1、毕业论文 (设计 )题 目: 热传导方程初边值问题的差分解法 院 (系 ): 数学与计算机科学学院 _ 专业年级: 2008 级数学与应用数学系 姓 名: XXX _ _ 学 号: 200808101134 _ _ 指导教师: XXX_ _ 2012年 5月摘 要文章目的是为了探讨热传导方程初边值问题的差分解法。本文包括以下两部分主要内容：第一部分即是对比传统热传导方程初边值问题的变量分离法的差分解法；第二部分即是热传导方程初边值问题差分解法的具体例子。其中主要涉及到的方法有热传导方程初边值问题的分离变量法和有限差分法。那么先具体介绍有限差分法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网
2、格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下： 1.区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网
3、格； 2.近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数； 3.逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。对比与分离变量法，有限差分法有着其特性，方便且更精确的特性。经过下面的一番比较，我们有理由相信有限差分法是大有用途的。关键词： 差分格式 步长 网络节点 截断误差AbstractThe article aims to explore the heat conduction equation initial boundary value problem of the finite difference method.This paper in
4、cludes the following two parts of the main content:The first part is compared with the traditional heat conduction equation initial boundary value problem of the separation of variables method finite difference method;The second part is the heat conduction equation initial boundary value problem of
5、difference methods for specific examples.Which mainly relates to a method for heat conduction equation initial boundary value problem of the separation of variables method and finite difference method. It first introduces the finite difference method. The basic idea is to use a continuous solution r
6、egion using finite discrete points constitute a grid to replace, the discrete points are called grid node; the continuous solution of continuous variable function is used in the grid defined on a discrete variables function to approximate; the original equations and boundary conditions of the differ
7、ence quotient to micro commercial approximation, integral integral and to approximate, and the differential equations and boundary conditions is approximately replaced by algebraic equations, finite difference equation, the solution to this equation can get the original problem in the discrete point
8、s on the approximate solution. And then using interpolation methods can be determined from the discrete solution solution of the approximate solution on the entire region. In the use of numerical methods for solving partial differential equations, if every derivative by finite difference approximati
9、on formula substitution, the solution of partial differential equations of the problem is transformed into solving algebraic equations, the so-called finite difference method.Finite difference method for solving partial differential equations:1discrete regions, which are for solving partial differen
10、tial equations by the finite region is subdivided into a lattice grid consisting of;2approximate substitution, i.e. finite difference formula one substitution per lattice points of the derivative;3approximation solution. In other words, this process can be viewed as a polynomial interpolation and it
