1、1高三文科数学专题复习: 立体几何平行、垂直问题【基础知识点】一、平行问题1 直线与平面平行的判定与性质定义 判定定理 性质 性质定理图形条件 a结论 a b a ab2. 面面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 ，a结论 ab a平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面 内的 都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直2直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言 图形语言 符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面23直线与平面垂直的性
2、质定理文字语言 图形语言 符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线和平面垂直的常用性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一条直线的两平面平行二、平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2平面与平面垂直的性质定理文字语言 图形语言 符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【典例探究】类型一、平行与垂直例 1、如图，已知三棱锥 ABPC中， ,ACBM为 A中点， D为 PB中点，且PMB为正三角形。 （）求证： DM平面 ；（）
3、求证：平面 平面 ；（）若 C4， 20，求三棱锥 的体积。MDAPBC3FDEC1 B1A1C BA例 2. 如图，已知三棱柱 中， 底面 ，1ABC1ABC， ， ， ， 分别是棱 ， 中点.2ACB14A2BMN1（）求证： 平面 ；N1（）求证： 平面 ；/（）求三棱锥 的体积1BA【变式 1】. 如图，三棱柱 中，侧棱 平面 ， 为等腰直角三角形，1CBA1AB，且 ， 分别是 的中点。90BAC1FED, ,（1）求证： 平面 ；/DE（2）求证： 平面 ；F1（3）设 ，求三棱锥 的体积。aA BCA1 B1C1MN4二、线面平行与垂直的性质例3、如图4，在四棱锥 PABCD中，
4、平面 PA平面 BCD， A ， PAD 是等边三角形，已知 24BD， 25（1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积例 4、如图，四棱锥 PABCD 中， 平面 ABCD，底面 为正方形，BC=PD=2，E 为 PC 的DABCD中点， （I）求证： ； （II）求三棱锥 CDEG 的体积； .31CBGPCB（III ） AD 边上是否存在一点 M，使得 平面 MEG。若存在，求 AM 的长；否则，说明理由。/A【变式 2】直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.()求证：AC 平面 BB1C1C；() A 1B1 上是否
5、存一点 P， 使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行？5证明你的结论.三、三视图与折叠问题例 5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。若 为 的中点，求证： 面 ；FPDAFPCD（1） 证明： 面 ；BE（2） 求三棱锥 的体积。例 6.已知四边形 是等腰梯形， （如图 1） 。现将ABCDABDEBDCA,45,1,3ABE P DC4422444正视图 侧视图俯视图6沿 折起，使得 （如图 2） ，连结 。ADEEBAABC,（I）求证：平面 平面 ；CD（II）试在棱 上确定一点 ，使截面 把几何体分成两部分的体积比 ；BM1:2:MECBADV（III）在
6、点 满足（II）的情况下，判断直线 是否平行于平面 ，并说明理由。E【变式 3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E 为 PD 中点.科网（I）求证：PB/平面 AEC；（II）求四棱锥 CPAB的体积；（）若 F 为侧棱 PA 上一点，且 F，则 为何值时，PA平面 BDF.【变式 4】如图 1 所示，正 ABC的边长为 2a，CD 是 AB 边上的高，ECADBPDCBCBA图 1图 27E，F 分别是 AC，BC 的中点。现将 ABC沿 CD 翻折，使翻折后平面 ACD 平面 BCD（如图 2）（1）试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥 C-
