对于有 种产品生产问题的一般模型可以表示如下：,将该问题转化为有0-1
5、变量的混合整数规划问题。那么，每个问题就有一个隐性0-1变量，用 表示,固定成本问题,目标函数变为：,找一个相对极大值M，大于任何一个可能的 ，于是，约束为：,这保证了当 时，,最终的模型为,例3-将例1.1进行变形后,某工厂要生产两种新产品：门和窗。经测算，每生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车间3加工3小时；每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。而车间1、车间2、车间3每周可用于生产这两种新产品的时间分别是4小时、12小时、18小时。此外，生产新产品（门和窗）各需要一笔启动资金，分别为700元和1300元。已知每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为500元。根据经市场调查得到的这
6、两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有新产品均能销售出去。问该工厂应如何安排这两种新产品的生产计划，才能使总利润最大？,问题分析,1 决策变量 由于涉及启动资金（固定成本），本问题的决策变量由两类： 第一类是所需生产的门和窗的数量：设x1, x2 第二类是决定是否生产门和窗，这种逻辑关系可用隐性0-1变量来表示：设y1, y2 (1表示生产，0表示不生产),2 目标函数 总利润最大：max z=300x1 + 500x2 -700y1 - 1300y2,问题分析,3 约束条件原有的三个车间每周可用工时限制 x1 4 2x2 12 3x1 + 2x2 18变化一，新产品需要启动
7、资金，即产量xi与是否生产yi之间的关系 xi Myi (i=1, 2)产量xi非负，是否生产yi为0-1变量 xi 0 (i=1, 2) yi = 0, 1 (i=1, 2),最终的模型为,运用Excel求解,产品互斥问题,在实际生产过程中，为了防止产品的过度多元化，有时需要限制产品生产的种类，这种就是产品互斥问题,处理产品互斥问题时，采用处理固定成本问题的方法，引入隐性0-1变量；第 i 种产品是否生产 yi（1表示生产，0表示不生产）,因此，在n种产品中，最多只能生产k种的约束为：,以及产量 xi 与是否生产 yi 之间的关系,包含互斥产品的例1.1。假设将例1.1的问题作如下的变形：两
8、种新产品门和窗具有相同的用户，是互相竞争的。因此，管理层决定不同时生产两种产品，而是只能选择其中的一种进行生产。,问题分析,问题分析,决策变量,1. 设 、 分别表示门和窗的每周产量,目标函数,两种新产品的总利润最大，即,2. 设 、 分别表示是否生产门和窗（1表示生产，0表示不生产）,问题分析,约束条件,1. 原有的三个车间每周可用工时限制,2. 只能生产一种产品（产品互斥）,以及产量 与是否生产 之间的关系：,3. 产量 非负，是否生产 为0-1变量,混合0-1规划模型,规划求解,Excel规划求解,3 最少产量问题,在实际生产生活中，经常会碰到最少产量、最少订购量问题,处理最少产量问题时
9、，采用处理固定成本问题的方法，引入隐性0-1变量；第 i 种产品是否生产 yi（1表示生产，0表示不生产）,因此，对于第i种产品，如果生产，最少生产Si的约束为：,以及产量 xi 与是否生产 yi 之间的关系,某公司需要购买5000个灯泡。公司已经收到三个供应商的投标，供应商1提供的灯泡，每个3元，一次最少订购2000个，最多3000个；供应商2提供的灯泡，每个5元，一次最少要订购1000个，多购不限；供应商3可供应3000个以内任意数量的灯泡，每个1元，另加固定费用5000元。公司决定从一家或两家购买。该公司正在考虑采取什么样的订购方案，可以使其所花的费用最少。,问题分析,决策变量,1. 设
10、 、 、 分别表示从供应商1、2、3购买灯泡的数量,目标函数,公司所花的总费用最少，即,2. 设 、 、 分别表示是否从供应商1、2、3购买灯泡（1表示生产，0表示不生产）,问题分析约束条件,1. 需要购买5000个灯泡：,2. 供应商1，一次最少订购2000个，最多订购3000个,3. 供应商2，一次最少订购1000个，多购不限,4. 供应商3可供应3000个以内任意数量的灯泡，另加固定费用5000元,问题分析约束条件,5. 公司决定从一家或两家购买：,6. 购买灯泡数 非负，是否 购买为0-1变量,混合0-1规划模型：,Excel规划求解,两个约束中选一个约束的问题,管理决策时，经常会遇到
11、在两个约束中选一个的问题。,例如：某个投资方案有两个约束，但只要其中有一个成立就可以了，另外一个约束则不作要求,可以把这种问题转化为有0-1变量的混合整数规划问题。这样，需要引入一个0-1变量，来决定满足两个约束条件中的哪一个，这样的问题也是一个隐性0-1变量问题，用 y 表示：,也就是说，隐性0-1变量y取值为0时，受约束条件1的限制；y取值为1时，受约束条件2的限制,加入二选一约束的例1.1,假设将例1.1的问题作如下变形：公司最近建了一个与车间3类似的新车间（车间4），因此，新车间也可以参与两种新产品的生产。但是，由于管理上的原因，管理层决定只允许车间3和车间4中的一个车间参与新产品的生
12、产，同时要选取能获得产品组合利润最大的那一个车间。相关数据如下表。,问题分析,决策变量,1.设 、 分别表示门和窗的每周产量,目标函数,两种新产品的总利润最大，即,2. 隐性0-1变量：设 表示选择车间3， 表示选择车间4,问题分析约束条件,1. 车间1和车间2的约束：,2. 选择车间3还是车间4：,为了强化这一定义，引入一个相对极大值M，然后模型中作如下变动,3. 产量xi非负，选择变量y为0-1变量，即,混合0-1规划模型,Excel规划求解,有时会遇到在一个规划问题中，有N个约束条件的情况，但只要求其中的K个约束条件成立，另外的N-K个约束条件则可以不要求成立（KN）。,N个约束中选K个
13、约束的问题,特殊情况：当K=1，N=2时，这个问题便等价于前面所述的两个约束中选一个约束的问题。,假设N个可能的约束是：,N个约束中选K个约束的问题,然后，采用同样的方法，引入一个相对极大值M，要使得这N个约束中只有K个成立，同样还需要引入N个0-1变量yi，定义如下（0表示成立）：,将N个可能的约束重新描述为：,因为第 i 个约束的 yi=1 时，会使极大值M存在于约束中（相当于资源很多），使得无论变量取任何可能值，都会使不等式成立。也就是说相当于这个约束不成立（不起作用），又由于总共有N-K个不要求成立的约束，所以有：,N个约束中选K个约束的问题,整数规划的应用举例,例 某公司的新产品选择问题。某公司研发部最近开发出三种新产品。但为了防止生产线的过度多元化，公司管理层增加了如下约束：约束1：在三种新产品中，最多只能选择两种进行生产。这些产品都可以在两个工厂中生产，但为了管理方便，管理层加入了第二个约束：约束2：两个工厂中必须选出一个专门生产新产品。两个工厂中各种产品的单位生产成本是相同的，但由于生产设备不同，单位产品所需要的生产时间也就不同。下表给出了这方面的相关数据，包括生产出来的产品每周估计的可销售量。管理层制定的目标是通过选择产品、工厂以及确定各种产品的每周产量，使得总利润最大化。,