11、s differential instead of partial differential equation solution process.In contrast with the method of separation of variables, the finite difference method has the characteristics of convenient, and more precise characteristics. After following a comparison, we have reason to believe that the fini
12、te difference method is of great use.Key words: differential format step network node truncation error.目 录绪论.11 热传导初边值问题分离变量法的介绍.21.1 热传导初边值问题分离变量法的具体应用32 热传导初边值问题有限差分法的介绍.52.1 对于显式与隐式有限元的理解.72.1.1 两种算法的比较72.1.1.1 显式算法82.1.1.2 隐式算法82.1.2 求解时间82.1.3 两种方法的应用范围82.1.4 总结92.2 有限差分法求解此热传导方程初边值问题92.3 初边值问题
13、差分法的实例.10致谢.11参考文献12绪 论关于有限差分法的目的即是如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的
14、，在计算第 n1层的近似值时要用到第 n 层的近似值 ，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下 3 种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。本论文热传导方程初边
15、值问题的差分方法1 分离变量法：分离变量法是求解各种类型的线性偏微分方程初边值问题的普遍方法之一.本文主要研究了在一般边界条件下，利用分离变量法解有界弦振动方程和一维热传导方程的一般方法，得到了特征值参数 满足的一般方程.对于非齐次方程和非齐次边界条件的情形，我们利用叠加原理，同样给出了其具有级数形式的解. 同时，本文还就施图姆-刘维尔特征值问题进行了简要阐述，说明了施图姆-刘维尔特征值问题是分离变量法的理论基础.最后，我们验证了已知函数满足一定条件的情况下古典解的存在性.对于有界弦振动方程或者热传导方程，我们可以给出不同的初边值条件，从而得到不同的混合问题.这里，我们考虑一般性的情况，主要给
16、出在一般边界条件下，如何解上述两类方程的混合问题.至此，我们得出了一般边界条件下，利用分离变量法得出形式解的一般方法，同时得到了特征值 满足的一般方程。在解决具体问题时，我们可以直接利用方程(6)给出特征值，进而得到特征函数.在解特征值问题时，我们直接利用了施图姆-刘维尔理论的相关结论，也得到了很好的结果，给出了一般边界条件下非齐次方程的形式解。当然，分离变量法是有局限的，例如对于非齐次方程非齐次边界条件的情况，我们无法直接分离变量。但是，利用线性方程的叠加原理，我们可以将此类问题分为非齐次方程齐次初边值条件和齐次方程齐次边界条件两种问题的解的和。本文没有用这种方法，而是直接利用了已知函数关于
17、特征函数的展开，而后再用拉普拉斯变换得出了形式解。可以验证，这两种途径得出的形式解是一样的。同时，本文并未就初边值问题解的唯一性和稳定性进行讨论。实际上，对于波动方程和热传导方程唯一性与稳定性的研究还涉及到其它理论，例如能量不等式和极值原理等，这里就不再说明了。1.1 然后我们用分离变量法求解下面热传导方程初边值问题：)4.2(,0: 3.),(: )1(,2hulxxt lxtax其中 h 为正常数。用分离变量法求解。令),(),(tTXtu这里 和 分别表示仅与 x 有关和仅与 t 有关的函数。把它代入方程，得)(xXtT到， TXa2即.2XTa这等式只有在两边均等于常数时才成立。令此常
18、数为 ，则有（2.5）02（2.6） 先考虑（2.6） 。根据边界条件（2.3） （2.4） ， 应当满足边界条件)(xX（2.7）0)(,0)(lhlX对于编制问题（2.6） （2.7） ，可以通过讨论得到（1）当 时，只有平凡解 ;0(2) 当 时，（2.8）.sinco)(xBxAxX利用边界条件 ，得 。于是由（2.7）的第二个边界条件得到0（2.9）.0)sic(lhlB为使 为非凡解， 应满足)(xX（2.10）,sincoll即应是下述超越方程的正解：（2.11）.tanhl令（2.12）,lv则（2.11）式变为（2.13） .tanlh利用图解法可以求得这个方程的根。方程（2
19、.13）有可列无穷多个正根，满足 。因此，特征值问题（2.6） （2.7）存),21(0kv kvk)21(在着无穷多个固有值（2.14）),21()(lk及相应的固有函数（2.15） ).,(sinsin)( kxlvBxxXkkkk把 代入方程（2.5） ，可得k（2.16）.),21()(2keCtTtakkk于是得到一列可分离变量的特解（2.17）.),(sin),(2 xAtxuktakkk由于方程（2.1）及边界条件（2.3） （2.4)都是齐次的，故可利用叠加原理构造级数形式的解（2.18）1.sin),(2kktaxetxuk以下来决定常数 ，使（2.18）满足初始条件（2.2
20、） 。kA由（2.3） ，为使在 时 取得初值 ，应成立0t),(txu)(x（2.19）1.sin)(kkx为确定系数 ，须先证明固有函数系 在 上正交。设固有函kAxXkksinl,0数 和 分别对应不同的固有值 和 ，即nXmnm.0,0 nX以 和 分别乘上面第一和第二式，相减后在 上积分，利用 和mn l,nX都满足边界条件（2.3） （2.4） ，就得到X.0)()(0ll mnmnn Xdx由于 ，故得固有函数系的正交性：mn(2.20).,sii00 nxxXmllnn 记（2.21）.)(2tan124sin2co2002 kkkkl lkkk hlll ddM于是，在（2.