7、DEF 的体积。四、立体几何中的最值问题例 7.图 4，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于 A，B 的任意一点，A1A= AB=2.(1)求证: BC 平面 A1AC；(2)求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值.例 8. 如图，在 交 AC 于 点 D,现=2,2ABCABCPAB中 ， ， 为 边 上 一 动 点 ， D/图图2图图图1图FEFEABCABD CD图4A BCA18将 ,PDA.PDABC沿 翻 折 至 使 平 面 平 面（1）当棱锥 的体积最大时，求 PA 的长；BC（2）若点 P 为 AB 的中点，E 为 .DE的 中 点 ， 求
8、证 ：【变式 5】如图 3，已知在 中， ， 平面 ABC， 于 E， 于 F，ABC90PAPBAC， ，当 变化时，求三棱锥 体积的最大值。APB2EFEF高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案）9【典例探究】例 1 解：（） MAB为 中 点 ,D为 P中 点 , D P，又 C平 面 C平 面（） B为正三角形,且 为 PB中点，MP又由（1）知 ,DA 又已知 C PBC平 面 ， APB，又 平 面 ,平面 A平面 P, （） 20， 10MB, 又 4BC， 6842P 112DBCS20153A又 253073DBCMBDBCVSM例 2.（）证明：因为三棱柱 中，
9、 底面1A1ABC又因为 平面 ， 所以 . 1 分CNBCN因为 ， 是 中点，2A所以 . 2 分因为 ， 3 分1I所以 平面 4 分CN1BA（）证明：取 的中点 ，连结 ， ，GMNG因为 ， 分别是棱 ， 中点，1 A BCA1 B1C1MNGMDAPBC10所以 ， . 1/NGB12B又因为 ， ，CM所以 ， ./NG所以四边形 是平行四边形. 6 分所以 . 7 分N因为 平面 ， 平面 ， 8 分1AB1AMB所以 平面 9 分/CM（）由（）知 平面 . 10 分G1N所以 . 13 分11MN2433BAABV变式 1.（1）根据中点寻找平行线即可；（2）易证 ，在根
10、据勾股定理的逆定理证1AFB明 ；（3 ）由于点 是线段 的中点，故点 到平面 的距离是点 到平面BFED1BDE1B距离的 ，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。A【解析】 （1）取 中点 ，连接OC,平行四边形 ，,/,2,/1EADOOC平面 ， 平面 ， 平面ECBAB/D。 （4 分）AB（2）等腰直角三角形 中 为斜边的中点，FF又 直三棱柱 ， 面 面 ，1C1面 ，F1A设 EFBEBE 121211 ,3,2,6,又 面 。 （8 分）EAFB1（3）由于点 是线段 的中点，故点 到平面 的距离是点 到平面 距离的 。DDAF1A12，所以三棱锥 的高为 ；在 中，221 6
11、BFaa E64aRtEF，所以三棱锥 的底面面积为 ，故三棱锥 的体3,EAAF28DA积为 。 （12 分）2361846aa11OPDCBA二、线面平行与垂直的性质例3.（1）证明：在 ABD 中，由于 2， 4BD， 25A， 22. 2分 又平面 P平面 C，平面 PA平面 C， B平面 ACD， B平面 A. 4分（2）解：过 作 OD交 于 .又平面 平面 B， O平面 D 6分 是边长为2的等边三角形， 3.由（1）知， ，在 RtA 中，斜边 AB边上的高为45hB. 8分 DC ，122ACDS. 10分333APCDAACDVPO. 14分例 4、 （I）证明： 平面 A
12、BCD， BCP又ABCD 是正方形，BCCD，PDICE=D， BC平面 PCD又PC 面 PBC，PCBC （II）解：BC 平面 PCD，GC 是三棱锥 GDEC 的高。E 是 PC 的中点， 1)2(121PDCECEDCSS933DECGCV（III ）连结 AC，取 A C 中点 O，连结 EO、GO，延长 GO 交 AD 于点 M，则 PA/平面 MEG。下面证明之E 为 PC 的中点，O 是 AC 的中点，EO/平面 PA，又 ，PA/平面 MEGMEGPAE平 面平 面 ,在正方形 ABCD 中，O 是 AC 中点， OCAM12所求 AM 的长为,32CGAM.32变式 2