21、19）两边乘以 ，在进行积分，利用正交性（ 2.20）即可得xsi（2.22）lkkdMA0.sin)(1将它代入（2.18）式，就得到初边值问题（2.1）-（2.4）的形式解为（2.23）10 .sinsi)(),( 2kl ktakxetxuk为了考察由分离变量法得到的形式解是否是混合问题（2.1）-（2.4）的经典解，还得进行验证。以下证明，当 为有界函数时，由（2.23）式给出的形式解，)(x当 时，关于 x 及 t 是任意次连续可导的，并且满足方程（2.1）及边界条件0t（2.3） （2.4） 。事实上，表达式（2.23）中含有因子 ，因此对任意 ，当 时，take20t对任意 级数
22、 均是一致收敛的。而由 为有界函数的假设0p12ktapke 及（ 2.21）式，可得)(Mx及 （2.24） Mldlk0sin(.21lk因而，由（2.23）表示的级数，当 时，关于 x 及 t 是无穷次可导的，并且求0t导与求和可以交换。由于级数的每一项都满足方程（2.1）及边界条件（2.3）（2.4） ，从而（2.23）式表示的级数在 时确实满足方程及边界条件。为了保证当 时，对任意的 ，由（2.23）式给出的级数趋于初值 ，还0t lx,)(x需要对 加上进一步的条件。可以证明（2.23）式给出的级数确实是初边值)(x问题（2.1）-（2.4）的经典解。2 首先介绍有限差分法基本思想
23、是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下： 1.区域离散化，即把所给偏微分
24、方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格； 2.近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数； 3.逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。2.1 对于显式与隐式有限元的理解显式算法和隐式算法，有时也称为显式解法和隐式解法，是计算力学中常见的两个概念，但是它们并没有普遍认可的定义，下面只是我的一些个人理解。2.1.1 两种算法的比较2.1.1.1 显式算法基于动力学方程，因此无需迭代；而静态隐式算法基于虚功原理，一般需要迭代计算。显式算法，最大优点是有较好的稳定性。动态显式算法采用动力学方程的一些差分格式（如广泛使用的中心差分法、线性加速
25、度法、Newmark 法和 wilson 法等），不用直接求解切线刚度，不需要进行平衡迭代，计算速度快，时间步长只要取的足够小，一般不存在收敛性问题。因此需要的内存也比隐式算法要少。并且数值计算过程可以很容易地进行并行计算，程序编制也相对简单。但显式算法要求质量矩阵为对角矩阵，而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥,因而往往采用减缩积分方法，容易激发沙漏模式，影响应力和应变的计算精度。静态显式法基于率形式的平衡方程组与 Euler 向前差分法，不需要迭代求解。由于平衡方程式仅在率形式上得到满足，所以得出的结果会慢慢偏离正确值。为了减少相关误差，必须每步使用很小的增量。2.1.1.2 隐
26、式算法 隐式算法中，在每一增量步内都需要对静态平衡方程进行迭代求解，并且每次迭代都需要求解大型的线性方程组，这以过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。该算法中的增量步可以比较大，至少可以比显式算法大得多，但是实际运算中上要受到迭代次数及非线性程度的限制，需要取一个合理值。2.1.2 求解时间使用显式方法，计算成本消耗与单元数量成正比，并且大致与最小单元的尺寸成反比，应用隐式方法，经验表明对于许多问题的计算成本大致与自由度数目的平方成正比，因此如果网格是相对均匀的，随着模型尺寸的增长，显式方法表明比隐式方法更加节省计算成本。2.1.3 两种方法的应用范围：a)在求解动力学问题时，将方程
27、在空间上采用有限元法（或其他方法）进行离散后，变为常微分方程组 F=M(u)+C(u)+K(u)。求解这种方程的其中两种方法为，中心差分法和 Newmark 法。采用中心差分法解决动力学问题被称为显式算法，采用 Newmark 法解决动力学问题被称为隐式算法。b)在求解动力学问题时，离散元法（也有其他方法）主要有两种思想：动态松弛法（向后时步迭代），静态松弛法（每一步要平衡）。动态松弛法是显式算法，静态松弛法是隐式算法。其中冲压成型就是动态松弛法的主要例子。c)在求解静力学问题时，有时候将其看作动力学问题来处理而采用动态松弛法，这是显式算法。Flac 就是主要例子。显式算法 隐式算法每步求解方
28、法 矩阵乘法 线性方程组时步稳定性 有条件 无条件适用问题 动力中心差分法动力动态松弛法静力动态松弛法动力 Newmark 法动力静态松弛法2.1.4 总结：1)求解线性静力学问题，虽然求解线性方程组，但是没有时步的关系，所以不应将其看作隐式算法。2)求解非线性静力学问题，虽然求解过程需要迭代，或者是增量法，但是没有明显的时步问题，所以不应将其看作隐式算法。3)静态松弛法，可以认为是将动力学问题看作静力学问题来解决，每一步达到静力平衡，需要数值阻尼。4)动态松弛法，可以认为是将静力学问题或者动力学问题，分为时步动力学问题，采用向后时步迭代的思想计算。对于解决静力学问题时，需要人工阻尼。2.2
29、在略作修改后，那么再用有限差分法求解此热传导方程初边值问题： )0(),(,0),(2102tutlxtatlx（2.1）为保证解的连续性，所给边值条件必须满足相容条件以下介绍用差分法求初边值问题（2.1）的近似解的方).0(),(021l法。这种典型问题的处理方法，可以推广应用于更一般的情况.为了建立初边值问题（2.1）的差分格式，首先在它的求解区域上，在 x 轴取步长 （J 是一正整数）把 区间 J 等分，),(tlxRlxl,0在 t 轴取步长 ，得其两族直线的交点即网络节点 。 )(),(tnxjtnj 用 分别表示初边值问题（2.1）的解 及其偏导数njnjjxutu)(),2及 ,
30、tu在点 之值。当初边值问题（2.1）的解在区域内部适当2),(),(xtut及 ),(njt光滑时，对任一区域内部的节点 利用泰勒展开公式可以得到),(njtx.)(),(12)()(2,4211 121 xxtuxuxuttt jnnjnjjnj jjjj 由上面两式解出 并代入（2.1）的第一式，得到,2njjt（2.2）.),(12)(),(2422111 xtuatxut nj njjjjnj 又限于在节点上考察， （2.1）中的初始条件与边界条件可分别化为.),210()(),(,210 ntutnuJjjJoj （2.3） 略去（2.2）右端的小量，就得到用差分法求解初边值问题（
31、2.1）的格式 ： .),210()(),(,1210 2121 ntUtnJjxjxatJj njjnjnjj （2.4） 这里由于差分方程（2.4）的解 U 与原初边值问题（ 2.1）的解 一般是不同的，u故用不同的记号表示之。很明显，用格式 近似热传导方程的初边值问题（2.1） ，所忽略掉的项，即截断误差是 .)()2xOt记,)(2xta格式 可以简写为 ).,210()(),(,12210 111 ntUtnJjxjJj njjnnj （2.5）它表示在第 n+1 排任一内节点上之值依赖于它在第 n 排上三个节点上之值。2.3 最后我们来看看初边值问题差分法的实例 Tttut xxt
32、t0),(),0sin;2应用隐式差分格式来求解上述问题。对每一种情况，令 （其中 r 的这个值对格式有最小的截断误差） ，由初值条件和201,rh边值条件通过上述格式的每一个逐层求出 的值。一般而言，当由第 n 层去求nmU解第（n+1 ）层的解时，上述格式的每一个都需解一线性代数方程组，其系数是三对角阵，可用追赶法求解。 C_k 方法：因为有 212111 huuhutu njjnjnjjnjjnj 所以有 njnjnjnjnjjnj 111111 2)( 于是有 jjjjjj uuu11 )(22 所以 .1.2 2)(2)(. 101110时当 时当 时当 Njj uuunnnnn 即
33、 .)(2)1( .)()( )21(22)1( 111 2131 10011 NNnnNnnn nnnaau uuaau 所以得到三对角矩阵 12112121NnNnau 2.4 已知上述定解问题的理论解，记为 ，TS有xeutsin记 分别为计算机解出 Crank-Nicolson 格式和 Douglas 格式的解，而DCNS,分别表示他们对精确解的误差，在 时间层 nDTTSE ,2x上， 它们的值由下表给出。,nktnt TSCNEDE10.994 497 915 629 0.000 010 -0.000 000 000 0252t0.489 026 104 191 0.000 021
34、 -0.000 000 000 05040.978 172 634 772 0.000 039 -0.000 000 000 1008t0.956 812 703 418 0.000 078 -0.000 000 000 197160.915 507 772 133 0.000 150 -0.000 000 000 37880t0.643 146 895 792 0.000 530 -0.000 000 000 330160.413 637 929 567 0.000 682 -0.000 000 001 711 320t0.171 096 336 777 0.000 563 -0.000 0
35、00 001 416640.629 273 956 458 0.000 193 -0.000 000 000 48480t0.012 108 818 739 0.000 099 -0.000 000 000 256结论：可见差分法是可以很好地求解热传导方程的初边值问题的。致 谢将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师陈慧琴我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中
36、心的感谢！ 这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。 感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！参考文献1谷超豪 李大潜 陈恕行 郑宋穆 谭永基. 数学物理方程 . 高等教育出版社.2002(7)2戴嘉尊，邱建贤 微分方程数值解法. 东南大学出版社.2002(2)3刘晓艳 刘学深 微分方程数值分析基础教程 清华大学出版社. 2005(5)4蔡光兴 微分方程基础及应用. 科
37、学出版社 2007(8)5丁同仁 李承志 常微分方程教程 高等教育出版社 2002（3）6V.I.Arnold 常微分方程 科学出版社 2004（8）7庞特里亚金 常微分方程 高等教育出版社 2001（5）8袁相碗 常微分方程 南京大学出版社 2006（1）9菲利波夫 常微分方程习题集 上海科技出版社 2003（2）10陈祖兴 偏微分方程 中国科技大学出版社 2005（5）11齐明友 广义函数与数学物理方程 高等教育出版社 2003（9）12姜礼尚 数学物理方程讲义 高等教育出版社 2005（12）13王芳婷 数学基础 科学出版社 2004（10）14卢丁 数学分析原理 高等教育出版社 2002（11）15斯皮瓦克 流形上的微积分 科学出版社 2003（5）