13、.证明：() 直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，BB 1平面 ABCD，BB 1AC.又BAD=ADC =90，AB=2AD=2 CD=2，AC= ，CAB=45，BC= ，BCAC.22又 BB1BC=B，BB 1，BC 平面 BB1C1C，AC平面BB1C1C.()存在点 P，P 为 A1B1 的中点。证明：由 P 为 A1B1 的中点，有 PB1AB，且 PB1= AB. 2又DCAB ，DC= AB，DCPB 1，且 DC=PB1，2DCB 1P 为平行四边形，从而 CB1DP.又 CB1 ACB1,DP 面 ACB1，DP面 ACB1.同理，DP 面 BCB1.例 5、（1）由
14、几何体的三视图可知，底面 是边长为 4 的正方形， 面 ，ABCDPABCD ，PAEB24.为 中点，,DFP.F又 面 。,CA,CPC（2）取 的中点 ， 与 的交点为 ， ，MBDN1,2MANP ，故 为平行四边形，,NEBEABE P DC 44 2244 4正视图 侧视图俯视图13 ， 面 。EMBNDPEC（3） 116()323PCBVAB例 6.答案略变式 3.解：（）由三视图得，四棱锥底面 ABCD 为菱形,棱锥的高为 3,设 ACBDO,则 P即是棱锥的高,底面边长是 2，连接 E， 分别是 DP的中点， ，,OEACB面 面 PB AC面 （2） 11(23)23VV
15、三 棱 锥 -P三 棱 锥 -AC四 棱 锥 -D（3）过 作 ,2FPOAPAF在 Rt中 -10 分:,PAOBDCABDC时 即 =3时 面-12 分FPFPF由 且 面-14 分变式 4.解：（1）判断：AB/平面 DEF2 分证明：因在 ABC中，E，F 分别是AC，BC 的中点，有EF/AB5 分又因AB 平面 DEF，EF 平面 DEF6分所以AB/平面DEF7 分图图2图图图1图FEFEABCABD CDM14（2）过点 E 作 EM DC 于点 M，面 ACD 面 BCD，面 ACD面 BCDCD，而 EM 面 ACD故 EM 平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E-CDF
16、的高9 分又 CDF 的面积为22113()244CDFBCSDaaEM 12Aa11 分故三棱锥 C-DEF 的体积为 2313.14344CDEFCCDFVSEMa分四、立体几何中的最值问题例 7.证明:C 是底面圆周上异于 A，B 的任意一点，AB 是圆柱底面圆的直径，BCAC, 2 分AA 1平面 ABC，BC 平面 ABC，AA 1BC， 4 分AA 1AC=A，AA 1 平面 AA1 C，AC 平面 AA1 C，BC平面 AA1C. 6 分(2)解法 1：设 AC=x，在 RtABC 中，(0x2) , 7 分22BC=A4x故 (0x2),1 2-BC11VSABCx43339
17、分即 . 11 分1222A-BC11=x4x(4)(x)43330x2 ，0x 24，当 x2=2，即 时，=三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值为 . 14 分解法 2: 在 RtABC 中，AC 2+BC2=AB2=4， 7 分9 分1-BC11V=SACB33A 图4A BCA115. 11 分221ACB133当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时 AC=BC= .2例 8.解：（1）设 ，则xPA )2(3131xSPAVDCBBCDA 底-令 )0(,62)(3) xxf则 )(2fx)3,0(32),32()(f 0x单调递增 极大值 单调递减由上表易知：当 时，有 取最大值。32xPAPBCDAV-证明：（2）作 得中点 F，连接 EF、FPB由已知得： FEE/21为等腰直角三角形，PAPBA所以 .D变式 6. 解：因为 平面 ABC平面 ABC，BC所以又因为 ，APCA,所以 平面 PAC，又 平面 PAC，F所以 ，BC又 ，AP,所以 平面 PBC，即 。AFEEF 是 AE 在平面 PBC 上的射影，因为 ，EB16所以 ，EFPB即 平面 AEF。在三棱锥 中，A，2,所以 ，PEAFVSPEAEF22132sin,cossics，6sin因为 ，02所以 1， sin因此，当 时， 取得最大值为 。4VPAEF26
